Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

где r x2 y2 z , – угол между действительной осью и векто-

ром z, отсчитываемый от положительного направления действительной оси (рис. П1.2).

Угол называют аргументом комплексного числа z (z 0) и

обозначают Arg z. Аргумент комплексного числа z определяется неоднозначно. Используется следующее обозначение:

= Arg z = arg z + 2 k,

где arg z – главное значение аргумента:

– < arg z , k .

Таким образом, любое комплексное число z = x + iy, где z 0, представляется в виде

z = r(cos + i sin ).

Это так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Обозначим

ei cos isin

(обоснование последней формулы – в теории рядов). Отсюда, в частности, получим

e i cos i sin ,

Последние четыре формулы называются формулами Эйлера. Таким образом, комплексное число может быть записано в пока-

зательной форме

z rei .

Такая форма записи удобна для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.

Методом математической индукции нетрудно показать, что

71

Корень n-й степени w n z из комплексного числа определяется как такое число w, n-я степень которого равна подкоренному выра-

жению wn z. Следовательно,

Таким образом, корень n z имеет при z 0 в точности n значений

w0, w1, … , wn-1.

Пример 3. Найдем все значения корня четвертой степени из числа –1.

Рис. П1.3. Иллюстрация к примеру 3

Сначала запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:

z = –1 = cos( + 2 k) + i sin( + 2 k).

Тогда, согласно приведенной выше формуле, получим (рис. П1.3)

72

5. Некоторые важные свойства комплексно-сопряженных чисел

• z z , arg z arg z ;

• z z z 2 ;

•z z ;

•z1 z2 z1 z2 ;

6. Разложение многочлена на множители

Корни многочлена

Многочленом n-й степени называется выражение вида

Рn(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0,

где ak – коэффициенты многочлена (известные числа, комплексные

или действительные, причем an 0); х – независимая комплексная переменная.

Два многочлена считаются равными (тождественно равными), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной.

Число х0 называется корнем (нулем) многочлена Pn(x), если

Pn(x0) = 0.

Разделить многочлен Pn(x) на двучлен (x – x0), где x0 – заданное число, означает по определению представить его в виде

Pn(x) = (x – x0)Sn-1(x) + r,

где Sn–1(x) – многочлен степени (n – 1), r – некоторое число (его называют остатком от деления многочлена на (x – x0)). Если r = 0, то говорят, что многочлен делится без остатка на (x – x0).

ТЕОРЕМА 1 (Безу). Число x0 является корнем многочлена Pn(x) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на (x – x0), т.е. справедливо равенство

Pn(x) = (x – x0)Sn-1(x).

73

Число х0 называют корнем многочлена Pn(x) кратности k, если

существуют число k и многочлен Sn – k(x) такие, что для всех x выполняется равенство

Pn(x) = (x – x0)k Sn – k(x),

где

Sn – k(x0) 0.

Многочлен с действительными коэффициентами

Рассмотрим многочлен второй степени с действительными коэффициентами

P2(x) = x2 + px + q.

Предположим, что дискриминант рассматриваемого квадратного трехчлена отрицателен, т.е.

D= p2 – 4q 0.

Вэтом случае квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Выделим полный квадрат по х:

т.е. корнями многочлена являются комплексно-сопряженные числа:

и других корней этот многочлен не имеет.

ТЕОРЕМА 2. Если число x0 = + i ( 0) корень многочлена степени n с действительными коэффициентами, то число x0 i

также корень этого многочлена.

74

Доказательство. По условию Pn(x0) = 0, т.е. an x0n + an-1 x0n-1 + ... + a1 x0 + a0 = 0,

откуда следует, что Pn (x0 ) 0 0 , т.е.

an x0n an 1x0n 1 ... a1x0 a0 0 .

Отсюда в силу свойств сопряженных чисел имеем: an x0n an 1x0n 1 ... a1x0 a0 0 .

Так как все коэффициенты многочлена действительные числа, то

ak ak , k 0,1, ... , n .

Следовательно,

an x0n an 1x0n 1 ... a1x0 a0 0 ,

или

Pn (x0 ) 0 ,

т.е. x0 i также является корнем многочлена.

Основная теорема высшей алгебры

ТЕОРЕМА 3. Всякий многочлен степени n 1 с действительными или комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. (Теорема впервые доказана Гауссом в конце ХVIII в., затем было много других ее доказательств.)

Следствие (из основной теоремы высшей алгебры). Любой мно-

гочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. Доказательство. По основной теореме алгебры многочлен Pn(x)

имеет корень х1, т.е.

Pn(x) = (x – x1)Sn–1(x),

где Sn–1(x) – многочлен степени n –1.

