Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

ГЛАВА 4

Третий уровень физико-математического полигона

4.1.Анализ близко совпадающих собственных частот тонкого винтового бруса

Втеории пространственных колебаний тонкого винтового бруса обнаружено явление, когда при малом угле подъема винтовой линии формируются четыре близких моды основных частот поперечных колебаний и четыре — первых гармоник поперечных колебаний (таблица 4.1). Можно предположить, что эти моды формируются по обеим ветвям характеристического уравнения, которые в случае малого угла близки. Если увеличивать угол подъема винтовой линии, ветви характеристического уравнения разойдутся сильнее. В этом случае можно наблюдать результат, когда при существенно различных частотах формируются на различных ветвях характеристического уравнения собственные колебания близкой формы. В таблице 4.2 приведен случай существования 2 основных частот поперечных колебаний и 4 первых гармоник поперечных колебаний и высокие частоты основной формы поперечных колебаний.

Втаблице 4.3 приводится случай существования 2 основных частот поперечных колебаний ω = 0, 678 как для симметричных, так и для антисимметричных колебаний, имеется антисимметричная частота ω = 4, 88, форма которой похожа на основную частоту поперечных колебаний, но име-

ющая в два раза меньшее число полуволн по поперечным составляющим (W , U ). Также имеется симметричная частота ω = 4, 92, похожая на предыдущую форму (основная поперечных колебаний с половинным числом полуволн), но с негармоническими искажениями. Отметим, что «нетрадиционные» основные частоты поперечных колебаний расположены выше значения «особой» точки ω22, ниже которой не может быть частот на верхней ветви характеристического уравнения в области поперечных частот.

Следует отметить, что случаи с существованием 2 основных частот поперечных колебаний и 4 первых гармоник поперечных колебаний встре-

Таблица 4.1. Распределение безразмерного частотного спектра i = 8, 5, α = 10; m = −0, 4; m2 = 0

Таблица 4.2. Распределение частотного спектра (жесткая заделка) i = 8; α = 60; m = −0, 3; m2 = 0

чаются чаще прочих (в том числе для реальных пружин). Это позволяет предполагать, что при ударном нагружении потеря устойчивости может развиваться по первой гармонике поперечных колебаний. В теории прямых стержней такое экспериментальное явление известно [1] и объясняется более высокой энергией коротких волн.

Вокруг «нулевой» частоты («особая» точка ω12) формируется пара основных частот пространственных поперечных колебаний. Рядом с основ-

Таблица 4.3. Распределение частотного спектра (i = 8, μ = 0, 3, α = 10 0; m2 = 0)

ными частотами поперечных колебаний формируется пара первых гармоник поперечных колебаний, частота которых выше частоты основных форм, все эти частоты расположены на нижней ветви характеристического уравнения.

Около «особой» частоты ω22 на верхней ветви характеристического уравнения формируются поперечные моды. Может сформироваться основная частота поперечных колебаний кольца (при малом угле подъема винтовой линии пружины α) и первые гармоники этих форм, имеющие частоту выше частоты основных форм или сразу гармоники поперечных колебаний, возможно, с искажением, при этом по некоторым координатам, чаще по V , γ, θ, форма колебаний аналогична форме колебаний основной частоты поперечных колебаний нижней ветви для координат W , U , ϕ.

Две близко совпадающие собственные частоты пространственных колебаний тонкого винтового бруса даны в табл. 4.4, совпадение трех близко совпадающих собственных частот дано в табл. 4.5.

Подробный анализ близко совпадающих собственных частот цилиндрических пружин дан в [2].

