Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

3.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА 61

Таблица 3.13. Распределение частотного спектра при жесткой заделке i = 8; α = = 10 0; m = −0, 3; m2 = 0; μ = 0, 3

В таблице 3.15 сопоставлены две программы расчета частотного спектра, данные в [1] и [6]. Оба расчета близки, но по программе Полищука А. Д. [6], в которой использовалось уточненное выражение характеристического уравнения, отличие экспериментальных данных от расчета несколько меньше. Особая частота 65,26 Гц оказалась вблизи резонанса установки. Интересен эксперимент, представленный в таблице 3.15, тем, что в нем найдено экспериментальное подтверждение «особой частоте» ω11. Аналогичный результат наблюдается и в таблицах 3.17, 3.18. В таблицах 3.16, 3.19 эта частота экспериментально не обнаружена.

Во всех таблицах указаны значения «особых частот» ω11, ω21, ω22. Как правило, погрешность в районе «особых частот» резко возрастает. «Особые частоты» ω11 и ω21 «притягивают» к себе собственные частоты. Вблизи этих частот располагаются основные частоты поперечных колебаний кольца, физическое объяснение этому явлению предложено в [7]. Экспериментальные явления в связи с кратными резонансами приведены в [1].

Авторы считают, что приведенные таблицы экспериментального анализа частотного спектра тонкого винтового бруса (цилиндрическая пружина) будут полезны при отработке новых численных методов.

Таблица 3.14. Сравнение аналитических и экспериментальных результатов при i = = 5; α = 6 0; m = −0, 5; μ = 0, 3 — [1]; μ = 0, 29 — [6]

Таблица 3.15. Сравнение расчетов по [6] и экспериментальных результатов при i = 4; α = 60; m = −0, 1; m 2 = 0; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм; G = = 78400 МПа.

3.4.Продольная потеря устойчивости тонкого винтового бруса с использованием динамического метода

Вданном параграфе приведем сопоставление нахождения параметров пружины при продольной потере устойчивости по методике [8], принадлежащей одному из авторов, и классический метод численного обращения основной частоты поперечных колебаний в нуль.

Втаблицах 3.20, 3.21, 3.22 приведены расчеты продольной потери устойчивости по трём методикам: расчет при шарнирном опирании опорных витков по аналитическим зависимостям характеристического уравне-

Таблица 3.16. Сравнение расчетов по [6] и экспериментальных результатов при i = 4; α = 60; m = −0, 5; m 2 = 0; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм; G = = 78400 МПа.

ния [1, 9], которое специально для исследования продольной потери устойчивости было уточнено; расчет по аналитико-численному методу [8]; расчет по прямому методу (обращение основной частоты поперечных колебаний в нуль).

Расчеты в таблицах 3.19, 3.20, 3.21, 3.22 выполнены специально для данной работы. Интересно было увидеть, насколько аналитико-численный метод близок к классическому методу, тем более что существующая программа расчета частотного спектра достаточно точная. Отличие прямого численного метода от аналитико-численного [8] дает погрешность со знаком как плюс, так и минус. Когда создавался аналитико-численный метод, в распоряжении автора этого метода (Полищук Д. Ф.) имелась ЭВМ «Минск–32», замененная вскоре на ЕС–1030, точность которой была ниже предыдущей.

Таблица 3.17. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот при i = 4, 8; α = 6 0; m = 0; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм;

G = 78400 МПа.

Таблица 3.18. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот при i = 5, 2; α = 6 0; m = 0; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм;

G = 78400 МПа.

Таблица 3.19. Сравнение продольной потери устойчивости при шарнирной и жесткой заделке опорных витков (α = 6 0)

3.5.Нахождение параметров пружин при отсутствии продольной потери устойчивости

Безразмерная высота пружины, при которой не происходит продольной потери устойчивости по данным [1], равна 3,3. Этому соответствуют параметры пружины: число витков 10, угол подъёма винтовой линии пружины равен 60. В таблице 3.22 приведены расчеты для нахождения условий независимости продольной жесткости пружины от относительного сжатия. С изменением числа рабочих витков от 10 до 11,75 наступает замедление роста поперечной жесткости. При дальнейшем увеличении числа рабочих витков наблюдается «выемка», где частота сначала уменьшается, а потом возрастает. При числе рабочих витков 12, 3 наблюдается постоянство поперечной жесткости пружины от изменения относительного поджатия. Если поперечная жесткость пружины не зависит от внешнего фактора, каким является для пружины относительное поджатие, то долговечность пружины должна возрастать. Подробнее анализ продольной потери устойчивости дан в [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11].

Таблица 3.22. Сравнение основных частот поперечных колебаний при жесткой заделке опорных витков от относительного поджатия α = 6 0; μ = 0, 3

Литература к главе 3

[1]Полищук Д. Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1992, 216 с.

[2]Товстик П. Е. Асимптотический метод интегрирования уравнений колебаний пружин // Вестник ЛГУ. 1962, вып. №7, с. 119–134.

[3]Хвингия М. В. Вибрации пружин. М.: Машиностроение. 1969, с. 286.

[4]Love A. E.N. Trans., Cambr. Phil. Soc. 1900, v. 18, p. 163–171.

[5]Полищук Д. Ф, Матвеев А. С. Аналитическое и экспериментальное исследование частотного спектра винтовых цилиндрических пружин при жесткой заделке витков //Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск. 1974, вып. 3, с. 31–44.

[6]Полищук А. Д. Взаимосвязанность пространственных колебаний винтовых цилиндрических пружин в анализе частотного спектра. Ижевск, ИжГТУ, 2001, 29 с. Деп. в ВИНИТИ № 1849–В2001 от 09.08.01.

[7]Полищук А. Д. Взаимосвязанные пространственные свободные колебания винтовых цилиндрических пружин: Авт . . . канд. техн. наук, Ижевск, 2002, 17 с.

[8]Полищук Д. Ф. О единой трактовке различных видов потери устойчивости винтовых цилиндрических пружин // Машиноведение. 1977, № 3, С. 60–65.

[9]Полищук Д. Ф. Техническое творчество в механике. Системнооператорная механика. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1993, 230 с.

[10]Курятникова Е. Л. Эволюционная теория устойчивости цилиндрических пружин: Авт. . . канд. техн. наук. Ижевск, 1999, 23 с.

[11]Полищук Д. Ф. Интеграционная механика. Комплексная методика решения взаимосвязанных нелинейных задач. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2004, 116 с.