По основной теореме алгебры многочлен Sn–1(x) имеет корень

х2, т.е.

Pn(x) = (x – x1)(x – х2)Qn–2(x)

и т.д. По индукции получим следующий результат:

Pn(x) = an(x – x1)(x – х2) … (x – xn),

75

где an – коэффициент при xn; x1, х2, … , xn – корни многочлена Pn(x), среди которых могут быть одинаковые.

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители

Пусть x0 = + i – корень многочлена Pn(x) с действительными коэффициентами кратности s, тогда x0 i также корень этого

многочлена кратности s и имеет место формула

Pn (x) (x x0 )s (x x0 )s Qn 2s (x) .

Заметим, что

(x x0 )(x x0 ) (x i )(x i ) (x )2 2x2 2 x 2 2 x2 px q ,

где D = p2 – 4q 0.

Тогда Pn (x) (x2 px q)s Qn 2s (x) .

Пусть x1, x2, …, xk – все действительные корни многочлена Pn(x), кратности которых соответственно равны r1, r2, … , rk; 1 i 1 ,

…, m i m – все пары комплексно сопряженных корней этого же

многочлена кратности s1, s2, …, sm соответственно. Тогда многочлен может быть представлен в виде

Pn (x) an (x x1 )r1 ... (x xk )rk (x2 p1x q1 )s1 ... (x2 pm x qm )sm ,

где

r1 + r2 + ... + rk + 2(s1 + s2 + ... + sm) = n.

76

Приложение 2

РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ В СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ

Функция вида

f (x) Pn (x) ,

Qm (x)

где Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, называется дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью. Если n < m, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Если дробь неправильная – выделим ее целую часть:

где Sn-m(x), Rk(x) – многочлены степени (n – m) и k соответственно, причем k < m.

Пусть Pn (x) – правильная дробь, числитель и знаменатель кото-

Qm (x)

рой не имеют общих корней.

Пусть х1 – действительный корень знаменателя кратности r. Простыми (элементарными) дробями, соответствующими этому корню, называются дроби вида

где А1, А2, ... , Аr – действительные числа.

Пусть ( i ) – пара комплексно-сопряженных корней знаменателя кратности s, причем

(х – – i )(x – + i ) = x2 + px + q, где D < 0.

Простыми дробями, соответствующими этой паре корней, называются дроби вида

77

где Mjx + Nj (j = 1, 2, … , s) – многочлены первой степени с действительными коэффициентами.

Пусть x1, x2, … , xk – все действительные корни многочлена Qm(x) в знаменателе, кратности которых соответственно равны r1, r2, …, rk;

1 i 1 , … , l i l – все пары комплексно-сопряженных корней

этого же многочлена кратности s1, s2, … , sl соответственно. Напомним, что многочлен в этом случае может быть разложен на множители, т.е. представлен в виде

Qm (x) (x x1 )r1 ...(x xk )rk (x2 p1x q1 )s1 ...(x2 pl x ql )sl ,

где

r1 + r2 +...+ rk + 2(s1 + s2 + ... + sl) = m.

ТЕОРЕМА 1. Всякая правильная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы элементарных дробей, соответствующих всем корням знаменателя.

При выполнении разложения правильной рациональной дроби

Pn (x) в сумму простых дробей обычно используют так называемый

Qm (x)

метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем.

Для данной дроби пишется разложение, коэффициенты которого считаются неизвестными. После этого обе части полученного равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменной. В результате получается система m линейных уравнений с m неизвестными, которая в данном случае имеет единственное решение.

Отметим, что после приведения записанного разложения к общему знаменателю и его отбрасывания в случае, когда многочлен Qm(x) имеет действительные корни, целесообразно подставить в обе части получившегося равенства последовательно эти корни. В результате получаются некоторые соотношения между искомыми коэффициентами, полезные для их дальнейшего определения.

78

Последнее равенство имеет место, если равны числители первой и последней дроби:

Нам нужно, чтобы многочлены, стоящие в правой и левой частях полученного равенства (П2.1), были равны при любых значениях переменной х. Это возможно тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при х2, х1, х0 в обеих частях равенства (П2.1), придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных A, B, C:

Заметим, что процесс ее решения можно ускорить, если в тождество (П2.1) сначала подставить значение х = –2 (откуда сразу следует, что С = –3), а затем подставить значение х = 1 (откуда следует,

что А = 1).

Итак, искомое разложение имеет вид

х 7 А(х2 2х 5) (Вх С)(х 1).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему для определения неизвестных коэффициентов:

79

Итак, искомое разложение имеет вид

80