Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Случай 3. Используя равенство

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

741 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Тогда

f (ax b)dx 1a f (ax b)d(ax b) 1a F(ax b) C.

Пример 1.3. (3x 5)7 dx

(3x 5)7 d(3x 5) 1

(3x 5)8

d(2x 3)

1 ln

Пример 1.4.

2x 3

Пример 1.5. cos(7x 1)dx 1 cos(7x 1)d(7x 1)

1 sin(7x 1)

1arctg

1 arcctg

Пример 1.6.

2 2

а 0.

Пример 1.7.

arcsin

С arccos

а 0.

Случай 2. Используя равенство

u 0,

получаем

	d ( (x))
(x)dx		ln	(x)	C,	(x) 0.
(x)	(x)

Пример 1.8.

Пример1.9.

	xdx	1	(x2 5) dx				1
				x2 5			2
	x2 5	2
		sin xdx
tg xdx					(cos x) dx
		cos x				cos x

d (x2 5)	1 ln	x2	5	C.

x2 5	2

d(coscos xx) ln cos x C.

получаем

( (x)) (x)dx ( (x)) d (x) ( (x)) 1 C

(x) 0, 1 .

Пример 1.10.		xdx			1	(x2 5) dx				1	d (x2		5)	1	u	1
					2		2			2		2		2		2 du
		x	2	5		x	2	5			x	2	5			2 du
		x		5		x		5			x		5
1	x2 5 C .
= u 2 C	x2 5 C .
Иногда	бывает			целесообразно					при		вычислении				интеграла

f (x)dx перейти к новой переменной.

Пусть х = (t) – строго монотонная и дифференцируемая на некотором промежутке функция. Тогда она имеет обратную функцию t = g(x).

Преобразуя подынтегральное выражение с помощью подстановки х = (t), получаем

f(х)dх = f( (t)) (t)dt = u(t)dt.

Пусть U(t) – первообразная для функции u(t). Тогда

f (x)dx f ( (t)) (t)dt u(t)dt U (t) C U (g(x)) C .

Последнюю формулу называют формулой интегрирования подстановкой.

Пример 1.11. Вычислить интеграл I a2 x2 dx, a 0.

Подынтегральная функция определена на отрезке [– a, a]. Положим

х = (t) = asint, t [– /2, /2],

тогда

t g(x) arcsin

a2 x2

a2 cos2 t a cost,

dx a costdt.

Следовательно,

a2 x2 dx acost acostdt

a2 (1 cos2t)dt a2

(t sin2t) C.

Далее нужно вернуться к старой переменной. Так как

sin t

, cost

то

sin 2t sin t cost

a2 x2

Поэтому

I a2

x2 dx a2 arcsin

x a2

1.6. Метод интегрирования по частям

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные на промежутке Х. Тогда справедлива формула для производной произведения этих функций

[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x).

Интегрируя записанное равенство, находим

(uv) dx uv (u v uv )dx .

Отсюда получим

uv u vdx uv dx .

Эта формула содержит две первообразных. Выразим одну из них через другую, например

u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx .

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Воспользовавшись определением дифференциала, ее можно записать в другом виде

udv uv vdu.

Специфические особенности формулы интегрирования по частям рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1.12. Рассмотрим ln xdx . Мы не можем сразу записать

первообразную, так как не знаем функции, производная которой равнялась бы lnx. Попробуем применить здесь формулу интегрирования

по частям. В нашем случае u = lnx, dv = dx. Тогда du (ln x) dx dxx , v = x. Формула интегрирования по частям дает

ln xdx x ln x x dxx x ln x dx x ln x x C .

Полученный результат полезно проверить, убедившись, что производная найденной функции равна lnx.

