Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

таблице 4.6. Смещение максимального выпучивания, на наш взгляд, объясняется качественным изменением самой модели и требует дополнительного анализа.

Интересным результатом для физико-математического полигона является потеря устойчивости для длинных пружин при порождающем решении и при поджатии m = 0. Пример: i = 60, a = 6 0, m = 0. Гармоники 2i − 1 и 2i+1 на нижней ветви характеристического уравнения равны нулю. В реальных изделиях существуют пружины, которые без предварительного поджатия теряют продольную потерю устойчивости, например возвратная пружина в автомате Калашникова (АК–47). Естественно, что такие пружины работают на специальных оправках.

Переход общей потери устойчивости в местную без предварительной закрутке можно получить только качественно (при искусственных парамет-

˙ −1 = 0 0384 ˙ −1 = 1 383 = 36 0 = 0 491

рах CBξ , , CBχ , , α , mкр , ). Получить это решение при допустимом угле винтовой линии пружины (15 0) и реальном поджатии пружины (m = −0, 5, m 2 = 2, 56) удалось Полищуку А. Д. [12].

4.4.Управление эффектом нелинейной статики для создания условий равнопрочности по длине пружины

Нелинейная статика тонкого винтового бруса является одним из основных результатов физико-математического полигона, так как первые специалисты, которые попытались решить задачу нелинейной статики, столкнулись с такими трудностями [15], что вынуждены были признать невозможность применения современной вычислительной техники. Интегральный метод, который применен в [13, 16] для построения фундаментальной матрицы решения, позволил получить устойчивый алгоритм для решения нелинейной статики тонкого винтового бруса.

На рис. 4.5 приведены два расчета нелинейной статики для числа рабочих витков, равного 4. При условии жесткой заделки опорных витков пружины имеется неравномерность напряженного состояния по длине пружины, достигающая величины по отношению к стандартному расчету от −15% до 10%. При специально подобранном угле β = 0, 6 0 (угол вращения витка по направлению угла ϕ) наблюдается выравнивание напряженного состояния по длине пружины. Результаты таких экспериментов даны в [13].

Наиболее важный экспериментальный эффект — неравномерность напряженного состояния по длине пружины — приведен в табл. 4.7 (эксперимент проведен автором совместно с В. В. Сазоновым [13]). В табл. 4.7 сравниваются две рядом лежащие экспериментальные точки (n — число экспериментов, наличие эффекта определяется условием t > tα (n), α — коэффициент надежности). Во всех экспериментах с вероятностью α = = 0, 95 ÷ 0, 99 эффект наблюдается.

Таблица 4.7. Экспериментальный эффект неравномерности напряженного состояния по длине пружины

Основные требования к расчету для проверки точности на физикоматематическом полигоне нелинейной статики:

1)получить симметричное решение относительно середины пружины;

2)оценить различие неравномерности в зависимости целого или нецелого числа рабочих витков (наименьшая неравномерность при пружинах с числом витков 4, 5 и т. д.);

3)подобрать условия наклона опорных торцов с целью выравнивания напряженного состояния пружины по винтовой линии.

Более подробно с нелинейной статикой можно ознакомиться по монографиям [13] и [16–22].

Литература к главе 4

[1]Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых тел. М.: Наука, 1967, 984 с.

[2]Полищук А. Д. «Стоячие» волны различной физической природы с близкими собственными частотами. // Материалы 2-го Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск. 1999, с. 343.

[3]Полищук А. Д. Пакет прикладных программ для расчета колебаний, устойчивости, нелинейной статики цилиндрических пружин. // Материалы 2-го Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск. 1999, с. 344.

[4]Полищук А. Д. Качественный анализ собственных частот пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Тезисы докл. Международная конференция. «Итоги развития механики в Туле». Россия, Тула (12–15 окт. 1998 г.), с. 78.

[5]Полищук А. Д. Анализ влияния параметров на частотный спектр винтового тонкого бруса. // Тезисы докл. 32-го научно-техн. конф. ИжГТУ. 2000, часть 1, с. 51.

