Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

13)Отсутствие потери устойчивости для коротких пространственных стержней (винтовая цилиндрическая пружина) является эффектом математической нелинейности.

14)Системные виды потери устойчивости пружин относятся нами к системной нелинейности.

15)Нелинейность начального состояния в уравнении устойчивости характеризуется величиной:

H0 = πi tg α0,

D

поэтому величина HD0 может быть постоянной, а i и α0 — различными,

при этом качественно изменяется уравнение устойчивости. Это математическая нелинейность.

16)Нелинейная статика является задачей с математической нелинейностью.

17)Уравнения равновесия сил и моментов являются нелинейными, при этом линеаризация этих уравнений в задаче статики не выполнялась, а в задаче колебаний такую линеаризацию проводили.

18)Геометрическая нелинейность в уравнениях равновесия сил и моментов учитывается через введения относительного поджатия. Это математическая нелинейность.

19)Плохая обусловленность в задаче статики связана с независимостью уравнений сил и уравнений моментов от шести уравнений, описывающих геометрию винтовой линии. Последние уравнения зависят от уравнений сил и моментов.

20)Нелинейность в краевых условиях статической задачи преодолевается приемом «замораживания» путем введения поджатия m.

21)«Технологическая» нелинейность — в статической задаче при создании

единого вида краевых условий (для различных геометрических условий) для m = 0 происходит вырождение, поэтому в программе существуют два специальных «технологических» поджатия, избавляющие решение от данной особенности.

В число 21 нелинейности не вошли нелинейности, связанные с большинством решений задач устойчивости и задач удара. Нами выбран 21 вид нелинейностей для обоснования правомерности создания физикоматематического полигона на основе выбранного объекта.

1.2.Обзор работ по численной реализации пространственных колебаний, устойчивости, нелинейной статики тонкого винтового бруса

Анализ исследований частотного спектра по модели винтового тонкого бруса

Нелинейная теория пространственных колебаний винтового тонкого бруса имеет важное значение в классической механике и механике деформируемого твердого тела. В классической механике (абсолютно твердое тело) имеется перемещение и вращение тела как базовая информация. В механике деформируемого твердого тела рассматриваются для прямых стержней независимые продольные, крутильные и поперечные колебания и высокая серия поперечных колебаний (три перемещения и три вращения). В теории упругости известно решение Пуассона о наличии двух волн — волн расширения и волн сдвига. В связи с этим важное значение имеет теория продольных и изгибных колебаний для прямых балок по теории Похгаммера–Кри, рассмотренная в [10, 11, 12, 13].

Точное решение для распространения волн деформаций для прямого стержня было дано независимо Похгаммером и Кри, которое подробно рассмотрено в аналитическом обзоре [13]. Используются классические уравнения движения теории упругости в цилиндрических координатах для перемещений, напряжения выражаются через перемещения с помощью известных соотношений. Решение уравнений движения получены через функции Бесселя первого рода. Из условия равенства нулю напряжений на боковой поверхности получены два трансцендентных однородных уравнений относительно двух постоянных. Равенство нулю определителя относительно этих постоянных дает частотное уравнение, выражающее отношение между частотой и длиной волны. При распространении импульса по стержню форма импульса будет искажаться, но если длина волны больше радиуса стержня, то искажение формы импульса незначительное. Это решение для винтового тонкого бруса имеет значение: фиксация эффекта дисперсии фронта волны деформации имеет место и для прямого стержня; групповая скорость стремится к нулю, когда длина волны приближается к πμr√ 3 (r — радиус стержня), т. е. имеют место нераспространяющиеся моды.

С изменением длины волны обоих типов переходят в волны Рэлея. Для поперечных колебаний прямых балок аналогичный результат перехода поперечных колебаний и высокой серии поперечных колебаний получил Тимошенко в 1916 г. Модель плоского кольца на основании уравнений Кирхгофа–Клебша также дает эти предельные волны [1]. Развитие этих ра-

бот продолжено С. В. Новотным [12]. Прямая балка в работах Похгаммера– Кри и Тимошенко имеет вырожденную координату [14]. Винтовой тонкий брус не имеет вырожденной координаты, более нагляден для обоснования и иллюстрации численно и аналитически волн расширения и сдвига в общеизвестные продольные, поперечные, крутильные колебания и волны Рэлея.

