Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

[7]Dick J. The Transverse Vibrations of a Helical Spring with Penned Ends and no Axial Load. // Phil. Mag. Journ. of Sc. 33, № 222, 1942, p. 513–519.

[8]Макушин В. М. Поперечные колебания и устойчивость цилиндрических витых пружин. // Сб. «Динамика и прочность пружин». АН СССР,

1950, с. 354.

[9]Товстик П. Е. Поперечные колебания пружин с учетом продольного сжатия. // Сб. «Исследование по упругости и пластичности». Вып. ЛГУ, 1961. с. 219–228.

[10]Хвингия М. В. Поперечные колебания цилиндрических пружин, сжатых осевыми силами. // Сб. «Расчеты на прочность». М.: Машгиз. 1964, вып. 10, с. 307–323.

[11]Хвингия М. В., Мгалоблишвили Д. Б. Динамическая устойчивость пружин. Тбилиси, 1966. 218 с.

[12]Бидерман В. Л. Поперечные колебания пружин. // Сб. «Расчеты на прочность», М.: Машгиз. 1962, вып. 8, с. 256–270.

[13]Полищук А. Д. Взаимосвязанные пространственные свободные колебания винтовых цилиндрических пружин: Авт . . . канд. техн. наук, Ижевск, 2002, 17 с.

[14] Грудев И. Д. Колебания тонких криволинейных стержней // Вибрации

в технике. М.: Машиностроение. 1980, т. 3, с. 18–36.

[15]Полищук А. Д. Прикладные задачи теории пространственных колебаний цилиндрических пружин. // Сб. «Повышение качества пружин, торсионов и рессор». Белорецк. 2001, с. 66–74.

[16]Полищук А. Д. Взаимосвязанность пространственных колебаний винтовых цилиндрических пружин в анализе частотного спектра. Ижевск, ИжГТУ, 2001, 29 с. Деп. в ВИНИТИ № 1849–В2001 от 09.08.01.

[17]Полищук А. Д. Комплексная методика расчета и анализа частотного спектра цилиндрических пружин с обоснованием экспериментальными данными. Ижевск, ИжГТУ, 2001, 20 с. Деп. в ВИНИТИ № 1848– В2001 от 09.08.01.

ГЛАВА 3

Второй уровень физико-математического полигона

3.1.Комплексная методика расчета и анализа частотного спектра пространственных колебаний тонкого винтового бруса

Задача расчета и, в особенности, анализа частотного спектра достаточно нетривиальна. Для численных методов без привлечения понимания физики процесса задача крайне трудна для решения. В целях расшифровки частотного спектра используется комплексная методика с применением пакета программ, в котором реализовано одновременно 5 различных задач.

1)Порождающее решение. Решение для синусоидальной формы колебаний при шарнирном опирании, которое можно сопоставить с частотным спектром при жесткой заделке. Частотный спектр порождающего

решения при i = 8, 5, α = 60, m = −0, 2, m2 = 0, μ = 0, 3 приведен в таблице 3.1. Часть частот, в данном случае первые 3 гармоники продольных и крутильных колебаний, мало зависят от краевых условий и будут примерно на этом же месте в частотном спектре жесткой заделки. Основная частота продольных колебаний ωпрод. = 0, 99, основная частота крутильных колебаний ωкрут. = 1, 13. Порождающее решение дает хорошее наглядное представление частотного спектра, позволяет по сравнению поведения частот при поджатии и закрутке для порождающего решения и жесткой заделки судить о месте данной частоты в конкретном диапазоне частотного спектра. На рис. 3.1 дан пример расчета частотного спектра для порождающего решения при i = 5, m = 0,

μ = 0, 3.

2)«Особые точки». «Особыми точками» авторы называют собственные частоты, которые являются точками локального экстремума характеристического уравнения (рис. 3.2). «Особым точкам» соответствуют

3.1. КОМПЛЕКСНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА И АНАЛИЗА ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА 43

нераспространяющиеся моды, которые имеют нулевую групповую скорость, поэтому используются при определении местных видов потери устойчивости. Эта задача применяется для контроля точности реше-

ния, так как «особые точки» встречаются в частотном спектре жесткой заделки. В нашем примере ω11 = 5, 59, ω21 = 6, 82, ω22 = 3, 33.

