Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

Точка лежит между х и х + х, поэтому х при х и в си-

лу непрерывности функции f(х) на [a, b] f( ) f(х) при х . Поэтому

lim F = lim f ( ) f (x) ,

x 0 x x 0

т.е. F (x) = f(x) на [a, b].

Следствие. Всякая первообразная Ф(х) для функции f(х), непрерывной на отрезке [a, b], имеет вид

2.9. Формула Ньютона–Лейбница

ТЕОРЕМА 2.9. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и Ф(х) – какая-нибудь ее первообразная на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона–Лейбница

b

f (x)dx Ф(b) Ф(a).

a

Доказательство. Согласно свойствам интеграла с переменным верхним пределом первообразная Ф(х) для функции f(х) на отрезке [a, b] может быть записана в виде

x

Ф(x) f (t)dt С.

a

Отсюда получим

a

Ф(a) f (t)dt С C.

a

Поэтому Ф(х) можно записать в виде

x

Ф(x) f (t)dt Ф(а).

a

41

В частности, при x = b имеем

b

Ф(b) f (t)dt Ф(а),

a

откуда следует формула Ньютона–Лейбница (так как величина определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления и часто записывают в виде

функция непрерывна на отрезке [2, 5] и имеет на этом отрезке первообразную lnx. Применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим

Пример 2.2. Доказать, что для любых m и n справедливо равенст-

π

во sin mx cos nxdx 0 .

π

Преобразовав подынтегральное выражение с помощью формулы sin mx cos nx 12 sin(m n)x sin(m n)x ,

получим

Пусть m n. Тогда, применяя формулу Ньютона–Лейбница к каждому из интегралов в правой части, получим

42

2.10. Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 2.10. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], а функция х = t обладает следующими свойствами (рис. 2.12):

1)t непрерывна на [ и имеет на этом отрезке непрерывную производную;

2)t [a, b] t [ ;

3)= a, = b.

Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле

x

b

x = φ(t)

a

Рис. 2.12. К теореме о замене переменной в определенном интеграле

43

Доказательство. Так как f(х) непрерывна на [a, b], то по формуле Ньютона–Лейбница

b

f (x)dx Ф(b) Ф(a),

a

где Ф(х) –первообразная для f(х) на [a, b], т.е. Ф (х) = f(х) на [a, b].

Рассмотрим на [ сложную функцию Ф( t ). По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Фt ( (t)) Фx ( (t)) (t) f ( (t)) (t),

т.е. Ф( t ) – первообразная для функции f( t ) t на [ . По формуле Ньютона–Лейбница

b

Оπ/2 t

Рис. 2.13. Иллюстрация к примеру 2.3

Замечание. При вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной, получив искомую функцию, выраженную через переменную t, мы должны были возвращаться к старой пере-

44

менной х. Здесь в этом нет надобности. Если в формуле замены переменной вычислен второй из определенных интегралов, который представляет собой число, то тем самым вычислен и первый.

2.11. Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 2.11. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то имеет место формула

Доказательство. Дифференцируя произведение u(x)v(x), получим

[u(x)v(x)] = u v + uv uv = [u(x)v(x)] – u v.

Интегрируя на отрезке [a, b] последнее тождество, где uv , [u(x)v(x)] , u v – непрерывные функции, получим

По формуле Ньютона–Лейбница находим

В результате получаем требуемую формулу.

Замечание. Формулу интегрирования по частям иногда записывают в виде

45

3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное определение теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования его нельзя разбить на n отрезков конечной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи можно обобщить понятие интеграла, в результате чего появилось понятие несобственного интеграла.

3.1. Определение и геометрический смысл несобственного интеграла по бесконечному промежутку

Рассмотрим функцию y x12 на промежутке [1, + ) (рис. 3.1).

Эта функция интегрируема на любом отрезке [1, b], b 0, поскольку непрерывна на этом отрезке, т.е. существует интеграл

lim F(b) 1 .

b

Этот предел геометрически можно трактовать как площадь бесконечной криволинейной трапеции, показанной на рис. 3.1.

y

1

y x12

Рис. 3.1. График функции y x12 , x [1, + )

46

Теперь рассмотрим на промежутке [1, + ) функцию y 1x , кото-

рая также интегрируема на любом отрезке [1, b], b 0, так как непрерывна на этом отрезке, т.е. существует интеграл

Однако в этом случае

lim F(b) lim ln x ,

b b

т.е. бесконечная криволинейная трапеция в этом случае не имеет конечной площади.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, + ) и интегрируема на любом отрезке [a, b], т.е. для любых

b

b > a существует f (x)dx . Предел этого интеграла при b + на-

a

зывается несобственным интегралом от функции f(x) по промежут-

ку [a, + ) и обозначается символом

Если этот предел конечен, то говорят, что интеграл сходится, а

функция f(x) интегрируема в несобственном смысле на промежутке

[a, + ). Если предел бесконечен или вообще не существует, то инте-

грал расходится.

Пример 3.1. Показать, что интеграл I = dx 2 сходится, и вы-

0 1 x

числить этот интеграл.

Обозначим F(b) b dx 2 . Тогда

0 1 x

F(b) b dx 2 arctg x b arctg(b).

0 1 x 0

47

дуемый интеграл расходится.

Аналогично (3.1) определяется интеграл по промежутку (– , b]:

48

В этом случае предполагается, что функция интегрируема на любом

отрезке [a, b], а интеграл f (x)dx называется сходящимся в случае

не должен зависеть от того, каким способом a – и b + . Иначе говоря, интеграл сходится тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

где с – любая точка промежутка (- ,+ ). При этом по определению

49

Последний результат говорит о том, что исследуемый интеграл расходится.

Пример 3.5. Исследовать на сходимость в зависимости от пара-

ходится.

При α = 1 интеграл также расходится, так как

b dx ln b при b + .

1 x

Итак

3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

(рис. 3.2). Заметим, что функция неограниченна на этом промежутке.

Однако на любом отрезке [0, ], 0 < 1 она интегрируема, поскольку непрерывна на этом отрезке, т.е. существует интеграл

50