Очень важное значение для теории пространственных колебаний имеет работа А. Лява [15], известная в отечественной литературе на основании публикаций Пфейффера [16]. Уравнение Лява имеет следующий вид:

(1 − (1 + K0) x)(1 − (1 + K1) x)(1 − K1 − K2) 2−

Eπc 4(1 + K0 − K1) L 4

Для удобства приводим уравнения Лява в применяемых нами обозначениях. После такого преобразования [1] уравнение Лява имеет следующий вид:

Решения Лява соответствуют синусоидальным формам колебаний, но без уточнения краевых условий. А. Ляв отметил наличие 2 волн деформаций и наличие нулевой частоты, которую трактовал вращением пружины как твердого тела. Таких краевых условий реально не существует, поэтому работа А. Лява не нашла практического применения, тем более что никаких численных расчетов автором не было выполнено.

Дальнейшее развитие анализа модели винтового тонкого бруса шло по 4 основным направлениям.

Школа М. В. Хвингия [17, 18, 19, 20] считала, что модель винтового бруса является аналитическим аналогом модели эквивалентного бруса. Следовательно, ничего качественно нового модель тонкого винтового бруса не дает по сравнению с моделью эквивалентного бруса.

П. Е. Товстик [21] применял асимптотические методы к уравнению Кирхгофа–Клебша, используя метод малого параметра по производной. Дал оценку погрешности собственных частот для пружины с большим числом витков, оценка касалась tg 2 α по сравнению с моделью эквивалентного бруса, что было использовано М. В. Хвингия для обоснования ненужности модели тонкого винтового бруса. Pearson D. в 1982 году дал обзор [22] существующих зарубежных работ по теме, применил асимптотический метод с использованием матриц переноса, т. к. утверждал, что применение аналитического решения невозможно. Эта работа позволяет получать решение с учетом предварительного поджатия. В ней также дан обзор работ [13, 23]. При исходных уравнениях Кирхгофа–Клебша Pearson применил асимптотический метод с использованием матриц переноса, где в качестве типового элемента использовал балку Тимошенко. Отмечены случаи наличия до 4 близко совпадающих собственных частот, в этом случае, по Pearson, требуется вмешательство человека в процесс решения, т. к. возможна потеря решения. Pearson дал оценку влияния на частотный спектр предварительного поджатия, угла подъема винтовой линии, количества витков и других параметров. В данной работе не анализировались групповые и фазовые скорости, отсутствует упоминание о существовании гармоник с нераспространяющейся модой, что не позволяет выделить их при расчете. Приведено сравнение расчетов с экспериментами на одной пружине в Гц (i = 11, 25), проверить данный результат нельзя, так как отсутствуют необходимые для расчетов параметры, при этом не все теоретические частоты подтверждаются экспериментально.

Численный метод начальных параметров применен в работах И. Д. Грудева [24, 25], А. Я. Алешина [26], где показаны особенности перехода продольных колебаний в поперечные. Расшифровка частотного спектра без понимания физического процесса привела к тому, что в справочной литературе [25] приведен график, где основные частоты поперечных колебаний оказались ниже основных частот продольных колебаний. Специалистам по пружинам известно, что для коротких пружин частоты поперечных колебаний выше продольных, а для длинных — наоборот. В. М. Кузьменко [27] дал расчет низших частот для пружин с 4 витками. Основная цель И. Д. Грудева — использовать пружины как тестовую задачу для оценки применимости метода начальных параметров для расчета собственных частот пространственных стержней, которые находят широкое применение в космической технике. В работе ученика И. Д. Грудева А. Я. Алешина [26] обнаружен эффект возрастания основной частоты продольных колебаний в момент совпадения ее с основной частотой поперечных колебаний, что нашло подтверждение в дальнейших работах ижевской школы [1].

Впоследние годы снова возник интерес к модели тонкого винтового бруса. Определение собственных частот криволинейных стержней численным методом предложено В. И. Виноградовым в 1999 году [28], но конкретная численная реализация в работе не дана. На восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в 2001 году представлена работа Шишкиной Е. В. [29], в которой построены дисперсионные кривые для винтового тонкого бруса со свободными концами.