Пример 1.13. Аналогично предыдущему может быть вычислен

интеграл более общего вида

xα ln xdx , где α –

любая константа,

α 1:

xα ln xdx

u ln x,

dv xαdx

xα 1

ln x

xαdx

xα 1

α 1

xα 1

ln x

α 1

Пример 1.14. Рассмотрим x cos xdx . Из двух сомножителей, со-

ставляющих подынтегральную функцию, второй при дифференцировании и интегрировании превращается в sinx (с точностью до знака), а первый при дифференцировании дает 1 – более простое выражение, чем он сам. Поэтому полагаем u = x, dv = cosx dx. В результате имеем

x cos xdx		u x,		dv cos xdx	xsin x		sin xdx

	du dx,		v	cos xdx sin x
xsin x cos x С .
Пример 1.15. Пусть теперь мы хотим найти							x2 cos xdx . Приме-
няя те же соображения, что и в предыдущем примере, имеем
x2 cos xdx		u x2	,	dv cos xdx		x2 sin x 2 xsin xdx .

		du 2xdx,		v cos xdx sin x

К полученному интегралу еще раз применим формулу интегрирования по частям:

xsin x	u x,	dv sin xdx	x cos x cos xdx

	du dx,	v sin xdx cos x

xcos x sin x .

Врезультате произведенных вычислений имеем

x2 cos xdx = (x2 2)sin x 2x cos x C.

Пример 1.16. Пусть				требуется			вычислить	интеграл
I sin(ln x)dx . Применив формулу интегрирования по частям, имеем
I sin(ln x)dx =	u sin(ln x),					dv dx	xsin(ln x) cos(ln x)dx.

	du	cos(ln x)			dx,	v x
			x

К полученному интегралу еще раз применим формулу интегрирования по частям:

cos(ln x)dx	u cos(ln x),			dv dx	x cos(ln x) sin(ln x)dx)

	du	sin(ln x)	dx,	v x
		x

x cos(ln x)) I.

Итак, после двукратного интегрирования по частям получаем уравнение относительно искомого интеграла:

I x(sin(ln x) cos(ln x)) I ,

откуда находим

I sin(ln x)dx 2x (sin(ln x) cos(ln x)) С .

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся по частям, может быть разбита на три группы.

К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, …

Вэтом случае u(x) полагают равной такой функции. Ко второй группе относятся интегралы вида

(ax b)n coscxdx,

(ax b)n sin cxdx, (ax b)n ecx dx,

где a, b, c – некоторые постоянные, n – любое натуральное число.

Такие интегралы берутся путем n-кратного применения формулы интегрирования по частям, причем в качестве u(x) всякий раз следует брать (aх + b) в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям эта степень будет понижаться на единицу.

Ктретьей группе относятся интегралы вида

sin(ln x)dx, cos(ln x)dx, eax sin bxdx, eax cosbxdx.

Обозначая вычисляемый интеграл через I и производя двукратное интегрирование по частям, получаем для нахождения I линейное алгебраическое уравнение.

Конечно, указанные три группы не исчерпывают всех интегралов, берущихся по частям.

Пример 1.17. Вычислим интеграл, который не относится к пере-

численным трем группам:

xdx

u x,

x tg x

tg xdx xtg x

sin xdx

cos2 x

cos2

cos x

du dx,

v tg x

x tg x d (cos x)

x tg x ln

cos x

С.

cos x

Пример 1.18. Наконец, вычислим важный для дальнейшего интеграл (он тоже не входит ни в одну из трех перечисленных выше групп):

In		dx	,	n .
	(x2	a2 )n

Выведем рекуррентную формулу, позволяющую вычислить интеграл In, если известен In–1, где n = 2, 3, … Сначала преобразуем подынтегральную функцию:

In	1		a2 x2 x2								dx		1						dx								x2dx
				2		2		n
	a	2	(x	2	a	2	)	n					a	2		(x		2	a		2	)		n 1		(x	2	a	2	)	n
	a		(x		a		)						a			(x			a			)				(x		a		)
										1							x2dx
												In 1													.
									a		2	In 1			(x		2	a		2	)		n		.
									a						(x			a			)

Далее применим интегрирование по частям ко второму интегралу:

u x,

xdx

x2dx

x2 a2 n

)

2 1 n

du dx,

(x2

a2 ) n d(x2 a2 )

)

2(1 n)

In 1 .