4.2.Концевой эффект в распределении частотного спектра тонкого винтового бруса

Одним из эффективных численных методов анализа взаимосвязанных пространственных колебаний винтовых цилиндрических пружин является исследование частотного спектра с малым шагом изменения числа рабочих витков (концевой эффект). Влияние концевого эффекта для жесткой заделки

рассматривается при изменении чисел рабочих витков от i = 3 до i = 12 при постоянном угле подъема винтовой линии пружины α = 10 0 и различных поджатии и закрутке. На рис. 4.1 представлен концевой эффект при отсутствии предварительного поджатия и закрутки (m = 0, m2 = 0). На рис. 4.2 представлено «чистое» поджатие (m = −0, 3, m2 = 0). На рис. 4.3 представлен случай предварительного растяжения (m = 0, 3, m2 = 0).

Из графиков, представленных на рис. 4.1, видно:

•с увеличением числа рабочих витков поперечные частоты убывают;

•синусоидальность на основных частотах продольных и крутильных колебаний и на первых гармониках антисимметричной поперечной частоты, продольных и крутильных колебаний;

•на гармониках синусоидальность проявляется более ярко по сравнению с основными частотами;

•антисимметричная основная частота поперечных колебаний взаимодействует с основной частотой продольных и крутильных колебаний при переходе (поперечная частота становится меньше других частот) через другую частоту, аналогично себя ведут первая гармоника антисимметричных поперечных колебаний и первые гармоники продольных и поперечных колебаний;

•присутствует «нулевая» частота, которая растет с увеличением числа рабочих витков.

По сравнению с рис. 4.1 на рис. 4.2 дополнительно учтено поджатие:

•поперечные частоты также уменьшаются с увеличением числа рабочих витков;

•синусоидальности на графиках несколько больше; синусоидальности на графиках пространственных продольных и крутильных частот находятся в противофазе относительно друг друга;

•«нулевая» частота отсутствует;

•взаимодействие частот, отмеченное в предыдущем случае, также наблюдается.

76

ЛАВАГ 4

Рис. 4.1. Концевой эффект при m = 0, m2 = 0, α = 10◦

78

ЛАВАГ 4

Рис. 4.3. Концевой эффект при m = 0, 3, m2 = 0, α = 10◦

Ранее рассмотрен концевой эффект при сжатии, на рис. 4.3 представлены результаты при «чистом» растяжении:

•возрастание с ростом числа рабочих витков «нулевой» частоты, которая выше, чем при отсутствии растяжения;

•переход поперечных колебаний через крутильные происходит раньше;

•меньше расстояние между точками перехода поперечных и продольных частот и перехода поперечных частот через крутильные.

Во всех четырех случаях наблюдается взаимодействие частот при переходе антисимметричной основной частоты через основные частоты пространственных продольных и крутильных колебаний, первой антисимметричной гармоникой поперечных колебаний и первыми гармониками пространственных продольных и поперечных колебаний.

4.3.Продольная потеря устойчивости тонкого винтового бруса с восстановлением

На втором этапе физико-математического полигона рассматривалась продольная потеря устойчивости тонкого винтового бруса. Особенность анализа продольной потери устойчивости тонкого винтового бруса с восстановлением в том, что это явление качественно новое, имеющее экспериментальное подтверждение, предъявляющее высокое требование к точности расчета.

Проанализируем экспериментальный результат Niepage P. Ранее в монографии [13] отмечено, что «при сжатии коротких винтовых пружин наблюдается эффект выпучивания витка и его исчезновения при сжатии . . . », что основывалось на эксперименте Niepage P. Проведен динамический анализ основной частоты поперечных колебаний для экспериментальных параметров Niepage P. На рис. 4.4 для экспериментальных результатов Niepage P. сопоставлены график зависимости поперечного прогиба от поджатия и зависимость основной частоты поперечных колебаний от поджатия. При этом закрепление у Niepage P. не является жесткой заделкой. Максималь-

ный прогиб у Niepage P. отмечен при m = −0,45, по нашим расчетам, при m = −0,72.

В распоряжение авторов предоставлены экспериментальные результаты Е. Л. Курятниковой, аналогичные результату [14]. Для пружины i =

80

4 ЛАВАГ

Рис. 4.4. Сравнение выпучивания при эксперименте P. Niepage и расчетов собственных частот