Интеграционная механика. Физико-математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач

52 ГЛАВА 3

Таблица 3.4. Фазовые скорости i = 10, m = 0, m 2 = 0, μ = 0, 3 ω — частота, f — фазовая скорость

также уменьшаются по сравнению с отсутствием предварительного поджатия (незначительно), гармоники с 10 по 18 частоты и фазовые скорости несколько возрастают по сравнению с отсутствием предварительного поджатия. Частота и фазовая скорость для гармоники n = 19 с учетом поджатия уменьшаются, что фиксирует начало формирования потери устойчивости по этой гармонике; частота и фазовая скорости для гармоники n = 21 равны нулю, что определяет происшедшую потерю устойчивости по данной гармонике. Частотный спектр и фазовые скорости пространственных кру-

тильных колебаний имеют обратную картину, кроме гармоники n = 19, где частота и фазовая скорость уменьшаются.

Втаблице 3.8 рассматриваются групповые скорости с учетом знака,

вотличие от работы [1], в которой безразмерная групповая скорость дается по модулю.

Влияние несвободного сжатия на взаимосвязанные пространственные колебания в частотном спектре цилиндрических пружин

Расшифровка частотного спектра при условии жесткой заделки показана в 3.9 . . . 3.14, где значительно труднее расшифровать собственные частоты при переходе пространственных продольных колебаний в поперечные.

Плотность частотного спектра примерно одинаковая, но при условии жесткой заделки удается анализировать двойные собственные частоты, обнаружить которые можно по анализу числа корней (в табл. 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13).

С помощью анализа форм колебаний достаточно наглядно можно классифицировать основные частоты и первые гармоники продольных, крутильных и поперечных колебаний. Это существенно для анализа близко совпадающих собственных частот и позволяет сопоставить частотному спектру при жесткой заделке «порождающее» решение.

Исследования частотного спектра по разработанной комплексной методике позволило показать, что при несвободном сжатии точки локального экстремума характеристического уравнения являются двойными собственными частотами с различными формами колебаний. Наличие аналитиче-

54 ГЛАВА 3

Таблица 3.6. Фазовые скорости i = 10, α = 60, μ = 0, 3 ω — частота, f — фазовая скорость

ских зависимостей для диапазона двух действительных корней привело к обнаружению очень малой двойной собственной частоты, названной автором условно «нулевой» частотой. Можно предположить, в том числе по форме колебаний, что «нулевая» частота при жесткой заделке соответствует нулевой частоте в решении Лява А. [4]. «Нулевая» частота сильно зависит от поджатия и при небольшом поджатии исчезает. «Особые» частоты имеют важный физический смысл, поэтому рассмотрим их в следующем параграфе.

Рассмотрим особенности взаимосвязанных пространственных колебаний при малом числе рабочих витков (до 5–6 витков). Этот диапазон наиболее сложен для расшифровки частотного спектра и соответствует типичным клапанным пружинам. При малом числе рабочих витков пространственные продольные колебания переходят с ростом номера гармоник продольных колебаний в поперечные, но при этом сама поперечная составляющая незначительна, поэтому всегда для коротких пружин существует диапазон, где нет обращения в нуль поперечных частот (продольной потери устойчивости). Этот диапазон проанализирован [1]. В таблицах 3.10–3.13 рассмотрены частоты основной и первой гармоник поперечных колебаний. В пружинах с тремя рабочими витками — это, соответственно, гармоники пятая и седьмая, определяющие основные частоты поперечных колебаний, и четвертая и восьмая — первые гармоники поперечных колебаний. Вторая основная частота поперечных колебаний близка к основной частоте крутильных колебаний, а пятая частота пространственных колебаний (первая гармоника поперечных колебаний) — к первой гармонике продольных колебаний с позиции модели эквивалентного бруса.

