Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

∂M∂Sξ + Qχ + r0Mχ + δrMχ0 − (ρ0Mρ + δρMρ0 ) =

(1.9)

= −δrMχ + δρMρ − r0Mχ0 + ρ0Mρ0 − Qχ0 ; ∂M∂Sρ − (q0Mχ + δqMχ0 ) + ρ0Mξ + δρMξ0 =

=−δρMξ + δqMχ − ρ0Mξ0 + q0Mχ0 .

Всистеме (1.8)–(1.9) учтены следующие геометрические соотношения [19]:

В уравнениях (1.8)–(1.9) нелинейности существуют как в правой, так и в левой части. Существенно упрощает систему ограничение рассматриваемой задачи цилиндрической формы пружины

и круглого поперечного сечения витка.

Исходная система уравнений равновесия для цилиндрических пружин будет следующая:

∂Mχ − Qξ + q0Mρ + δ qMρ0 − r0Mξ − δ rMξ0 = 0;

∂S

∂Mξ + Qχ + r0Mχ − δ pMρ0 = 0;

∂S

∂Mρ − q0Mχ + δ pMξ0 = 0.

∂S

Параметры q и r связаны нелинейными зависимостями с углом α (угол винтовой линии деформированного состояния). Уравнения равновесия сил и моментов — первые шесть уравнений (1.16) — не зависят от последующих шести уравнений, описывающих геометрию деформированного бруса. Это крайне затрудняет численную реализацию задачи, так как исходная матрица является вырожденной. Применение аппарата функции от матриц явно нерационально ввиду его необычайной громоздкости [43].

Литература к главе 1

[1]Полищук Д. Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1992, 216 с.

[2]Полищук Д. Ф. Техническое творчество в механике. Системнооператорная механика. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1993. 230 с.

[3]Полищук Д. Ф. Интеграционная механика. Комплексная методика решения взаимосвязанных нелинейных задач. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 116 с.

[4]Образцов И. Ф. О проблемах статики и динамики современных инженерных конструкций. Состояние вопроса, новые проблемы и перспективы. // Проблемы прочности, 1982, №11, с. 3–11.

[5]Давыдов Ю. М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики. — Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. М.: МФТИ, 1970.

[6]Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Изд-во «Мир», 1976, 464 с.

[7]Гаврюшин С. С., Коровайцев А. В. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991, 160 с.

[8]Simidzu Hiroshi, Takata Masaru, Munakata Takashi The end effect of a Helical springs // Froc. of the 7-th Japan Nation Conar. for Appl. Mech. 1957, p. 365–539.

[9]Полищук Д. Ф. Методы творчества в математике интеграционной механики. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 184 с.

[10]Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит, 1955, 192 с.

[26]Алешин А. Я. О собственных частотах колебаний пространственных криволинейных стержней произвольного сечения. // Труды ВНИИФТРИ, 1971, вып. 2, c. 55–66.

[27]Кузьменко В. М. Влияние сжимающих сил на собственные частоты пружины с малым числом витков // Труды МФТИ. 18 научн. конф. Сер. Аэромеханика. Процессы управления. 1972, с. 119–125.

[28]Виноградов В. И. Определение собственных частот криволинейных стержней. // Материалы 2-го Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск, 1999, с. 301.

[29]Шишкина Е. В. Колебания и волны в растяжимых спиральных стержнях // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь 23–29 августа 2001 г.). Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, с. 611–612.

[30]Светлицкий В. А., Нарайкин О. С. Упругие элементы машин. М.: Машиностроение, 1989, 264 с.

[31]Чернышев Н. А. Устойчивость пружин сжатия // Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз, 1946, с. 57–58.

[32]Чернышев Н. А. Сжатие и кручение пружин малой жесткости // Сб. Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз, 1946, с. 46–56.

[33]Полищук Д. Ф. О единой трактовке различных видов потери устойчивости винтовых цилиндрических пружин // Машиноведение. 1977, №3, с. 60–65.

[34]Полищук А. Д. Взаимосвязанные пространственные свободные колебания винтовых цилиндрических пружин: Авт. . . . канд. техн. наук, Ижевск, 2002, 17 с.

[35]Курятникова Е. Л. Эволюционная теория устойчивости цилиндрических пружин: Авт. . . канд. техн. наук, Ижевск, 1999, 23 с.

[36]Niepage. P. Beitrag zur Frage des Ausknickens axial belasteter Schraubendruckfedern // Konstruktion und Machinen, Apparate und Gerateban¨. 1971, v. 23, №1, S. 19–24.

[37]Кравцов В. И. Упругое деформирование и устойчивость гибких пространственно искривленных стержней: Автореф. канд. техн. наук. Киев, 1988, 17 с.

[38]Чернышев Н. А. Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических витых пружин //Расчеты на прочность. Т. 3, 1958, с. 19–39.

[39]Карпова М. Ю. К вопросу о больших перемещениях винтовых цилиндрических пружин // Вопросы прочности упругих элементов машин. Ижевск, 1967, с. 29–36.

[40]Карпова М. Ю., Демьяшкина Э. Я. К вопросу о больших перемещениях винтового цилиндрического бруса // Механика твердого тела. 1966, №4, с. 188–190.

[41]Hiroshi Shimizu, Jnoue Junsishi. On the static and dynamic behavior of coil springs //Mem. Fac. Science Kyus. Un. 1964, v. 23, №3, p. 123–168.

[42]Полищук Д. Ф. Интегральный метод решения уравнений статики винтового тонкого бруса // Прикладная механика. 1974, т. 10, вып. 7, с. 124– 127.