3)Расчет частотного спектра жесткой заделки при симметричных колебаниях. Разделение колебаний на симметричные и антисимметричные позволило в каждом случае уменьшить вдвое размерность задачи и получать наиболее близкие между собой частоты раздельно в разных задачах, что резко уменьшило вероятность потери собственных частот. Первой частотой при симметричных колебаниях (если не произошла продольная потеря устойчивости) обычно является основная частота поперечных колебаний, следующей — первая гармоника продольных колебаний.

4)Определение собственных частот при антисимметричных колебаниях. Для длинных пружин первой частотой является обычно основная частота поперечных колебаний, далее следуют основные частоты пространственных продольных и крутильных колебаний. «Особые частоты» также оказываются в частотном спектре при жесткой заделке, причем в обеих задачах (две численно одинаковых частоты с различной формой).

5)Следующей задачей является получение формы колебаний. Реализованы формы колебаний по 6 координатам — 3 угловых (γ, θ, ϕ) и 3 линейных (V , W , U ). Форма колебаний облегчает расшифровку видов колебаний (в том числе близко совпадающих), дает понимание физики процесса, показывает взаимодействие близких колебаний. Каждый вид колебаний (основная частота продольных колебаний, основная антисимметричная частота поперечных колебаний и т. д.) имеет свою характерную картинку формы колебаний. Внешний вид формы некоторых типичных колебаний представлен на рис. 3.3–3.6.

Для решения задачи расчета и анализа частотного спектра разработан пакет программ. В основе задачи по расчету частотного спектра при условии жесткой заделки лежит известная методика обращения в нуль одновременно характеристического уравнения и граничного уравнения при заданной частоте, которая в данном случае является собственной частотой. Сложность создания программы в том, что каждому диапазону изменения корней характеристического уравнения соответствует своя фундаментальная матрица решения и свое граничное уравнение для симметричных и

Таблица 3.1. Частотный спектр при «порождающем решении» для i = 8; α = 6 0; m = 0; μ = 0, 3.

для антисимметричных колебаний. Для удобства использования стандартной процедуры поиска корней многочлена характеристическое уравнение в случае жесткой заделки задается в виде многочлена по степеням корней характеристического уравнения.

В основу пакета программ положен комплекс программ, созданным для ЭВМ «Минск–32» Д. Ф. Полищуком, А. С. Матвеевым в 1972 г. В 1989 г. была предпринята попытка перевести этот комплекс программ на современные ПК. Отдельные компоненты комплекса («порождающее» решение, фазовые и групповые скорости) при участии Шибановой Е. Г., Коробейникова В. В. удалось восстановить, но получить работающие программы при условии жесткой заделки не удалось. Существенная переделка программ выполнена в 1993–1997 гг. Полищуком А. Д., который качественно перестроил программу, что позволило получить весь работающий комплекс программ. Все работы выполнялись под руководством и при личном участии Полищука Д. Ф. Одному из авторов (Полищуку А. Д.) в пакете программ принадлежит:

1)модернизация программы порождающего решения с учетом предварительной закрутки в связи с получением нового аналитического решения;

2)построение фундаментальной матрицы решения при двух действительных корнях, что позволило получать решение собственных частот при

3.1. КОМПЛЕКСНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА И АНАЛИЗА ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА 45

Рис. 3.1. Собственные частоты при «порождающем» решении для i = 5, α = 6◦, m = 0

жесткой заделке в указанном диапазоне и находить уверенно «особые точки», в том числе новую «особую точку» ω12 — т. н. «нулевую частоту»;

3)в программе для жесткой заделки (задачи 3, 4, 5) внесены изменения в алгебраические дополнения, позволяющие учитывать предварительную закрутку;

4)реализованы программно формы колебаний для всех диапазонов;

5)реализованы расчеты, как в безразмерном виде, так и в герцах, что позволяет удобнее решать конкретные технические задачи, например расчет собственных частот пакета клапанных пружин.

