Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

грал расходится.

Значит, по признаку сравнения исследуемый интеграл также расходится.

[0, 1). В точке х = 1 функция не ограничена. Исследуем ее поведение при x 1 – 0:

Рассмотрим соответствующий интеграл от функции g(х):

сходится.

Отсюда следует, что исследуемый интеграл также сходится.

рывна и неотрицательна (рис. 3.3). На концах интервала функция не определена. При x 0 знаменатель дроби ln x . Следова-

тельно f (x) ln1x 0 , т.е. на левом конце интервала функция ог-

61

Следовательно, по признаку сравнения исследуемый интеграл

62

на полуинтервале (0,1]. В точке х = 0 функция не ограничена. Исследуем ее поведение при x +0.

на полуинтервале (0, 1]. В точке х = 0 функция не ограничена. Исследуем ее поведение при x +0:

a

этом случае говорят, что функция f(x) абсолютно интегрируема на промежутке [a,+ ));

63

ходится.

Аналогично вводится понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов других типов.

ТЕОРЕМА 3.3. Если несобственный интеграл f (x) dx сходит-

a

ся, то интеграл f (x)dx также сходится и выполняется неравенство

a

Замечание. При исследовании несобственных интегралов на абсолютную сходимость применяются признаки сравнения для интегралов от неотрицательных функций.

Пример 3.21. Исследуем на абсолютную сходимость интеграл

cos xdx .

1 x2

тельно, исследуемый интеграл также сходится.

64

sin x sin2 x 1 cos 2x 2

имеем на любом конечном промежутке оценку

Перейдя теперь к пределу в неравенстве, получим, что его правая, а значит и левая, части стремятся к бесконечности, поэтому интеграл расходится.

Таким образом, исследуемый интеграл не является абсолютно сходящимся.

65

Библиографический список

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Физматлит, 2005. – Ч. 1.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Дрофа, 2008. – Т. 1–2.

Разумейко Б.Г., Ким-Тян Л.Р., Недосекина И.С. Дифференциаль-

ное исчисление функций одной переменной: Курс лекций. – М.: Изд.

Дом МИСиС, 2014. – 116 с.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2003.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматлит, 2003. – Т.2.

66

Приложение 1

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

1. Определение комплексного числа

Известно, что квадратное уравнение с отрицательным дискрими-

нантом не имеет решений в области действительных чисел. Напри-

мер, z2 + 1 = 0.

Возникает потребность расширить множество вещественных чисел так, чтобы на этом множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.

Комплексными числами называются упорядоченные пары (х, у) вещественных чисел х и у, для которых следующим образом введены понятия равенства и операции сложения и умножения.

Обозначим комплексное число (х, у) буквой z, т.е. положим z = (х, у).

Пусть z1 = (х1, у1), z2 = (х2, у2). Тогда:

1)z1 = z2 х1= х2 , у1 = у2;

2)z1 + z2 (х1+ х2, у1 + у2);

3)z1 z2 (х1х2 – у1у2, х1у2 + х2у1)

В частности, (х1, 0) + (х2, 0) = (х1 + х2, 0), (х1,0)(х2,0) = (х1х2,0),

т.е. операции над комплексными числами вида (х,0) совпадают с соответствующими операциями над вещественными числами. Поэтому полагают (х, 0) = х.

Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое обозначают буквой i и называют мнимой единицей.

Вычислим произведение i i = (0,1)(0,1) = (–1,0) = –1, т.е. i2 = –1.

Пусть у – вещественное число. Вычислим произведение i y = (0, 1)(y, 0) = (0, y).

Тогда z = (х, у) = (х, 0) + (0, y) = x + iy. Итак, любое комплексное число можно представить в виде

z = x = iy.

67

Это алгебраическая форма записи комплексного числа. Здесь

х = Rez – действительная часть комплексного числа z,

у = Imz – мнимая часть комплексного числа z. Если Rez = 0, то число чисто мнимое.

Число x2 y2 называют модулем комплексного числа z и обозначают z , т.е.

Комплексное число x – iy называют сопряженным комплексному числу z = x + iy и обозначают z , т.е.

z x iy x iy.

2. Свойства операций над комплексными числами

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

• коммутативности, т.е.

z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1;

• ассоциативности, т.е.

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3);

• дистрибутивности, т.е.

(z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций над вещественными числами. Отсюда следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя i2 на –1.

Пример1. Найдемсуммуипроизведениечиселz1 = 2 + 3i иz2 = 5 – 2i:

z1 + z2 = (2 + 3i )+(5 – 2i) = 7 + i.

z1z2 = (2 + 3i )(5 – 2i) =10 +15i – 4i – 6i2 = 16 + 11i.

68

Множество комплексных чисел обозначается буквой С.

Числа 0 = 0 + 0 i и 1 = 1+ 0 i на множестве С имеют такие же свойства, как и на множестве R, а именно:

z + 0 = z, z 1 = z, z C.

Вычитание на множестве С вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел z1 = х1+ iу1 и z2 = х2 + iу2 существует, и притом только одно, комплексное число z , такое что

z + z2 = z1.

Это число называют разностью чисел z1 и z2 и обозначают z1 – z2. (В частности, разность 0 – z обозначают – z.)

Из определения разности в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что

z1 – z2 = (х1– х2 ) + i(у1 – у2).

Деление на множестве С вводится как операция, обратная умно-

жению. Частным от деления двух комплексных чисел z1 и z2 0 называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению

zz2 = z1

и обозначается z1:z2 или z1 . z2

Практически частное от деления двух комплексных чисел z1 и z2 0 может быть найдено следующим образом:

3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Для геометрического изображения комплексных чисел (рис. П1.1) удобно пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. При этом комплексное число изображается точкой с координатами (х, у) или радиусом-вектором этой точки. Действительные чис-

69

ла, т.е. числа вида х + 0 i, изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, т.е. числа вида 0 + iу – точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Рис. П1.1 Геометрическая интерпретация комплексных чисел

4. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

y

z = x + iy

r

y

x

Оx

Рис. П1.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Пусть r, – полярные координаты точки z = x + iy комплексной плоскости, тогда

х = rcos , y = rsin ,

70