Вмонографии В. А. Светлицкого, О. С. Нарайкина «Упругие элементы машин» [30] уравнения Кирхгофа–Клебша приведены к безразмерному виду

инайдены корни частотного уравнения без конкретной реализации, что затрудняет анализ данных результатов.

Анализ устойчивости тонкого винтового бруса

Анализ продольной потери устойчивости цилиндрических пружин проводился в основном на основе модели эквивалентного бруса, при этом были многочисленные дискуссии по продольной потери устойчивости. Цель данной работы — физико-математический полигон, поэтому авторы сознательно не касаются этой известной дискуссии, тем более что ее «следы» до сих пор проявляются даже в учебной литературе. Интересующимся читателям этой дискуссии можно порекомендовать монографии [1, 2, 3, 9]. Отметим в анализе устойчивости тонкого винтового бруса работу Чернышева Н. А. [31], где впервые использовались уравнения Кирхгофа–Клебша, но полученное аналитическое уравнение продольной потери устойчивости совпало с известными уравнениями по модели эквивалентного бруса. Все численные расчеты по продольной потери устойчивости представлены только в виде графиков, которые затруднительно использовать для оценки численных методов. Наиболее полно анализ видов потери устойчивости выполнен ижевской школой, материалы которой представлены в [1, 2, 3, 9]. Отметим некоторые результаты, тем более что некоторые решения будут опорными положениями физико-математического полигона. Получена единая трактовка различных видов потери устойчивости [1], где впервые введено понятие местных видов потери устойчивости винтовых цилиндрических пружин. Наиболее важным положением в единой трактовке различных видов упругой потери устойчивости является: переход эйлеровской потери устойчивости в местную потерю устойчивости витка, при которой происходит «схлапывание» витка; местные виды потери устойчивости для пружин с соприкосновением витков (осадка витков и выскальзывание витков с соприкосновением); в связи с недостаточной точностью динамического метода анализа устойчивости (нахождение предельных параметров, при

которых анализируемая частота обращается в нуль) предложена специальная методика построения кривых устойчивости при условии несвободного сжатия. Переход общей потери устойчивости в местную продемонстрирован для сечения витка (b/a = 1/6, где a перпендикулярна геометрической оси пружины, α = 360, m = 0,49), аналогом ему принято решение Н. А. Чернышева [32] 1946 г. (аналогичное сечение, но m = 0, 48, α = 300). Если данный эффект Н. А. Чернышев получил при условии жесткой заделки, то решение [33] — для шарнирного опирания. Нереальный угол подъема винтовой линии пружины и специфические параметры сечения витка не позволяли считать решенным проблему перехода эйлеровской потери устойчивости в местную потерю устойчивости витка. Эта проблема решена одним из авторов [34].

На основании аналитических зависимостей [1] и пакета программ А. Д. Полищука Е. Л. Курятниковой удалось получить вид эйлеровской потери устойчивости с восстановлением в области реальных параметров пружин, характерных для подвесок мотоциклов [35]. Ранее близкие экспериментальные результаты были получены Niepage P. [36], но не было дано их численного анализа. Закритическая форма цилиндрической пружины численным методом получена ранее В. И. Кравцовым [37].

Нелинейная статика тонкого винтового бруса

Уравнения статики тонкого винтового бруса использовались в единой задаче колебаний и устойчивости. Важным в этой постановке оказалось решение Чернышева Н. А. [38], где нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических пружин получена из статики больших перемещений с учетом конечного деформированного состояния. В работах Карповой М. Ю. [39, 40] дано сравнение характеристики пружин решения Чернышева Н. А. и решения, полученного ею без упрощения углов поворота сечения пружины. Разница в характеристиках не превосходила 3%.

Принципиально важным был иной подход к нелинейной статике, когда рассматривается неравномерность напряженного состояния по длине пружины. Обзор этих работ дан в [1, 41]. В работах японской школы [8, 41] применялось разложение краевых условий в ряд по малому параметру, что не позволяло по мнению авторов применять современную вычислительную технику. Интегральный метод построения фундаментальной матрицы решения реализован в [1, 42], основан на работах М. Ю. Карповой. Подробный численный анализ нелинейной статики тонкого винтового бруса приведен в работах [1, 2].