[6]Полищук А. Д. Анализ форм колебаний (стоячие волны) в пространственном винтовом тонком брусе. // Тезисы докл. 31-го научно-техн. конф. ИжГТУ. 1998, часть 1, с. 175–176.

[7]Полищук А. Д. О взаимосвязанности пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Материалы 6-го Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных тел» (Ярополец 14–18 февраля 2000 г.), с. 40.

[8]Полищук А. Д. Исследование частотного спектра винтового тонкого бруса с учетом предварительного поджатия и закрутки. // Материалы 6-го Межд. симпозиума «динамические и технические проблемы механики конструкций и сплошных тел» (Ярополец 14–18 февраля 2000 г.), с. 41.

[9]Полищук А. Д. Особенности формирования пространственных колебаний винтового тонкого бруса. // Материалы 7-го Межд. симпозиума «Динамические и технические проблемы механики конструкций и сплошных тел» (Ярополец 2001 г.), с. 59.

[10]Полищук А. Д. Прикладные задачи теории пространственных колебаний цилиндрических пружин. // Сб. «Повышение качества пружин, торсионов и рессор». Белорецк. 2001, с. 66–74.

[11]Полищук А. Д. Взаимосвязанность пространственных колебаний винтовых цилиндрических пружин в анализе частотного спектра. Ижевск, ИжГТУ, 2001, 29 с. Деп. в ВИНИТИ № 1849–В2001 от 09.08.01.

[12]Полищук А. Д. Комплексная методика расчета и анализа частотного спектра цилиндрических пружин с обоснованием экспериментальными данными. Ижевск, ИжГТУ, 2001, 20 с. Деп. в ВИНИТИ № 1848– В2001 от 09.08.01.

[13]Полищук Д. Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1992, 216 с.

[14]Niepage. P. Beitrag zur Frage des Ausknickens axial belasteter Schraubendruckfedern. // Konstruktion und Machinen, Apparate und Gerateban¨. 1971, vol. 23, №1, S. 19–24.

[15]Simidzu Hiroshi, Takata Masaru, Munakata Takashi The end effect of a Helical springs // Proc. of the 7-th Japan Nation Conar. for Appl. Mech. 1957, p. 365–539.

[16]Полищук Д. Ф. Интеграционная механика. Комплексная методика решения взаимосвязанных нелинейных задач. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 116 с.

[17]Полищук Д. Ф. О концевом эффекте в статике цилиндрических пружин. // Машиноведение, №4, АН СССР Москва, 1973, с. 74–78.

[18]Полищук Д. Ф. О концевом эффекте в динамике и статике винтовых цилиндрических пружин // Сб. «Динамика, прочность и долговечность деталей машин», вып. 3, Ижевск, 1974.

[19]Полищук Д. Ф. Интегральный метод решения уравнений статики винтового тонкого бруса. // Прикладная механика. АН УССР, Киев, 1974, т. 10, вып. 7. С. 124–127.

[20]Полищук Д. Ф., Дьячкова К. Е. Учет поджатия в статике винтовых цилиндрических пружин. // Сб. «Динамика, прочность и долговечность деталей машин», вып. 4, Ижевск, 1975.

[21]Полищук Д. Ф., Сазонов В. В. Аналитическое и экспериментальное исследование влияния краевых условий в статике винтовых цилиндрических пружин // Сб. «Динамика, прочность и долговечность деталей машин», вып. 4, Ижевск, 1975.

[22]Полищук Д. Ф., Дьячкова К. Е. Учет искажений винтовой линии пружины при различных конструктивных параметрах // Сб. «Динамика, прочность и долговечность деталей машин», вып. 1, Ижевск, 1976.

Полищук Дмитрий Феофанович Полищук Андрей Дмитриевич

ИНТЕГРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОЛИГОН ДЛЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков

˙

Корректор З.Ю. Соболева

Подписано в печать 30.01.2019. Формат 60 × 841/16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,99. Уч. изд. л. 4,87. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №47.

Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.