Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

Полученный результат можно интерпретировать так: площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной графиком

равна π2 .

у

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Пусть функция f(x) определена на конечном промежутке [a, b) и интегрируема на любом отрезке [a, ], где a

< b, т.е. существует f (x)dx . Точка b в этом случае называется

a

особой точкой. Предел этого интеграла при b – 0 называется несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b) и обозначается как обычно

51

Если этот предел конечен, то интеграл называется сходящимся. Если предел бесконечен или вообще не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл по промежутку (а, b]:

Если функция f(x) определена на конечном промежутке (a, b) и

интегрируема на любом отрезке [ , ] (a, b), то несобственный интеграл от f(x) по промежутку (a, b) определяется формулой

При этом интеграл сходится, если существует предел в правой части равенства.

Если функция f(x) определена на отрезке [а, b], за исключением точки с (a, b), и интегрируема на отрезках [а, ] и [ , b] при любых

и , таких что a < с < b, то несобственный интеграл по промежутку [а, b] определяется так:

Интеграл сходится, если существуют оба конечных предела в правой части равенства, при этом по определению

тановить его расходимость.

52

но не ограничена на этом промежутке. Пусть (–1, 0]. Обозначим

т.е. несобственный интеграл сходится и равен 2.

Пример 3.7. Исследовать на сходимость в зависимости от пара-

3.3. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

Так как несобственные интегралы есть пределы обычных интегралов Римана, то на них переносятся многие свойства определенных интегралов. Рассмотрим некоторые из них.

53

b

Будем рассматривать несобственные интегралы вида f (x)dx ,

a

предполагая, что функция f(x) определена на промежутке [а, b), где a – конечная точка, b – либо конечная точка, либо символ + .

Формула Ньютона–Лейбница для несобственных интегралов

Это равенство понимают так: либо обе его части одновременно имеют смысл и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла, т.е. стоящие в них пределы не существуют.

Пример 3.8. Вычислить интегралI arctg x2dx .

0 1 x

Найдем первообразную для подынтегральной функции

Далее по формуле Ньютона–Лейбница (3.10) получим:

Подынтегральная функция непрерывна и имеет первообразную на всей числовой прямой. Воспользуемся формулой Ньютона– Лейбница:

54

Пример 3.10. Рассмотрим интеграл xdx . Применив формулу

т.е. интеграл расходится.

Линейность несобственного интеграла

Если сходятся несобственные интегралы от f(x) и g(x) на промежутке [а, b), то для любых чисел , R сходится интеграл от функции f(x) + g(x), причем

Интегрирование неравенств

Если сходятся несобственные интегралы от f(x) и g(x) на проме-

жутке [а, b) и для всех х [a, b) выполняется неравенство f(x) g(x), то

b b

f (x)dx g(x)dx .

a a

Интегрирование по частям в несобственном интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) определены, непрерывны и имеют непрерывные производные на промежутке [a, b). Тогда имеет место равенство

где

b

(uv) lim(u(x)v(x)) u(a)v(b) .

a x b

55

При этом предполагается, что если любые два из входящих в формулу (3.12) выражений имеют смысл, то имеет смысл и третье.

Пример 3.11. Вычислить несобственный интеграл I хe x dx .

Пример 3.12. Вычислить несобственный интеграл I ln xdx .

0

Подынтегральная функция lnx определена, непрерывна и имеет непрерывную производную на промежутке (0, 1]. Формула интегрирования по частям в этом случае имеет вид

Замена переменной в несобственном интеграле

Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b) и выполнены условия:

При этом интегралы в обеих частях этой формулы одновременно сходятся или расходятся.

Замечание. Может случиться, что в результате замены переменной несобственный интеграл превратится в обычный. Например,

56

a

сформулированные далее свойства остаются справедливыми и для несобственных интегралов других типов.

ТЕОРЕМА 3.1 (Критерий сходимости интеграла от неотри-

цательной функции). Пусть функция f(x) 0 на [a, + ) и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Тогда для сходимости несобственного

интеграла f (x)dx необходимо и достаточно, чтобы функция

a

b

F(b) f (x)dx была ограничена сверху, т.е.

a

Доказательство. Заметим, что функция F(b) – неубывающая. Действительно,

b2

если b1< b2, то F(b2 ) F(b1 ) f (x)dx 0 .

b1

1. Необходимость. Пусть интеграл f (x)dx сходится, т.е. суще-

a

ствует конечный

57

По теореме о пределе монотонной функции I sup F(b) . От-

b [a, )

сюда, согласно определению точной верхней грани, следует, что для

2. Достаточность. Пусть выполнено условие (3.14). Тогда в силу теоремы о пределе монотонной функции существует конечный

lim F(b) I sup F(b) ,

b [a, )

т.е. интеграл f (x)dx сходится.

a

ТЕОРЕМА 3.2 (Признак сравнения). Пусть для всех х [a, + )

выполняется условие

0 f(x) g(x),

Тогда:

Доказательство. Интегрируя неравенство f(x) g(x) на отрезке [a, b], получим

b b

f (x)dx g(x)dx .

a a

Если g(x)dx сходится, то

a

b

С > 0: b [a, + ) g(x)dx С.

a

58

Следовательно, и

b

f (x)dx С b [a, + ),

a

т.е. по теореме 3.1 интеграл f (x)dx сходится.

a

Пусть теперь f (x)dx расходится. Тогда должен расходиться и

a

интеграл g(x)dx , ибо в противном случае, по доказанному выше,

a

сходился бы f (x)dx .

a

Замечание. Если неравенство f(x) g(x) выполняется x [a1, + ), где a1 > a, то утверждение теоремы сохраняется.

Пример 3.14. Исследовать на сходимость интеграл sin4 7x dx.

1 3 х5 5

Так как

и, кроме того, f(x) и g(x) – эквивалентные при х + функции. Тогда интегралы

f (x)dx и g(x)dx

a a

сходятся или расходятся одновременно.

59

Доказательство. Пусть f(x) ~ g(x) при х + , т.е.

Согласно определению предела для = 1/2 найдется B( ) [a, + ), такое что для всех х (B( ),+ ) справедливо неравенство

откуда, на основании теоремы 3.2, следует доказываемое утверждение.

1

Здесь подынтегральная функция неотрицательна на промежутке

[1, + ) и

Следовательно, по признаку сравнения исследуемый интеграл также сходится.

60