Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие

σ= 0,2 = 0,45(кг)

4.Mо- мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту.

Наибольшую частоту повторения имеет варианта xi*=3,3. Значит

Mо = 3,3(кг)

5. Mе-медиана – варианта, делящая ранжированный ряд на две равные части.

Оценка параметров генеральной совокупности

Оценка параметров генеральной совокупности µ (генеральной

средней), σ2 (генеральной дисперсии), σ (генерального среднеквадратичного отклонения) производится по параметрам выборочной

совокупности (xB ,σB2 ,σB ). Средняя арифметическая xB является сос-

тоятельной, несмещенной эффективной оценкой генеральной средней

µ [6,c.293].

Доказано, что дисперсия генеральной совокупности xB меньше дисперсии выборки. Для получения наилучшей оценки генеральной

n

дисперсии “исправляют” дисперсию выборки умножением её на n −1, т.е.

исправленная дисперсия S 2 определяется формулой

39

когда варианты имеют частоты mi ≠1.

Величина S 2 является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Очевидно, что значения σВ2 и S 2 заметно отличаться будут только

при малых объёмах ( n <30).

Наилучшей оценкой среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности является исправленное среднее квадратичное отклонение выборки, называемое стандартом отклонения. Обозначают стандарт

Одновременно с x они обладают свойством совместной достаточности, т.е. xB , S 2 и S вместе содержат в себе всю информацию о математическом ожидании µ, дисперсии σ2 и стандартным отклонением

σгенеральной совокупности.

К"исправленным" характеристикам относят еще стандарт средней

арифметической, SxB , который вычисляют по формуле:

40

SxB = Sn

Интервальные оценки. Доверительная вероятность и уровень значимости.

Интервальной оценкой параметра генеральной совокупности (среднего арифметическогоµ , дисперсии и др.) называют интервал, в котором с той или иной вероятностью определяется значение оцениваемого параметра генеральной совокупности. Интервальная оценка находится по известной величине соответствующей выборочной характеристики.

Обычно доверительный интервал формируется для µ - средней ариф-

метической генеральной совокупности, называемой математическим ожиданием.

Вероятности, признанные достаточными для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называются доверительными.

Обычно в качестве доверительных выбирают значения вероятностей

P1 = 0,95 = 95%; P2 = 0,99 = 99% и P3 = 0,999 = 99,9%.

При этом величину α, оценивающую вероятность того, что оцениваемый генеральный параметр выходит за границы ДИ, называют уровнем значимости.

Очевидно, что сумма Рдовер +α =1. Каждой Рдовер соответствует уровень значимости α =1− Рдовер:

α1 =1−0,95 = 0,05 = 5%

α2 =1−0,99 = 0,01 =1%

α3 =1−0,999 = 0,001 = 0,1%

Вбиологических исследованиях, научных исследованиях в области спорта, фармакопеи достаточной считается Рдовер = 0,95.

41

Доверительный интервал для средней арифметической µ

нормально распределенной ГС.

Выше мы указывали, что наилучшей оценкой генеральной средней µ является xB выборки. Очевидно, что чем точнее xB определяет µ генеральной совокупности, тем меньше абсолютная величина разности

µ− xB .

В1906 г. английский математик У. Госсет (псевдоним "Стьюдент") установил закон распределения случайной величины

t = xB − µ Sx

Эта величина получила название "параметра Стьюдента ".

Отметим, что для выборок объемом n > 30 распределение этого параметра практически не отличается от нормального.

При малых объемах выборки кривая Стьюдента на графике располагается несколько ниже кривой нормального распределения

(подробности см. учебник Кремера[1]).

В учебниках по математической статистике обычно приводят таблицу критических значений параметра t (см. таблицу № 2 Приложения). Для его определения по этой таблице необходимо знать соответствующее

значение αи число степеней свободы выборки k :

k = n −1

На пересечении столбца значения αи строки " k " читаем значение tα,k .

Он может принимать положительное и отрицательное значения, т.к. его распределение симметричное.

Конкретизируем значение параметра t индексами α и k , т.е. запишем его как tα,k . Тогда имеем:

± tα , k = x BS−x µ

Доверительный интервал можно записать как

− tα , k ≤ x BS−x µ ≤ tα , k

От этой формы записи нетрудно перейти к виду:

xB −tα,k Sx ≤ µ ≤ xB +tα,k Sx

Это и есть стандартная форма записи доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности, распределенной по закону Гаусса. Доверительный интервал записывают и в виде:

42

xB = ±tα,k Sx

Произведение tα,k Sx называют точностью и обозначают ∆x . Тогда доверительный интервал принимает выражение:

x −∆x ≤ µ ≤ x + ∆x или сокращенно x ± ∆x .

