Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

Таблица 2.1. Табулированная методика расчета собственных частот для коротких пружин (μ = 0, 3, α = 6 0)

Данные по «концевому эффекту» для основных частот тонкого винтового бруса (цилиндрическая пружина) используются как для первого уровня, так и для третьего уровня полигона. Очевидны зоны сближения собственных частот продольных и поперечных колебаний, своеобразный эффект — изменения в безразмерном виде частотного спектра для основной частоты продольных колебаний, названных авторами концевым эффектом. Данный эффект затрудняет численную расшифровку частотного спектра цилиндрических пружин, материалы по этому эффекту даны в главе 4.

В таблице 2.3 зафиксирована «нулевая частота», такое название особой частоте дано одним из авторов [13]. В данной работе авторы избегают подробных объяснений физических явлений, связанных с распределением частотного спектра. В данной таблице приведен пример близости к основной частоте продольных колебаний третьих гармоник поперечных колебаний (в принятой нами классификации — это вторые гармоники поперечных колебаний).

Таблица 2.3. Табулированная методика расчета собственных частот для длинных пружин (μ = 0, 3, α = 10 0)

пружин как тестовую задачу для численного анализа колебаний пространственных стержней. Одновременно это было причиной специальной дискуссии на семинаре в институте машиноведения имени Благонравова А. А. АН СССР (руководитель семинара Диментберг Ф. М.) в 1978 г., где основными докладчиками были Полищук Д. Ф. и Грудев И. Д.

В таблице 2.4 дан пример для пружины с числом витков, равным 2. Антисимметричные формы колебаний и симметричные формы колебаний

получены по независимым программам, особые частоты являются двойными. Между основной частотой продольных колебаний и основной частотой крутильных колебаний не находится основная частота поперечных колебаний, как это следует из графика на рис. 9 в [14]. Из графика, отмеченного на рис. 9, следует, что для витков меньше 5 основная частота поперечных колебаний ниже основной частоты продольных колебаний — путаница вызвана особыми частотами, как это видно из таблицы 2.4. В таблице 2.5 приведены расчеты для шести пружин, где видно, что при числе витков 10 основные частоты поперечных колебаний выше основной частоты продольных колебаний, а для числа витков 15 — основные частоты поперечных колебаний в два раза ниже основной частоты продольных колебаний.

Таблица 2.4. Распределение частотного спектра для пружины при i = 2; μ = 0, 3;

α = 6 0; m = 0

Оценка точности получения низших частот приведена в таблице 2.5. Все расчеты частотного спектра даются для условий жесткой заделки опорных витков, что позволяет провести реальный эксперимент. Из анализа результатов расчетов, представленных в таблице 2.5, видно применение двух независимых программ (симметричные формы колебаний и несимметричные формы колебаний).

Более подробно о комплексной методике расчета частотного спектра будет дано в третьей главе. Высокая точность расчетов частотного спектра обеспечена аналитическим решением задачи, применением современной методики определения корней характеристического уравнения. Для всех трех диапазонов изменения корней характеристического уравнения построены: фундаментальные матрицы решения; граничные уравнения. При численной реализации частотного спектра цилиндрических пружин используются шесть различных граничных уравнений. Кроме этого, используются программы для поиска и анализа: «особых» частот (точки локального экстремума характеристического уравнения); частотного спектра «порождающего уравнения» (синусоидальная форма колебаний); фазовых и групповых скоростей; форм колебаний.

2.4.Экспериментальные результаты исследования собственных частот цилиндрических пружин

ВИжевском механическом институте (ныне ИжГТУ) было поставлено две серии экспериментов. Первые эксперименты проводились в 1966 году [5]. В 1972 году был поставлен новый эксперимент (Матвеев А. С., Полищук Д. Ф.) на электродинамическом стенде Veb Gerate und Regler–Werke, имеющем следующие параметры: измеряемая частота 20–1000 Гц; амплитуда — 0–8 мм; ускорение до 12 g; допускаемая нагрузка до 15 кг. Для визуальной регистрации собственных частот использовался электронно–счетный частотомер Ч3-28. Запись экспериментальных осциллограмм велась на осциллографе Н-105 (гальванометры М004/0,6). На экспериментальные пружины наклеивались по 4 пары тензодатчиков, включенных по мостовой

схеме. Две пары датчиков — для записи деформации кручения и изгиба относительно бинормали, а две другие были наклеены через 90 0 по витку для регистрации изгиба вокруг нормали в двух перпендикулярных плоскостях. Для лучшего восприятия форм колебаний на пружинах наклеивались метки в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Крепление пружин — жесткая заделка в винтовых направляющих.

