Интегральное исчисление функций одной переменной. Курс лекций

2.4. Некоторые классы интегрируемых функций

ТЕОРЕМА 2.3. Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть f(x) возрастает на [a, b]. Тогда f(a) f(x) f(b), т.е. функция ограничена на этом отрезке.

y

f(b)

n

( f (xi ) f (xi 1 )) ( f (b) f (a)) ,

i 1

так как

xi max xi .

1 i n

Итак, имеем оценку

S s ( f (b) f (a)) .

31

Отсюда следует, что S s 0 при 0, т.е. по критерию интег-

рируемости f(x) интегрируема на [a, b].

ТЕОРЕМА 2.4. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 2.5. Если ограниченная на отрезке [a, b] функция имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

2.5. Основные свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями и с отрезками интегрирования

1. По определению полагают, что

a

f (x)dx 0 , если функция определена в точке a;

f (x)dx f (x)dx , если функция интегрируема на [a, b].

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то функция

(х) = f(x) + g(x), где R, также интегрируема на [a, b], причем

Доказательство. Пусть

( ; 1, 2 , ... , n ) , ( f ; 1, 2 , ... , n ) , (g; 1, 2 , ... , n )

– интегральные суммы для функций (х), f(x) и g(x) соответственно при заданном разбиении отрезка [a, b] и фиксированном выборе промежуточных точек. Тогда имеет место равенство

следовательно, существует

32

3. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b]. Тогда функция f(x) g(x) также интегрируема на [a, b];

если g(x) > 0, то gf ((xx)) интегрируема на [a, b].

4. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то она интегрируема на любом отрезке [a , b ] [a, b].

Доказательство. Пусть – разбиение отрезка [a , b ]. Возьмем – разбиение отрезка [a, b] так, чтобы и (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К вопросу об интегрируемости на [a , b ] [a, b] функции f(x), интегрируемой на [a, b]

Тогда

n

S s (Mi mi ) xi S s 0.

i 1

Так как функция интегрируема на [a, b], то по критерию интегрируемости

lim (S s ) 0.

0

Поскольку , то из приведенной выше оценки следует, что и

lim0(S s ) 0,

т.е. функция f(x) интегрируема на отрезке [a , b ].

5. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то для любого числа с (a, b) она интегрируема на [a, с] и [с, b], причем

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .

33

Замечание. Справедливо и обратное утверждение: если функция f(x) интегрируема на [a, с] и [с, b], то она интегрируема на [a, b], причем

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .

6. Если функция f(x) интегрируема на [a, b] и с1, с2, с3 – произвольные точки этого отрезка, то

Доказательство. Докажем формулу для случая, когда с1 < с3 < с2

(рис. 2.6).

2.6.Оценки интегралов

1.Пусть интегрируемая на [a, b] функция f(x) 0 на этом отрезке. Тогда

b

f (x)dx 0.

a

34

Доказательство. В данном случае

n

( f ; 1, 2 ,..., n ) f ( i ) xi 0.

i 1

Следовательно,

Следствие. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и f(x) g(x) всюду на этом отрезке, то

f (x)dx g(x)dx .

f (x)dx g(x)dx .

aa

2.Пусть интегрируемая на [a, b] функция f(x) 0 на этом отрезке

исуществует точка x0 [a, b], в которой функция непрерывна и положительна, т.е. f(x0) > 0. Тогда

b

f (x)dx 0.

a

3. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то функция f(x) также интегрируема на этом отрезке, причем

Доказательство. Принимая без доказательства интегрируемостьf(x) , докажем требуемое неравенство.

35

a

Отсюда следует требуемое неравенство.

4. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b] и m f(x) M на этом отрезке, тогда

Доказательство. Так как по условию m f(x) M, то согласно следствию из свойства 1 имеем оценку

откуда

a

36

y

f(x) 1, x [a, b]

прямоугольника с основанием (b – a) и высотой 1

2.7. Интегральная теорема о среднем значении

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда найдется точка [a, b], такая что

b

f (x)dx f ( )(b a).

a

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на [a, b], то x [a, b] выполняется неравенство

Рис. 2.8. К теореме о промежуточном значении непрерывной на [a, b] функции f(x)

37

Тогда имеем соответствующую оценку для интеграла

В нашем случае [m, M ] E( f ) .

По теореме о промежуточном значении для непрерывной функции найдется точка [a, b], такая что f (ξ) μ (рис. 2.8), т.е. най-

дется точка [a, b], такая что

b

f (x)dx f ( )(b a).

a

Замечание. Формула

называется формулой среднего значения, а f( ) – средним значением функции на отрезке.

Геометрический смысл доказанной теоремы понятен. Пусть

f(x) 0 на [a, b]. Тогда найдется точка [a, b], такая что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми x = a, x = b, y = 0, равна площади прямоугольника с основанием b – a и высотой f( ) (рис. 2.9).

38

Доказательство. Пусть х и х + х [a, b]. Докажем, что F при х .

Так как функция интегрируема на [a, b], то она ограничена на этом

отрезке, т.е. существует число С > 0, такое что f(х) С х [a, b]. Следовательно, имеет место оценка

хх

иF при х . Так как х – произвольная точка, то функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b].

ТЕОРЕМА 2.8 (Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной функции). Если f(х) непрерывна на [a, b], то F(x) дифференцируема на

[a, b], причем F (x) = f(х) на [a, b], т.е. F(x) – первообразная для f(х) на

[a, b].

Доказательство. Рассмотрим отношение

f(ξ)

F=f(ξ) x

Рис. 2.11. К теореме о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом

40