Все четыре основные анализируемые частоты в таблицах 3.10–3.13 возрастают с увеличением угла в два раза, с ростом поджатия, кроме гармоники

Таблица 3.8. Частотный спектр при жесткой заделке i = 8; α = 6 0; m = 0; m2 = 0;

μ = 0, 3

седьмой (n = 2i + 1), которая сначала возрастает, а потом уменьшается. Существует аналогия в частотном спектре пружины с тремя витками и α = 120 и пружины с пятью витками, угол подъема винтовой линии которой в два раза меньше (α = 60). В пружине с пятью витками и α = 120 с ростом поджатия возрастает гармоника n = 2i − 2, а остальные уменьшаются с обращением в нуль гармоники n = 2i + 1.

Таблица 3.9. Сравнение частотного спектра при шарнирной и жесткой заделках при i = 3; α = 6 0; m = 0; m2 = 0; μ = 0, 3

Наблюдаемая близость собственных частот различной физической природы и различный характер зависимости гармоник от геометрических параметров и начального деформированного состояния существенно осложняет анализ собственных частот для коротких пружин при условии жесткой заделки.

Совместное использование пяти задач («порождающее» решение, особые точки, симметричные колебания, антисимметричные колебания, формы

колебаний) позволяет расшифровать частотный спектр и для коротких пружин (i = 3, i = 5,α = 60, α = 120, m = 0, m = −0, 3, m = +0, 3), где

взаимосвязанность колебаний затрудняет анализ в исследуемом диапазоне по сравнению с длинными пружинами.

Совершенно очевидно существование зон плотного частотного спектра и зон разряжения частотного спектра (расчеты выполнялись с шагом по безразмерной частоте 0, 001). Анализ числа корней характеристического

Таблица 3.10. Сравнение частотного спектра при шарнирной и жесткой заделках при i = 5; α = 6 0; m = 0; m2 = 0; μ = 0, 3

уравнения показывает, что при отсутствии матрицы решения с двумя действительными корнями даже для коротких пружин (зона растяжения i = 3,

m= +0, 3, α = 60) затрудняется анализ частотного спектра. Число собственных частот в диапазонах (i = 3, m = 0, α = 60): 0 . . . 1 — 2 частоты, 1 . . . 2 — 10 частот, 2 . . . 2,3 — 3 частоты, 2,3 . . . 4,2 — 1 частота. Для i = 5,

m= 0 диапазоны: 0 . . . 1 — 2 частоты, 1 . . . 2 — 4 частоты, 2 . . . 3 — 9 частот, 3 . . . 3,25 — 2 частоты. Анализ существования групп стоячих волн близкой частоты, но различной физической природы и групп стоячих волн близкой формы, но с различными частотами относятся к задачам третьего уровня физико-математического полигона.

3.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ Ч АСТОТНОГО СПЕКТРА 59

Таблица 3.11. Сравнение частотного спектра при шарнирной и жесткой заделках при i = 5; α = 12 0; m = 0; m2 = 0; μ = 0, 3

3.3.Экспериментальные результаты исследования частотного спектра взаимосвязанных пространственных колебаний цилиндрических пружин

Во второй главе приведены экспериментальные результаты исследований частотного спектра цилиндрических пружин, проведенных в 1972 г., опубликованных в [5] в двух вариантах: с расшифровкой эксперимента и сопоставлением с расчетом и без сопоставления эксперимента с расчетом.

60 ГЛАВА 3

Таблица 3.12. Сравнение частотного спектра при шарнирной и жесткой заделках при i = 5; α = 12 0; m = −0, 3; m2 = 0; μ = 0, 3; ω11 = 3, 03; ω22 = 3, 38

Таблицы 2.6. . . 2.11 могут быть использованы и для анализа полного спектра частот. В таблицах 3.15. . . 3.19 представлены результаты [6], в которых более подробно рассмотрены взаимосвязанные колебания.

Авторы уверены, что низшие частоты могут быть найдены на основе методов конечных элементов, но наибольшие трудности будут возникать при анализе и расшифровке взаимосвязанных колебаний. Это и определило необходимость публикации в данной книге практически всего экспериментального материала по анализу пространственных колебаний тонкого винтового бруса.