6. Погрешности (ошибки) измерений

Никакое измерение не может дать абсолютно точный результат. Это связано с несовершенством наших органов чувств, ограниченной точностью измерительных приборов и т.п. Поэтому любое измерение содержит погрешности (ошибки), которые должны быть оценены.

Влияние погрешностей (абсолютной ∆ и относительной δ ), обусловленных только ошибками приборов и выбором метода измерений, так называемые систематические ошибки, может быть устранено.

Кроме систематических ошибок при измерениях могут иметь ошибки, называемые промахами, и случайные ошибки.

Промахи (грубые ошибки) связаны с недостаточной тщательностью при снятии показаний со шкал приборов, невнимательностью экспериментатора. Например, записывая результат пропустили цифру, не там в числе поставили запятую и прочее. Такие результаты нетрудно заметить при просматривании записанных результатов, их следует отбросить.

Случайные ошибки обусловлены несовершенством наших органов чувств и многочисленными трудно уловимыми причинами. Совокупное их влияние приводит к заметной ошибке, которая имеет распределение близкое к нормальному.

Общая ошибка измерения является суммой систематической и случайной ошибок.

Чтобы можно было оценить случайные ошибки, проводят, как правило, серию измерений, т.е. получают статистическую выборку. Математическая статистика разрабатывает методы расчета случайных ошибок непосредственных (прямых) и косвенных измерений.

Оценка истинного значения величины по результатам ее прямых измерений.

Прямыми называются измерения, при которых результат измерения получаем с помощью измерительного прибора. Например, значение длины получаем с помощью линейки, напряжение в электрической цепи считываем со шкалы вольтметра и т.п.

При прямых измерениях, как правило, измерение производят несколько раз, т.е. проводят серию измерений. В результате получают простой статистический ряд объемом n .

43

Пример решения задачи.

Задача. При определении содержания некоторого компонента в веществе при анализе 6 проб, получены следующие результаты (в г): 8,1; 7,9; 8,2; 8,0; 8,2; 7,8. Провести статистическую обработку результатов измерений.

Решение.

Так как показателей мало, можно расчетную таблицу не составлять. 1.Средняя арифметическая выборки:

4.Для исключения промахов проводим «ревизию» согласно правилу «трёх сигм»:

Sнаиб. = 3S = 3 0,167 = 0,501,

так как все значения │xi − xB │< 0,501, то все варианты участвуют в

дальнейшей обработке (если │xi − xB │>3S для какой-то варианты, то её отбрасывают и начинают обработку результатов измерений с пункта 1)).

44

где α- уровень значимости. При доверительной вероятности 95% (такая

точность используется в фармации, биологии, медицине) уровень значи-

мости α =1 −0,95 = 0,05,

k = n −1 – число степеней свободы.

tα,k - параметр Стьюдента находится по таблице 2 приложения по α=0,05

и k = n −1 = 5, t0,05;5 = 2,57 0,0696 ≈ 0,179.

6. Доверительный интервал измеряемой величины:

xB− ∆x < µ< xB + ∆x ;

8,03 −0,18< µ<8,03 + 0,18; 7,75< µ<8,21 или µ = (8 ± 0,2)г.

7. Предельная относительная погрешность

δ = ∆xx 100% = 80,,1803 100% ≈ 2,2%.

Ответ: истинное содержание компонента в веществе µ = (8,0 ± 0,2)г. с доверительной вероятностью 0,95.

7; 8 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Критическая область и область принятия гипотезы.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о характеристиках генеральной совокупности, из которой извлечена выборка. Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и другие. Например:

1.генеральная совокупность распределена по нормальному закону;

2.математические ожидания двух совокупностей, распределенных по нормальному закону, равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – о параметрах двух известных распределений.

Различают нулевую и конкурирующую гипотезы.

Нулевой H0 гипотезой называют предположение о виде функции распределения случайной величины, о параметрах генеральной совокупности ( µ = µ0;σ =σ0 ), или о равенстве математических ожиданий (или дисперсий) двух и более генеральных совокупностей.

