Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

3.3.Экспериментальные результаты исследования частотного спектра взаимосвязанных пространственных колебаний цилиндрических пружин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.Продольная потеря устойчивости тонкого винтового бруса с использованием динамического метода . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.Нахождение параметров пружин при отсутствии продольной

4.1.Анализ близко совпадающих собственных частот тонкого винтового бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.Концевой эффект в распределении частотного спектра тон-

кого винтового бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.Продольная потеря устойчивости тонкого винтового бруса с восстановлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.Управление эффектом нелинейной статики для создания

условий равнопрочности по длине пружины . . . . . . . . . . 82 Литература к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Введение

Посвящается Азбелеву Николаю Викторовичу

Идея создания математического полигона для проверки численных методов решения нелинейных задач была высказана профессором Азбелевым Николаем Викторовичем одному из авторов еще в далеком 1965 году, когда в распоряжении одного из авторов был «железный Феликс».

Одна из основных целей работы — заинтересовать специалистов численных методов в создании эффективных методов решения сложных взаимосвязанных нелинейных задач.

Пространственное винтовое движение в деформированной среде является актуальным для различных технических, физических, биологических задач.

Интеграционная механика предназначена для решения взаимосвязанных нелинейных задач в единстве математики, физики и прикладной философии. Приемы интеграционной механики позволили решить целый цикл задач по пространственным колебаниям, устойчивости, нелинейной статике тонкого винтового бруса и конкретные задачи удара пружинных механизмов с инерционным соударением витков. Материалы интеграционной механики изложены в монографиях и книгах [1, 2, 3].

Физико-математический полигон основан на решении классических уравнений Кирхгофа–Клебша, известных с 1863 года, но, в связи с нелинейностью исходных уравнений, эти уравнения вызывали большие трудности при решении. Аналитические решения задач пространственных колебаний, нелинейной статики численно реализованы по устойчивым алгоритмам, несмотря на то, что задачи имеют многочисленные нелинейности. Задачи устойчивости получены динамическим методом из теории пространственных колебаний тонкого винтового бруса.

Современные численные методы предназначены, прежде всего, для решения линейных задач. По мнению И. Ф. Образцова [4], нелинейные задачи составляют более 95 % всех необходимых для реализации задач, но только

очень узкий класс нелинейных задач соответствует современной вычислительной технике. К этому времени уже был разработан «метод крупных частиц» Ю. М. Давыдова [5], наиболее эффективный для нелинейных задач. Для нелинейных задач механики сплошных сред использовался и метод конечных элементов [6]. Методы конечных элементов широко применяются и современными исследователями стержневых конструкций [7].

Одними из наиболее сложных нелинейных задач являются задачи с несамосопряженными операторами, именно такой задачей является теория пространственных колебаний тонкого винтового бруса.

Впервой главе книги рассмотрены проблемы реализации плохо обусловленных взаимосвязанных нелинейных задач и дано обоснование выбора математического полигона на основании классических уравнений Кирхгофа–Клебша. Исходные уравнения даны в общепринятом виде, а также в преобразованном матричном виде, где учтены особенности цилиндрических пружин. Исходные уравнения статики приводятся без линеаризации.

Во второй главе дан первый уровень физико-математического полигона, где приведены низшие частоты продольных, крутильных, поперечных колебаний, которые позволяют дать оценку стандартным методам конечных элементов. Приведены подробные экспериментальные данные, позволяющие реальное сопоставление численных расчетов с экспериментами. Удобству пользованием полигоном способствует указание на специальные «подводные камни», представляющие собственные частоты с нераспространяющимися модами.

Третья глава представляет второй уровень физико-математического полигона. В него включены: расчеты частотного спектра цилиндрических пружин по комплексной методике, учитывающей взаимосвязанные пространственные колебания; расчеты по нелинейной статике цилиндрических пружин; численный анализ продольной потери устойчивости цилиндрических пружин с применением динамического метода одного из авторов.

Вчетвертой главе представлена наиболее сложная часть физикоматематического полигона: анализ близко совпадающих собственных частот; анализ перехода продольной потери устойчивости в местную с учетом и без учета предварительной закрутки пружины; продольная потеря устойчивости цилиндрических пружин с восстановлением; экспериментальная проверка продольной потери устойчивости цилиндрических пружин с восстановлением; управление эффектом нелинейной статики для создания условий равнопрочности по длине пружины.

Авторы крайне заинтересованы в «соревновании» со специалистами прямого численного анализа (в данной работе применяется классический подход к численным методам по законченным аналитическим выражениям)

в части физико-математического полигона, где необходимо рассчитать близко совпадающие собственные частоты, в том числе и близость сразу трех собственных частот. Значительные трудности для численных методов представляет переход продольной потери устойчивости в местную (естественно, с изменением параметров тонкого винтового бруса).

Продольная потеря устойчивости с восстановлением относится к одному из явлений, который вызывает интерес у исследований упругих элементов. Приведена экспериментальная проверка этого эффекта.

Подробно рассмотрены численные расчеты для нелинейной статики тонкого винтового бруса, где эффект неравномерности напряженного состояния по длине бруса легко контролируется физически эффектом симметричности нагружения относительно середины пружины.