2(1 n)(x2

a2 )n 1

2(1 n)

(x2

a2 )n 1

2(1 n)(x2 a2)n 1

2(n 1)

Возвращаясь назад, получим

n 1

n)(x

)

2(n 1)

2(1

Отсюда имеем рекуррентную формулу

(2n 3)In 1

n 2, 3, ... .

2(n

(x2 a2 )n 1

1)a2

Интеграл

1 arctg

C . Полученная формула по-

зволяет вычислить

arctg

C .

Зная I2, по той же формуле можно найти I3, и т. д.

1.7. Интегрирование рациональных дробей

Функция вида

f (x) Pn (x) ,

Qm (x)

где Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, называ-

ется дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью. Если n < m, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Если дробь неправильная, выделим ее целую часть:

Pn (x)	Sn m (x)	Rk (x)	,
Qm (x)		Qm (x)

где Sn–m(x), Rk(x) – многочлены степени (n – m) и k соответственно, причем k < m.

Пусть Pn (x) – правильная дробь, числитель и знаменатель кото-

Qm (x)

рой не имеют общих корней. Такая дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простых дробей вида

Итак, задача интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена, интеграл от которого является табличным, и правильной рациональной дроби, что приводит к нахождению

интегралов следующих четырех типов:

Adx

Aln x a C ;

Adx

s 1;

x a

1)(x a)

s 1

(x a)

( Ax B)dx

;

( Ax B)dx

, k 1 .

px q

px q)

Выделим полный квадрат по х в знаменателях двух последних дробей и сделаем замену переменной:

p 2

т.е.

x t

(Ax B)dx

dt .

Тогда

(Ax B)dx

At (B Ap / 2)

d(t2 a2 )

px q

ln(t

)

arctg

2x p

ln(x

px q) B

arctg

C .

4q p2

( Ax B)dx

d (t2 a2 )

px q)

)

Ik ,

2(k

1)(x

px q)

k 1

где Ik

можно вычислить по рекуррентной формуле, ко-

(t2 a2 )k

торая получена с помощью интегрирования по частям (см. при-

мер 1.18):

(2k 3)Is 1

k 2, 3, ...

2(k

1)a2

(t2 a2 )k 1

1.8. Понятие рациональной функции многих переменных

Под рациональной функцией двух переменных u и v понимается функция R(u, v), представимая в виде

R(u,v) P(u,v) ,

Q(u,v)

где P и Q – многочлены относительно u, коэффициенты которых являются многочленами относительно v.

Например,

R(u,v) 5u2v u3v5 7 . u v2

Если переменные u и v, в свою очередь, являются функциями переменной х, то функция R(u(х),v(х)) называется рациональной функцией от u(х), v(х). Например,

f (x)	3x 1 x2	R(x,	1 x2 ) −
	5x 8(1 x2 )

рациональная функция от u(x) x,		v(x)	1 x2 .

Аналогично можно ввести понятие рациональной функции от m переменных.

Далее рассмотрим интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть вычислены методами, рассмотренными ранее.

1.9.Интегрирование некоторых тригонометрических

игиперболических функций

Интегралы вида R(sin x,cos x)dx , где R(u, v) – рациональная

функция от переменных u и v – могут быть сведены к интегралу от рациональной дроби с помощью так называемой универсальной три-

гонометрической подстановки:

				t tg		x	, x ( π, π) ,
				t tg		2	, x ( π, π) ,
						2
так как
sin x		2t	,	cos x	1	t2		, x 2arctg t,
sin x	1	t2	,	cos x	1	t2		, x 2arctg t,
	1	t2			1	t2

dx 2dt2 . 1 t

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]