Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

Приложение 3

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции

Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры G, задаваемой на плоскости хОу условиями

G = {(x, y): a x b, 0 y f(x)},

где f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a, b] (рис. П3.1).

G

x

Рис. П3.1. Криволинейная трапеция

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь такой фигуры

b

S f (x)dx.

a

Рассмотрим теперь фигуру D, задаваемую условиями

D = {(x, y): a x b, f1(x) y f2(x)},

где f1(x), f2(x) – непрерывные на отрезке [a, b] функции (рис. П3.2).

81

y

y = f2(x)

D

Рис. П3.2. Иллюстрация к вычислению площади плоской фигуры

Если f1(x) 0 на отрезке [a, b], то площадь фигуры D равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками функций f1(x) и f2(x), и потому выражается формулой

b

S ( f2 (x) f1 (x))dx .

a

Последняя формула остается в силе и в случае, когда не выполня-

ется условие f1(x) 0 на [a, b]. Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления оси Оу на

Понятно, что от сдвига площадь фигуры не изменится.

Полярные координаты

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы:

1) некоторая точка O, называемая полюсом;

82

2) некоторый луч u, исходящий из точки O, называемый полярной осью (рис. П3.3)

M

r

φ

Рис. П3.3. Полярная система координат на плоскости

Полярными координатами точки М О называются два числа:

1)полярный радиус r = ОМ > 0;

2)полярный угол φ (0 φ < 2 ).

Пусть на плоскости задана правая декартова прямоугольная система координат и полярная система, причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Тогда декартовы и полярные координаты точки связаны следующим образом (рис. П3.4):

x = rcos φ, y =rsin φ.

Рис. П3.4. Связь декартовых и полярных координат точки М на плоскости

Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением r = r(φ), φ [ , ],

где r(φ) – непрерывная и неотрицательная на [ , ] функция. Плоскую фигуру, ограниченную кривой Г и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле

S1 r2 ( )d . 2

83

Рис. П3.5. Связь декартовых и полярных координат точки М на плоскости

Поясним это иллюстрацией (рис. П3.5). Пусть S(φ) – площадь сектора между лучами, составляющими с полярной осью углы α и φ. Рассмотрим элементарный сектор, расположенный между лучами, составляющими с полярной осью углы φ и φ + Δφ. При достаточно малых Δφ его площадь S можно рассматривать как площадь треугольника со сторонами r(φ) и r(φ +Δφ). Тогда

S 12 r( )r( )sin( ).

Разделим обе части последнего равенства на Δφ:

Переходя в полученном выражении к пределу Δφ 0, получим выражение для производной функции S(φ):

Отсюда получим формулу для вычисления площади сектора

SS ( )d 1 r2 ( )d .

2

84

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, задан-

ной уравнением r = acos3 . Такая фигура называется трилистником

(рис. П3.6).

Рис. П3.6. Трилистник

Из рис. П3.6 ясно, что вся площадь трилистника равна увеличенной в шесть раз площади его заштрихованной части, которая отвеча-

ет изменению от 0 до 6 . Поэтому

2. Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции G, задаваемой на плоскости хОу условиями

G = {(x, y): a x b, 0 y f(x)}.

Его объем может быть вычислен по формуле

b

Vx f 2 (x)dx .

a

Поясним эту формулу (рис. П3.7). Пусть xi in 0 – произвольное

разбиение отрезка [a, b]. На каждом из отрезков [xi–1, xi] разбиения выберем произвольную точку i. Построим прямоугольники высотой f( i) и

длиной основания xi = xi – xi–1. При вращении i-ого прямоугольника вокругоси Ох получим элементарныйцилиндробъемом

85

Vi= f 2( i) xi.

f(ξi)

G

Рис. П3.7. Вычисление объема тела вращения

y

x

Рис. П3.8. Разбиение тела вращения на элементарные цилиндры

Очевидно, искомый объем приблизительно равен сумме объемов элементарных цилиндров (рис. П3.8). Образуем сумму

n

f 2 ( i ) xi .

i 1

Это интегральная сумма Римана для функции f 2(х) на отрезке [a, b] для данного разбиения τ и данного выбора промежуточных то-

чек. Так как f(х) – интегрируемая на отрезке [a, b] функция, то f 2(х) также интегрируема на [a, b], т.е. существует

Найденный предел и есть объем интересующего нас тела вращения.

86

3. Вычисление длины дуги кривой

z

В

A

Оу

x

Рис. П3.9. К определению длины дуги кривой

Пусть имеется дуга АВ некоторой кривой (рис. П3.9). Впишем в нее ломаную линию и будем увеличивать число сторон этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной р будет стремиться к определенному пределу L, не зависящему от того, какие именно ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой, а упомянутый предел называется дли-

ной этой дуги.

Пусть кривая на плоскости задана явным уравнением y = f(x), причем точкам А и В соответствуют значения х = a, y = b (a < b). Пусть f(x) имеет непрерывную производную на [a, b].

y

Рис. П3.10. К выводу формулы длины дуги плоской кривой, заданной уравнением y = f(x)

Пусть АM1M2 … Mn-1В – вписанная ломаная (рис. П3.10), причем ее вершинам соответствуют значения x:

87

интегральная сумма Римана для функции (х) на [a, b]. Функция (х) непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на [a, b], т.е. сущест-

Таким образом, длина L дуги АВ выражается формулой

a

Пример 2. Найдем длину участка цепной линии y ach x ,0 x b

a

(форму рассматриваемой кривой имеет тяжелая цепь, подвешенная за концы).

88

Пусть теперь кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ,

причем точкам А и В соответствуют значения параметра t = и t = , а кривая не имеет самопересечений. Пусть функции x(t), y(t), z(t)

имеют на отрезке [ , ] непрерывные производные. В этом случае дуга АВ спрямляема и ее длина выражается формулой

Пример 3. Вычислим длину дуги циклоиды

(Циклоидой называется плоская кривая, которую описывает точка окружности радиуса а, катящейся без скольжения по прямой линии.)

В данном случае

Если кривая на плоскости задается уравнением в полярных координатах

r = r( ),

и функция r( ) имеет на отрезке [ , ] непрерывную производную, то соотношения

x = r(φ)cosφ, y = r(φ)sinφ, ,

89

можно рассматривать как параметрические уравнения кривой с параметром . Тогда

x (φ) = r (φ)cosφ - r(φ)sinφ, y (φ) = r (φ)sinφ + r(φ)cosφ, (x (φ))2 + (y (φ))2 = r2(φ) +(r (φ))2.

Следовательно, длина дуги может быть найдена по формуле

90