Управлением эффектом нелинейной статики для создания условий равнопрочности по длине пружины заканчивается физико-математический полигон. Этот эффект был использован в реальном изделии для повышения долговечности пружины.

Авторами совместно написаны: введение, параграфы глав 1.2, 1.4, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.3, 3.4, 3.5, литература ко всем главам. А. Д. Полищуком написаны параграфы 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 4.3. Д. Ф. Полищуком написаны параграфы 1.1, 1.3, 1.5, 4.4.

Авторы благодарны Азбелеву Николаю Викторовичу, Карповой Маргарите Юльевне (1935–1967) за поддержку этой работы на начальной стадии работы над физико-математическим полигоном. Авторы призна-

программного комплекса математического полигона на разных стадиях его создания. В экспериментальных исследованиях частотного спектра цилиндрических пружин принимали участие А. С. Матвеев, В. Я. Зяблицев, Н. А. Охотников.

Авторы благодарны кандидатам технических наук, доцентам В. В. Сазонову, С. А. Девятерикову, Е. Л. Курятниковой за участие в проведении экспериментальных исследований, включенных в экспериментальную часть физико-математического полигона.

Особую благодарность авторы выражают Полищук Юлии Лаврентьевне.

Для реализации взаимосвязанных задач наиболее ответственным является выбор не только самой последовательности этапов решения, характерной для математики интеграционной механики, но и выбор основного математического метода решения.

Сам полигон будем рассматривать в двух вариантах. В первом варианте будут рассматриваться исходные уравнения в общепринятой, классической форме. Второй вариант полигона предполагает матричную запись исходных уравнений, что позволяет пользователям полигона учитывать опыт авторов при численной реализации задач колебаний, устойчивости, нелинейной статики.

В физико-математическом полигоне не рассматривается математическое решение основных задач. Авторы считают, что достаточное обоснование методов решения дано в монографиях [1, 2, 3].

Основные требования к физико-математическому полигону для проверки численных методов решения нелинейных задач:

1)наличие задач с несамосопряженным оператором;

2)большое количество нелинейностей;

3)наличие плохо обусловленных решений;

4)экспериментальные данные в безразмерном виде и в физических величинах.

Отличие задач с самосопряженным оператором от задач с несамосопряженными операторами: для задач с самосопряженными операторами характерно возрастание собственных частот с уменьшением длины волны; для несамосопряженных задач частотный спектр сначала возрастает от уменьшения длины волны, а затем уменьшается и в дальнейшем снова возрастает.

Приведем справку по числу нелинейности из [9]. Рассмотрим нелинейности, основанные на классических уравнениях Кирхгофа–Клебша.

1)Исходные уравнения можно записать в неподвижной системе координат, но целесообразно использовать подвижную систему координат. Это позволяет избежать математической нелинейности, имеющей место в неподвижной системе координат. Естественно, что самих нелинейных членов больше, чем одна нелинейность, которую мы учитываем в нашей классификации.

2)Рассматриваем задачу колебаний и устойчивости при линейной статике, а в нелинейной статике условия равновесия рассматриваются без линеаризации. Это прием системной нелинейности.

3)Колебания и устойчивость рассматриваются при цилиндрической форме. Только в этом случае характеристическое уравнение имеет две вет-

ви. В случае нецилиндрической формы получить в явном математическом виде эти две ветви не удается. Это вид математической нелинейности, проявляющийся с учетом особенности объекта.

4)Учет круглого поперечного сечения в сочетании с цилиндрической формой пружины позволяет избежать 28 членов математической нелинейности в уравнениях равновесия.

5)Наложение малых колебаний на конечное деформированное состояние как вид нелинейности целесообразнее отнести к системному виду, так как задача разбивается на две различные задачи. Как физический прием этот метод широко известен.

6)Учет статики больших перемещений является системным методом преодоления нелинейности в задаче колебаний и устойчивости.

7)Геометрическая нелинейность сохраняется в единой задаче колебаний и устойчивости, и ее преодоление в методе замораживания коэффициентов. Но данная нелинейность не преодолевается, а сохраняется.

8)Поперечные колебания происходят в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и для длинных пространственных стержней близки.

9)Нераспространяющиеся моды являются источником появления местных видов потери устойчивости. Гармоники с нераспространяющимися модами не зависят от краевых условий. Чтобы выделить их из расчетных значений на ЭВМ, необходимо выделить одинаковые частоты в задачах как с симметричными формами колебаний, так и с антисимметричными формами колебаний. Для расшифровки плохой обусловленности решения, связанного с гармониками с нераспространяющейся модой, использовали физический аспект задачи.

10)Конструкционные волны — это новое понятие в теории волн, когда одной частоте нагружения упругого элемента соответствуют несколько резонансов с различной физической природой. Близость частот создает своеобразные эффекты, для расшифровки истинности близлежащих частот используется построение форм колебаний.

11)Плохая обусловленность в определении отдельных параметров сжатия при условии жесткой заделки преодолевается созданием новой модификации динамического метода. Продольная потеря устойчивости связана с точками бифуркации и относится к физической нелинейности (геометрическая нелинейность).

12)Переход продольной потери устойчивости в местную потерю устойчивости связан с преодолением физической нелинейности (геометрическая нелинейность с учетом поджатия).