Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям, поэтому ее используют лишь в тех случаях, когда нет других способов вычисления интегралов данного типа. Вместе с тем другие методы иногда позволяют вычислить интеграл значительно быстрее, в частности, использование подстановок вида t = cosx, x (0, ); t = sinx, x (– /2, /2); t = tgx, x (– /2, /2).

Пример 1.21. Вычислим cosdxx

свести к интегралу от рациональной дроби с помощью универсальной тригонометрической подстановки, но проще использовать под-

21

становку t = tgx. Разделив числитель и знаменатель на cos2x, получим:

dx

Вприложениях часто встречаются интегралы вида

sinm x cosn xdx, m , n .

В результате задача свелась к интегрированию многочлена. Дальнейшие вычисления проведите самостоятельно.

Если в подынтегральной функции sinm x cosn x оба показателя m и n положительны и четны (или один из них равен 0), то целесообразно применять формулы понижения степени

Если же m или n нечетно, то интегралы сводятся к интегралам от рациональной функции следующим образом:

22

Пример 1.25. Вычислим интеграл cos4 xdx. Сначала преобразу-

ем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени:

=3 cos 2x cos 4x . 8 2 8

Интегрируя полученное выражение, получаем

cos4 x dx = 38x sin42x sin324x C.

Интегралы вида sin αx cosβxdx непосредственно вычисляются,

если в них подынтегральные функции преобразовать согласно формулам:

sin x cos x 12 sin( )x sin( )x ; sin xsin x 12 cos( )x cos( )x ;

cos x cos x 12 cos( )x cos( )x .

Пример 1.26.

sin 2x cos xdx 12 (sin 3x sin x)dx 16 cos3x 12 cos x C.

23

Интегралы вида R(shx,chx)dx , где R(u, v) – рациональная функ-

ция от переменных u и v, могут быть сведены к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки

t th 2x ,

так как

Иногда при вычислении интегралов данного типа более эффективными являются подстановки t = chx, t = shx, t = thx, t = ch2x или метод интегрирования по частям.

1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций

( rk Q (k = 1, 2, … , n); a, b, c, d R; ad – bc 0 )

подстановкой

ax b t p cx d

(p – общий знаменатель рациональных чисел r1, r2, … , rn) приводятся к интегралу от рациональной функции одной переменной t.

24

выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной можно свести к интегралам от функций следующих трех видов, каждый из которых может быть вычислен с помощью соответствующей тригонометрической подстановки:

1)R u, a2 u2 – подстановка u =acost или u =asint;

2)R u, a2 u2 – подстановка u =atgt или u =actgt;

3)R u, u2 a2 – подстановка u cosa t или u sina t .

дующему интегралу от тригонометрической функции:

I cos4dt3 t .

Рассмотрим часто встречающийся на практике интеграл

Для его вычисления предварительно выделим в числителе производную подкоренного выражения в знаменателе

25

(ax2 bx c) 2ax b и разобьем на сумму двух несложно вычисляемых интегралов:

Интеграл

сводится к предыдущему подстановкой

26

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Определение интеграла Римана

y

y = f(x)

f(ξi)

Рис. 2.1. Построение интегральной суммы для функции f(x) на отрезке [a, b]

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] (а < b) (рис. 2.1). Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками xi:

a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b.

Набор точек xi in 0 называется разбиением отрезка [a, b].

На каждом из полученных отрезков [xi–1, xi] разбиения выберем произвольную точку i . Обозначим xi = xi – xi–1 – длину отрезка. Образуем сумму

n

( f ; 1, 2 ,..., n ) f ( i ) xi .

i 1

Эта сумма называется интегральной суммой Римана для функции f(x) на отрезке [a, b], соответствующей данному разбиению и выбору промежуточных точек 1, 2, … , n.

Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями xi и высотами f(ξi) с соответствующими знаками.

27

Число называется мелкостью разбиения .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Число I называется пределом интегральных сумм при 0, если для любого числа найдется такое число ) , что для любого разбиения отрезка [a, b], мелкость которого , при любом выборе промежуточных точек 1, 2, …, n выполняется неравенство

(f; 1, 2, …, n) – .

При этом используется обозначение

lim I .

0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Функция y = f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], если существует конечный предел I ин-

тегральных сумм этой функции при 0, а число I называется интегралом Римана, или определенным интегралом, функции f(x) на [a, b] и обозначается

b

I f (x)dx.

a

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

2.2. Необходимое условие интегрируемости

ТЕОРЕМА 2.1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на [a, b].

Доказательство. Предположим обратное: функция не ограничена на [a, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму за счет выбора промежуточных точек можно сделать сколь угодно большой

при любом разбиении .

Пусть – разбиение отрезка [a, b]. Так как функция не ограничена на [a, b], то при любом разбиении она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [x0, x1]

(рис. 2.2). Фиксируем промежуточные точки 2, … , n , а 1 будем менять. Тогда

28

Так как функция, по нашему предположению, не ограничена на [x0, x1], то для любого С > 0 найдется точка 1 [x0, x1], такая что

f( 1)| С. В этом случае за счет выбора 1 слагаемое f( 1) x1 может быть сделано сколь угодно большим и не существует предела инте-

гральных сумм lim , т.е. функция не интегрируема на [a, b]. Это

0

противоречит утверждению теоремы. y

f(ξ1)

ξ1

Рис. 2.2. К теореме об ограниченности интегрируемой на [a, b] функции

2.3. Критерий интегрируемости функции

Пусть функция y = f(x) определена и ограничена на отрезке [a, b] и– разбиение этого отрезка. Обозначим

Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения отрезка [a, b].

29