Статистическая обработка проведена с использованием коэффициента

Стьюдента ta(n) при n = 7, ta (n) = 6, 00, граница доверительного интервала ω определена с учетом погрешностей прибора и с надежностью 0, 999. При снятии амплитудно-частотной характеристики стенда использовались тензометрические датчики, наклеенные на плоские пружины подвески виб-

ростенда. Экспериментальные значения резонансных частот лежали в диапазоне 45. . . 250 Гц. Резонансные частоты установки в Гц 80,4; 95,5; 256; 296; 306; 569; 580; 628 найдены с использованием индуктивного датчика. Установлено, что только два резонанса установки попали в диапазон замеряемых частот.

Все численные расчеты частотного спектра и экспериментальная проверка расчетов составляют суть физико-математического полигона. Материалы, представленные в таблицах 2.6–2.10, предполагается использовать и для других уровней полигона. На первом этапе предполагается анализ низших собственных частот.

Втаблице 2.6 особая частота совпадает с одной из основных собственных частот поперечных колебаний. Трудность численного расчета заключается в том, что особая частота не зависит от краевых условий.

Рост основных частот поперечных колебаний (короткие пружины) экспериментально и численно представлен в таблице 2.7.

Втаблицах 2.8, 2.9 по сравнению с таблицей 2.3 [5] уточнено значение

Таблица 2.6. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот при i = 2, 8; α = 6 0; m = 0; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм; P0 = 83, 9 Гц

Таблица 2.7. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот (пружина №4), i = 3, Dср = 96 мм; P0 = 78, 3 Гц [5]

основной частоты всего на 0,2 Гц (вместо 47,2 приняли 47,0, это уточнение за счет модуля упругости). Экспериментально получен интересный результат — в случае близко совпадающих основных поперечных частот реализуется только одна частота.

Таблица 2.8. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот при i = 5; α = 6 0; m = −0, 1; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм; P0 = = 47, 0 Гц.

Особая частота существенно зависит от поджатия, что видно из таблиц 2.8 и 2.9, где они выделены (100,2 и 65,3).

Особые частоты, соответствующие нулевой групповой скорости, экспериментально трудно определимы.

В данной главе приведен экспериментальный материал по исследованию частотного спектра цилиндрических пружин, подробнее с ним можно ознакомиться в [5, 15, 16, 17]. Эти материалы будем использовать и для двух других уровней физико-математического полигона.

Таблица 2.9. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот при i = 5; α = 6 0; m = −0, 5; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм; P0 = = 47, 0 Гц.

40 ГЛАВА 2

Таблица 2.10. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных частот при i = 3, 2; α = 6 0; m = 0; μ = 0, 29; d = 6 мм; Dср = 95 мм;

G = 78400 МПа; P0 = 73, 4 Гц.

Литература к главе 2

[1]Love A. E.N. Trans., Cambr. Phil. Soc. 1900, v. 18, p. 163–171.

[2]Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах // М.: Изд-во АН СССР, 1937, т. 4, 574 с.

[3]Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972, 416 с.

[4]Штода А. В. Динамика и прочность клапанных пружин. // Сб. Динамика и прочность пружин. Изд. АН СССР. 1950, с. 270–332.

[5]Полищук Д. Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин. Ижевск: Изд-во УдГУ. 1992, 216 с.

[6]Birnbaum W. Untersuchung der Bieguns–Schwingen vor Schraubenfedern. // Yeitschr. fur Flugtechn. und Motorluftschiffahrt. № 3, 1925, p. 74–78.