[43]Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 с.

ГЛАВА 2

Первый уровень физико-математического полигона

2.1.Низшие частоты продольных, крутильных и поперечных колебаний цилиндрических пружин

Первый уровень полигона предназначен для проверки численных методов, таких как метод начальных параметров, метод конечных элементов. Нелинейная теория пространственных колебаний тонкого винтового бруса относится к задаче с несамосопряженным оператором, но низшие частоты близки к решению теории прямых балок с самосопряженными операторами, что допускает широкое применение модели эквивалентного бруса. Поэтому в этом параграфе рассмотрим основные положения по реализации модели эквивалентного бруса.

Продольные, крутильные и поперечные колебания пружин по модели эквивалентного бруса

Для расчета собственных частот цилиндрических пружин первоначально, еще в прошлом веке, А. Лявом [1] использовались уравнения Кирхгофа– Клебша. Решить задачу колебаний пружин, используя модель винтового тонкого бруса, было сложно, и в 1909 году А. Н. Крылов [2] предложил модель эквивалентного бруса, что позволило рассматривать независимо продольные, поперечные и крутильные колебания и использовать для цилиндрических пружин известные решения теории прямых балок.

В этом случае продольные колебания описываются волновым уравне-

где a — скорость распространения перемещения U = U (x, t) в эквивалентном брусе;

где lэкв — эквивалентная длина бруса, D — средний диаметр пружины, i — число рабочих витков.

Частотный спектр в этом случае:

pn = π · n · a · lэкв−1, где n = 1, 2, 3 . . . .

Частотный спектр линейный и не зависит от выбора краевых условий (если заделка одинакова по обоим концам) и выбора эквивалентной длины. Частота продольных колебаний не зависит от выбора эквивалентной длины, следовательно, выбор эквивалентной длины непринципиален. Обычно за эквивалентную длину принимают высоту пружины, но А. В. Штода [4] принял длину проволоки.

Крутильные колебания по модели эквивалентного бруса имеют аналогичный, не зависящий от эквивалентной длины, линейный частотный спектр. Для круглого сечения проволоки собственная частота крутильных колебаний [5]:

При первых применениях теории эквивалентного бруса для поперечных колебаний задача решалась с большими допущениями: Birnbaum W. [6] не учитывал сдвиг и вращение, Dick J. [7] учитывал сдвиг и вращение, но не учитывал предварительного поджатия.

Дальнейшее развитие теория поперечных колебаний получила в работе В. М. Макушина [8], в которой получены простые формулы собственных частот для различных краевых условий с учетом поджатия, одновременно решалась задача продольной потери устойчивости. В данной работе применялся энергетический метод.

Модель эквивалентного бруса [9], предложенная П. Е. Товстиком, значительно точнее. П. Е. Товстик применил балку Тимошенко с учетом инерции вращения витков и сдвига от действия перерезывающей силы и осевого нагружения. Отдельно рассматривались симметричные и несимметричные колебания относительно плоскости, перпендикулярной оси пружины и проходящей через ее середину. Уравнения поперечных частот анализировались при фиксированном значении коэффициента Пуассона μ = 0, 3. П. Е. Товстик дал табулированную методику расчета низших частот поперечных колебаний и выяснил причину погрешности теории В. М. Макушина для коротких пружин — неудачное использование в методе Ритца в качестве координатных балочных функций в одном из краевых условий.

30 ГЛАВА 2

М. В. Хвингия [10, 11] получил биквадратное уравнение для определения частотного спектра при различных граничных условиях. Им использовалась модель балки Тимошенко, но сравнительного анализа частотного спектра, по М. В. Хвингия и П. Е. Товстику, сделано не было. П. Е. Товстик и М. В. Хвингия проводили экспериментальные исследования частотного спектра поперечных колебаний, при этом П. Е. Товстиком была обнаружена частота, не объясняемая моделью эквивалентного бруса. В работе [11] М. В. Хвингия и Д. Б. Мгалоблишвили было показано, что влияние демпфирования на собственную частоту поперечных колебаний выражается в уменьшении собственной частоты на 0,2 . . . 0,4 %.

В. Л. Бидерман [12] применил балку Тимошенко для модели эквивалентного бруса с использованием гипотезы о взаимодействии витков пружины с помощью жестких невесомых консолей. Теория поперечных колебаний В. Л. Бидермана нашла отражение в основной учебной литературе [3]. В преобразованном виде [5] формула В. Л. Бидермана для шарнирного опирания пружины имеет вид:

В дальнейшем П. Е. Товстик и М. В. Хвингия предприняли попытку решения задачи собственных частот на основе модели винтового тонкого бруса.

2.2.Табулированная методика определения низших частот цилиндрических пружин

Все расчеты табулированной методики приводятся в безразмерном виде по отношению к основной частоте продольных колебаний по модели эквивалентного бруса, что резко сокращает необходимые параметры расчета.

Втаблице 2.1 даны расчеты для применения табулированной методики

вслучае небольшого числа рабочих витков. В этом случае основные частоты поперечных колебаний всегда выше основных частот продольных и крутильных колебаний.

Втаблице 2.2 приведены аналогичные расчеты уже для более длинных пружин, при этом основные частоты поперечных колебаний лежат ниже основных частот продольных и крутильных колебаний. Интересно, что для числа рабочих витков 10 основные частоты поперечных колебаний возрастают, а для 15 и 20 витков — уменьшаются. В этой таблице наблюдается и концевой эффект для основной частоты продольных колебаний.