Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Б.Г. Разумейко И.С. Недосекина Л.Р. Ким-Тян

Интегральное исчисление функций одной переменной

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2017

УДК 517.5 Р17

Р е ц е н з е н т канд. физ.-мат. наук С.И. Валянский

Разумейко Б.Г.

Р17 Интегральное исчисление функций одной переменной : курс лекций / Б.Г. Разумейко, И.С. Недосекина, Л.Р. Ким-Тян. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 91 с.

ISBN 978-5-906846-73-0

Данное издание является продолжением курса лекций «Дифференциальное исчисление», читаемых авторами в рамках программы по математике для физико-химических специальностей. Курс является составной частью учеб- но-методического комплекса, включающего в себя курс лекций, практикум и пособие, посвященное разбору экзаменационных билетов.

Предназначен для студентов первого курса всех технических специальностей НИТУ «МИСиС».

УДК 517.5

2

3

1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Определение первообразной функции

инеопределенного интеграла

Пусть Х – промежуток числовой оси (отрезок, интервал, полуинтервал).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть функции f(x) и F(x) определены на промежутке Х. Если функция F(x) имеет производную на промежутке Х и для всех х выполняется равенство

F (x) = f(x),

то функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции f(x) на Х.

т.е. F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке

Х = (–1; 1).

ТЕОРЕМА 1.1. Если F(x) является первообразной для функции f(x) на Х, то любая другая первообразная Ф(х) для функции f(x) на Х может быть представлена в виде

Ф(х) = F(x) + С,

где С – постоянная.

Доказательство. По условию теоремы

F (x) = f(x) и Ф (x) = f(x) х .

Рассмотрим

(Ф(х) – F(x)) = Ф (x) – F (x) = f(x) – f(x) = 0 х .

Отсюда следует, что

Ф(х) – F(x) = С х , т.е. Ф(х) = F(x) + С.

4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) по этому промежутку и обозначается символом

f (x)dx .

Символ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Если F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на Х, С – произвольная постоянная, то

f (x)dx F(x) C .

Подынтегральное выражение можно записать в виде F (x)dx или dF(x), т.е.

f(x)dx = dF(x).

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции является обратной к операции дифференцирования. Ее на-

зывают интегрированием.

1.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Пусть функция F(x) дифференцируема на промежутке Х, тогда

dF(x) F (x)dx F(x) C .

Доказательство

Это свойство следует непосредственно из определения неопределенного интеграла.

Свойство 2. Пусть функция f(x) имеет первообразную на промежутке Х, тогда

d f (x)dx f (x)dx

или

f (x)dx f (x) .

5

Доказательство

Непосредственно из определения следует, что

d f (x)dx d(F(x) C) dF(x) f (x)dx ,

f (x)dx (F(x) C) F (x) f (x) .

Замечание. Согласно свойствам 1 и 2 знаки дифференциала (производной) и интеграла, следующие друг за другом, взаимно уничтожаются.

Свойство 3. Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные на промежутке Х, то функция f1(x) + f2(x) также имеет первообразную на Х, причем

( f1 (x) f2 (x))dx f1 (x)dx f2 (x)dx .

Доказательство

Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные для функций f1(x) и f2(x) соответственно. Тогда F(x) = F1(x)+ F2(x) – первообразная для функции f1(x) + f2(x), так как

F´(x) = F1´(x) + F2´(x) = f1(x) + f2(x).

Согласно определению интеграла

( f1 (x) f2 (x))dx F1 (x) F2 x C ,

f1 (x)dx f2 (x)dx F1 (x) C1 F2 (x) C2 .

Итак, левая часть доказываемой формулы состоит из функций вида F1(x) + F2(x) + С, а правая часть – из функций вида

F1(x) + F2(x) + С1 + С2. Так как С, С1, С2 произвольные постоянные, то эти совокупности совпадают.

Свойство 4. Если функция f(x) имеет первообразную на проме-

жутке Х и k 0, то функция k f(x) также имеет первообразную, причем

kf (x)dx k f (x)dx .

6

Доказательство

Пусть F(x) – первообразная для функции f(x). Тогда kF(x) – перво-

образная для kf(x), так как (kF(x)) = kF (x) = kf(x). Согласно определению интеграла

kf (x)dx kF(x) C1 ,

k f (x)dx k(F(x) C2 ) kF(x) kC2 .

Таким образом, левая часть доказываемой формулы состоит из функций вида kF(x) + С1, а правая – из функций вида kF(x) + kС2. Ввиду произвольности постоянных С1 и С2 обе совокупности совпадают.

Замечание. Убедимся, что свойство 4 не работает, если k = 0. Действительно

kf (x)dx 0 f (x)dx C , k f (x)dx 0 f (x)dx 0 .

Объединив свойства 3 и 4, приходим к выводу, что операция интегрирования обладает свойством линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.

Используя свойство линейности интеграла и таблицу производных, получим

Обратите внимание: необходимым условием овладения искусством интегрирования является безукоризненное знание таблицы производных!

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Приведенный выше пример показывает, что любая формула, дающая производную (или дифференциал) какой-либо функции, дает и некоторую формулу интегрирования, если прочитать ее справа на-

7

лево. Обратившись к таблице производных простейших функций, можем составить таблицу интегралов.

1.0 dx С.

2.1 dx x С, и вообще, аdx аx С , где а – любое число.

3.При любом постоянном α –1 и х > 0

x 1

xαdx α 1 С.

Если α = –1 и х > 0, то x 1dx dxx ln x C . Так как при x < 0

а1.

5.sin xdx cos x С ; cos xdx sin x С ;

Дополним нашу таблицу двумя часто встречающимися на практике интегралами, значения которых не получаются непосредственно из таблицы производных.

8

Этот интеграл часто называют «высоким логарифмом». Чтобы его вычислить, сначала преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Далее, воспользовавшись свойствами неопределенного интеграла, получим

А этот интеграл называют «длинным логарифмом». Формула может быть получена методом интегрирования по частям, с которым мы познакомимся позже. А пока читателю предлагается убедиться непосредственным дифференцированием, что производная выражения, стоящего в правой части равенства, равна подынтегральной функции.

С помощью табличных интегралов и доказанных выше свойств неопределенного интеграла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных функций также через элементарные функции.

1.4. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции

Производная любой элементарной функции – элементарная функция. С операцией интегрирования дело обстоит иначе. Интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Например:

1. e x2 dx – интеграл Пуассона;

9

2.sin x2dx , cos x2dx – интегралы Френеля;

3.lndxx – интегральный логарифм;

4.sinx x dx – интегральный синус, cosx x dx – интегральный ко-

синус.

1.5. Метод замены переменной (подстановки)

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом замены пере-

менной, или методом подстановки.

Пусть функция u = (х) – определена и дифференцируема на промежутке Х, U – множество ее значений. Пусть для функции f(u) на промежутке U существует первообразная F(u), т.е.

F´(u) = f(u).

Тогда на промежутке Х определена и дифференцируема сложная

функция F( (х)) и по правилам дифференцирования сложной функции имеем:

(F( (х)))´ = F ( (х)) (х) = f( (х)) (х).

Следовательно, F( (х)) – первообразная для функции f( (х)) (х) на промежутке Х. Это означает, что если

f (u)du F(u) C ,

то

f ( (x)) (x)dx f ( (x))d( (x)) F( (x)) C .

Приведенную выше формулу называют формулой интегрирования заменой переменной. Отметим ее важные частные случаи.

Случай 1. Пусть F(х) – первообразная для функции f(х), т.е.

f(х)dх = F(х) + С.

10