45

Конкурирующей или альтернативной H1 называют гипотезу, которая является альтернативной по отношению к нулевой и принимается в том случае, когда H0 не верна.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математические ожидания двух совокупностей, распределенных по

нормальному закону, равны между собой ( Н0 : µ1 = µ2 ), то

конкурирующая гипотеза может состоять в предположении, что математические ожидания двух совокупностей, распределенных по

нормальному закону, неравны между собой ( Н1 : µ1 ≠ µ2 ).

Выдвинутая нулевая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.

Правила, согласно которым выясняется, соответствует или нет нулевая гипотеза экспериментальным данным, называются статистическими критериями или просто критериями.

В медицинских и биологических исследованиях используют различные критерии: Стьюдента, Фишера-Снедекора и т.д. В зависимости от сформулированной нулевой гипотезы выбирают тот или иной критерий.

В общем виде обозначим критерий через Z .

После выбора статистического критерия для проверки нулевой гипотезы по данным выборок вычисляют экспериментальное значение

критерия, Zэкс. Задают уровень значимости α. Согласно требованиям

экономических, медицинских и технических исследований принимается α = 0,05, а при разработке стандартов - α = 0,01. В таблице

критических точек распределения выбранного критерия для уровня значимости α определяют критическую точку, Zкр.

Критическая точка, Zкр, отделяет критическую область от области

принятия гипотезы.

Областью принятия гипотезы называют множество значений критерия Z , при которых нулевую гипотезу принимают.

Критической областью называют множество значений критерия Z , при которых нулевую гипотезу отвергают.

Если экспериментальное значение критерия Zэкс принадлежит

критической области, то нулевую гипотезу отвергают, если экспериментальное значение критерия принадлежит области принятия гипотезы,

то гипотезу принимают с доверительной вероятностью р =1 −α .

46

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

На практике задача сравнения генеральных дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений и т.д. Очевидно, более точен тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсию. Если генеральные дисперсии двух приборов, инструментов или методов измерений равны, то и точность этих приборов, инструментов, методов одинакова.

Необходимость проверки равенства генеральных дисперсий возникает также при сравнении математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин. Такая проверка проводится с помощью критерия Фишера – Снедекора и заключается в следующем.

Пусть генеральные совокупности х и у подчиняются закону нормального распределения. Из этих совокупностей извлечены независимые

выборки объемами n1 и n2 и вычислены их исправленные выборочные дисперсии Sx2 и S y2 . Как правило, выборочные исправленные дисперсии

различаются по величине ( Sx2 ≠ S y2 ) независимо от равенства

генеральных дисперсий. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям, установить, равны или нет генеральные дисперсии совокупностей х и у.

Примеры решения задач Задача 1. Для проверки эффективности новой методики лечения

отобраны две группы больных с одним и тем же заболеванием. Количество больных в первой группе nx =12 (контрольная группа лечения по старой

методике), ny =15 (лечение по новой методике). Расчетные показатели: x = 90,0(усл. ед.), Sx2 =5 (усл. ед.)2; y =85,0 (усл. ед.), Sy2 =8 (усл.

ед.)2.

В предположении, что изучаемый показатель распределен по нормальному закону, выяснить при уровне значимости 0,05 , существенно ли различаются дисперсии двух групп больных.

Решение.

1)Формулируем нулевую гипотезу H0 : различие дисперсий

выборок несущественно. Математическая запись

47

H0 : σx2 =σy2 =σ2

ky = ny −1 =15 −1 =14.

Из таблицы Фишера – Снедекора (см. таблицу 3.2. Приложения)

находим Fэкс = Fα,Кчисл,Кзн = F0,05,14,11 = 2,7

Примечание. Число степеней свободы, соответствующее большей дисперсии, берётся из таблицы 3.2. приложения по первой строке; меньшей дисперсии – по первому столбцу.

4) Сравниваем параметры Fэкс =1.6 и Fкр = 2,7. Т.к. Fэкс Fкр, то нулевая гипотеза принимается (если, окажется, Fэкс Fкр– нулевая

гипотеза отвергается).

5) Вывод. Можно с доверительной вероятностью 95% утверждать, что различие исправленных дисперсий выборок несущественно, т.е. генеральные дисперсии выборок двух групп больных равны.

Задача 2. На основании данных, имеющихся в задаче 1, определить, существенно ли различаются средние показатели лечения по старой и новой методикам.

Решение.

1)Формулируем нулевую гипотезу: различие x и y несущественно;

обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности (ГС) Математическая запись:

H0 : µx = µy = µ, где µ - генеральная средняя.

H1: µx ≠ µy , т.е. выборки не принадлежат одной и тоже ГС.

48