Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие

2

УДК 51(075)-057.875

Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика / Под ред. к.ф.-м.н. доц. В.И. Бухтояровой // Кемерово, 2006. – 82 с.

Методические указания и контрольные задания для студентов II курса заочного отделения факультета «Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)».

Составители: В.И. Бухтоярова, В.М. Гущина, С.Р. Песчанская, Л.К. Равинг

Кемеровская государственная медицинская академия, 2006

2

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс высшей математики для студентов заочного отделения факультета «Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)» ставит своей целью формирование у студентов базы знаний по высшей математике, необходимой и достаточной для профессиональной Деятельности. Необходимый уровень знаний задается государственным стандартом. Достаточность базы знаний обеспечивается структурой преподавания, направленной на освоение теоретического материала и практическое применение полученных знаний для решения задач экономического содержания.

Методические указания содержат необходимый теоретический минимум, включающий важнейшие определения, теоремы и формулы для решения заданий контрольной работы. На примерах подробно разбираются решения типовых задач по двум фундаментальным разделам контрольной работы:

1.теория вероятностей;

2.математическая статистика.

Методические указания и контрольные задания подготовлены на основании коллективного опыта сотрудников кафедры медицинской и биологической физики и высшей математики Кемеровской государственной медицинской академии.

4

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ Теория вероятностей. Случайные события

Случайные события. Понятие события и вероятности. Классическое определение вероятности. Понятие равновозможности событий. Терминология, свойства вероятности. Частота и вероятность. Статистическая вероятность.

Маловероятные события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Независимость событий в совокупности. Теорема сложения вероятностей совместных событий, ее варианты. Формула полной вероятности.

Последовательные испытания. Формула Бернулли, схема последовательных независимых испытаний. Исследование и свойства формулы Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Применение интегральной теоремы. Закон Пуассона. Простейший поток событий.

Случайные величины. Понятие случайной величины, ее функции распределения. Свойства функции распределения и ее график. Нормальное распределение. Вероятность попасть в заданный интервал. Оценка отклонения по вероятности. Правило “трех сигм”, практическое использование. Плотность распределения, ее свойства.

Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Математическое ожидание нормальной и равномерной случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания Дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины. Теоремы о дисперсии Свойства дисперсии.

Нормальное распределение. Вероятность попасть в заданный интервал. Оценка отклонения по вероятности. Правило “трех сигм”, практическое использование. Моменты, начальные и центральные, их связь.

Математическая статистика

Генеральная совокупность объектов. Выборка и способы ее организации. Вариационный ряд. Эмпирическое распределение. Полигон и гистограмма. Точечные оценки параметров распределения по выборке. Понятие о доверительных интервалах для математического ожидания и дисперсии. Выравнивание эмпирических распределений. Подбор теоретического распределения. Дополнительные распределения, используемые при статистической обработке. Обработка результатов прямых измерений (оценка случайных погрешностей измерений).

Статистическая проверка гипотез. Корреляционно-регрессионный анализ.

5

ЛИТЕРАТУРА

1.Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. М.:

Юнити. 2004.

2.Кузнецов Б.Т. Математика. М.: Юнити. 2004.

3.Письменный В.Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.: Айрис-Пресс. 2005.

4.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа. 2005.

5.Практикум по высшей математике для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Юнити. 2004.

6.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:

Юнити. 2006.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ Основы теории вероятностей Случайные события

1.Понятие случайного события.

2.Классическое определение вероятности.

3.Равновозможные, независимые и зависимые события. Условная вероятность.

4.Теоремы сложения и умножения вероятностей для совместных независимых и зависимых событий.

5.Полная вероятность. Формула Бейеса.

6.Повторные испытания. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона.

Случайные величины

1.Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

2.Закон распределения дискретной случайной величины.

3.Числовые характеристики дискретной случайной величины.

4.Функция распределения дискретной случайной величины, её свойства и график.

5.Функция распределения непрерывной случайной величины, её свойства и график.

6.Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины. Свойства плотности вероятности.

7.Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило "трех сигм"

Математическая статистика Основные понятия математической статистики

1.Статистическая совокупность.

2.Объем статистической совокупности.

3.Генеральная, выборочная статистические совокупности.

6

4.Варианта, вариация.

5.Частота повторения вариант.

Вариационные ряды и их характеристики

1.Статистический дискретный ряд распределения. Полигон.

2.Интервальный ряд распределения. Составление интервального ряда. Гистограмма.

3.Характеристики вариационного ряда.

Оценки случайных погрешностей прямых равноточных измерений

1.Исправленные характеристики выборки.

2.Доверительный интервал.

3.Доверительная вероятность.

4.Критерий Стьюдента. Статистическая обработка результатов прямых равноточных измерений.

Проверка статистических гипотез

1.Виды статистических гипотез: нулевая, конкурирующая, простая, сложная.

2.Статистические критерии проверки статистических гипотез. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.

3.Методика проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных выборочных совокупностей по их оценкам.

4.Методика сравнения двух средних нормально распределенных совокупностей по оценкам выборок.

Корреляционно - регрессионный анализ (КРА)

1.Виды зависимостей между величинами.

2.Основные определения, понятия, их смысл (уравнение регрессии, линия регрессии, коэффициент регрессии, коэффициент линейной корреляции, корреляционное поле).

3.Метод наименьших квадратов (МНК).

4.Оценка достоверности коэффициента корреляции.

5.Методика проведения корреляционно - регрессионного анализа.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Основной формой обучения студента заочного отделения является самостоятельная работа с учебным материалом. Процесс изучения основ высшей математики на заочном отделении факультета “Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)” состоит из следующих этапов:

-проработка установочных и обзорных лекций;

-самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями и методическими

7

-указаниями в соответствии с учебной программой;

-выполнение контрольной работы и ее защита;

-сдача зачета.

Каждый вариант контрольной работы №3 содержит 9 заданий: Задание 1. Классическое определение вероятности.

Задание 2. Теоремы о вероятностях. Полная вероятность. Задание 3. Повторные испытания.

Задание 4. Закон нормального распределения случайной величины. Задание 5. Элементы математической статистики.

Задание 6. Обработка результатов прямых измерений.

Задание 7. Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных совокупностей по их оценкам.

Задание 8. Сравнение двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей по оценкам выборок.

Задание 9. Корреляционно-регрессионный анализ.

Контрольная работа содержит 10 вариантов. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки. В каждом задании студент выбирает пример или задачу, соответствующую последней цифре номера его зачетной книжки. Например, номер зачетной книжки 05013. Студент решает задачи 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3 и 9.3. Если студент неправильно выбрал хотя бы одну задачу, работа не проверяется и возвращается на доработку.

Контрольная работа должна быть представлена на проверку не позднее, чем за 30 дней до начала сессии. После проверки работы выставляется оценка «зачет» или «незачет». Контрольная работа с оценкой «зачет» студенту не возвращается. Контрольная работа с оценкой «незачет» возвращается на доработку. Студенту необходимо исправить ошибки и сдать работу до начала сессии.

Студенты, которые не представят вовремя контрольную работу, не будут допущены к ее защите в срок, установленный для группы. На защите студент должен быть готов дать пояснения по решению заданий контрольной работы. Если студент не может защитить выполненную работу, то по усмотрению преподавателя ему может быть предложен другой вариант контрольной работы.

8