Рис. 3.2. «Особые точки» характеристического уравнения

3.2.Частотный спектр пространственных колебаний тонкого винтового бруса (взаимосвязанные пространственные колебания при условии несвободного сжатия)

Чтобы понять взаимосвязанные колебания при условии несвободного сжатия, удобнее сначала рассмотреть «порождающее» решение (синусоидальную форму колебаний).

Исследование взаимосвязанных пространственных колебаний на основе «порождающего» решения

Порождающее решение определяется синусоидальной формой колебаний, что позволяет анализировать как стоячую волну (своеобразное шарнирное опирание), так и бегущие волны, рассматривая характеристическое уравнение как дисперсионное соотношение (зависимость частоты от волнового числа). Частоты, соответствующие точкам локального экстремума

Рис. 3.5. Типичная форма основной частоты симметричных поперечных колебаний (i = 6, α = 6◦, m = −0, 2, ω/p0 = 1, 21)

тра проводятся в безразмерном виде по отношению к основной частоте продольных колебаний эквивалентного бруса, что позволяет дать количественную и качественную оценку модели эквивалентного бруса и легко переходить к расчетам в размерных величинах (Гц).

Каждой частоте для нижней ветви соответствует номер гармоники по отношению к основной частоте продольных колебаний, что позволяет наглядно (численно и графически) наблюдать переход пространственных продольных колебаний в поперечные.

Весь диапазон частотного спектра условно разбиваем на шесть диапазонов:

1)продольные колебания, где отличия от модели эквивалентного бруса не более 8%;

2)продольно-поперечные колебания, где осуществляется плавный переход продольных колебаний в «особую» частоту (точку ω11 по обозначению главы 2), эту частоту не получить из частотного спектра порождающего решения;

3)поперечно-продольные колебания;

4)поперечные колебания, для которых длина волны меньше витка;

Рис. 3.6. Типичная форма основной частоты антисимметричных поперечных колебаний (i = 6, α = 6◦, m = −0, 2, ω/p0 = 1, 23)

5)поперечные колебания, для которых длина волны больше витка;

6)поперечные колебания высоких гармоник.

В таблицах 3.2 и 3.3 по нижней ветви характеристического уравнения можно проследить переход пространственных продольных колебаний

впоперечные с ростом номера гармоники. По диапазонам частоты распределяются следующим образом: первый диапазон — 3 частоты, второй — 5, третий — 6, четвертый — 1, пятый — 1, шестой — 4.

Ранее в [1] достаточно подробно рассмотрен переход пространственных продольных колебаний в поперечные. Основной частотой поперечных

колебаний считалась [1] частота из пятого диапазона. Вторая основная частота поперечных колебаний — из диапазона четыре. Нулевая частота (n = = 16 в таблице 3.2 и n = 48 в таблице 3.3) рассматривалась как парадокс, вытекающий из особых краевых условий, позволяющих пружине двигаться как твердому телу, и не имеющий никакого физического смысла. Этим и объясняется, что решение Лява А. не использовалось в [2, 3].

Из этого примера видно, что с моделью эквивалентного бруса для анализа продольных и поперечных колебаний совпадает только 5 частот диапазонов 1, 4, 5. Из таблицы 3.2 видно, что влияние поджатия на диапазон 1

50 ГЛАВА 3

Таблица 3.2. Частотный спектр при «порождающем решении» для i = 8; α = 6 0; m = −0, 3; μ = 0, 3 (сжатие)

Таблица 3.3. Собственные частоты i = 24, α = 80, m 2 = 0, μ = 0, 3 при «порождающем решении» (растяжение)

крайне незначительно, в прочих диапазонах влияние поджатия существенно, особенно в четвертом и пятом диапазонах. В пятом диапазоне влияние поджатия существеннее, чем в четвертом (уменьшение частоты на 35% против 16% в четвертом), что подтверждает гипотезу [1] о том, что в пятом диапазоне находится частота с большей поперечной составляющей, чем в четвертом. С увеличением числа рабочих витков распределение частот по диапазонам изменяется, при этом частота из пятого диапазона — в четвертый, из шестого — в пятый и т. д. Низшие поперечные частоты взаимно перпендикулярны, следовательно, переход через нулевую частоту и сама нулевая частота должны иметь физический смысл, а не только являться парадоксом краевых условий.