1.3.Исходные уравнения тонкого винтового бруса для прямых численных методов

При использовании исходных уравнений Кирхгофа–Клебша в подвижной системе координат удается избегать математической нелинейности, что имело бы место при неподвижной системе координат.

Классические уравнения пространственного бруса описываются шестью уравнениями равновесия:

(1.3) где все величины со звездочками обозначают конечные значения сил, моментов, главных компонентов кривизны и кручения.

Кроме уравнений равновесия Кирхгофа–Клебша необходимо входят три уравнения, определяющие зависимость углов вращения недеформированного состояния малого элемента от перемещений, —

Геометрия тонкого винтового бруса представлена на рис. 1.1. ρ — направление касательной к геометрической оси центров тяжести сечений тонкого стержня; χ — направление нормали; ξ — направление бинормали.

В уравнениях (1.4) используется таблица косинусов малых углов, что является известным приемом линеаризации нелинейных задач. К отмеченному приему добавляется прием наложения малых колебаний на конечное деформирование состояние.

Чтобы связать силовые параметры с приращениями кривизны и круче-

где Bξ и Bχ — соответственно жесткость при изгибе относительно осей ξ и χ, C — жесткость при кручении.

Гипотеза Бернулли–Эйлера также является методом линеаризации нелинейных задач.

Практическая ценность тонкого винтового бруса как реальной модели винтовых цилиндрических пружин в том, что большим перемещениям соответствуют малые деформации.

Основные обозначения в исходных уравнениях физико-математического полигона

χ — направление нормали к упругой линии; ξ — направление бинормали к упругой линии;

ρ — направление касательной к упругой линии; θ — угол поворота поперечного сечения вокруг нормали; ϕ — то же вокруг бинормали; γ — то же вокруг касательной;

u — перемещение по оси χ; v — перемещение по оси ξ; w — перемещение по оси ρ;

Qξ , Qχ, Qρ — внутренние силы;

Mξ , Mχ — изгибающие моменты; Mρ — крутящий момент;

i — число витков пружины;

α — угол подъема винтовой линии пружины; μ — коэффициент Пуассона; ω — собственная частота;

Bχ — изгибная жесткость сечения относительно оси χ;

C1 = 1/Bχ — коэффициент податливости при изгибе относительно оси χ;

Bξ — изгибная жесткость сечения относительно оси ξ;

C2 = 1/Bξ — коэффициент податливости при изгибе относительно оси ξ;

C — крутильная жесткость сечения витка, индекс пружины; C3 = 1/C — коэффициент податливости при кручении;

E, G — модули упругости первого и второго рода; H — высота пружины;

D, R — средний диаметр и средний радиус пружины; d — диаметр проволоки пружины;

λ — продольная осадка пружины;

m — относительное поджатие пружины, m = H − H0 ;

H0 m2 — коэффициент относительной закрутки пружины;

h — сторона прямоугольного сечения, параллельная оси пружины (высота сечения);

b — сторона прямоугольного сечения, перпендикулярная оси пружины (ширина сечения);

h/b — отношение сторон прямоугольного сечения;

p0 — основная частота продольных колебаний по модели эквивалент-

Для круглого сечения витка тонкого винтового бруса:

тельных напряжений по сечению витка.

Учет особенности цилиндрической пружины (типовой прием системного анализа — учет особенности объекта) — наличие больших перемещений при малых деформациях пружины. Поэтому исходные уравнения равновесия сил и моментов можно линеаризовать по известной методике [19, 21]:

Рассматриваются колебания около статического равновесия, поэтому выполняются условия:

Выражения (1.6), (1.7) позволяют существенно облегчить решение нелинейных уравнений (1.3). Условие равнопрочности пружины по длине винтовой линии определяется выражением (1.7).

Влиянием сдвиговой деформации и инерционных членов, учитывающих вращения элемента пружины, пока пренебрежем. Математически это

приводит к выражениям a4 = a6 = a5 = 0 и C4 = C5 = C6 = 0. C учетом этого исходные уравнения (1.3) можно записать: