Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие

полно отражать свойства генеральной совокупности, из которой она извлечена).

Статическое представление результатов эксперимента I. Табличный способ. Вариационные ряды.

Как правило, первичные экспериментальные результаты представляют собой неупорядоченный набор чисел, записанных исследователем в порядке их получения. Это простой, не ранжированный статистический ряд.

Набор этих данных трудно обозрим, так что сделать по ним какие-то выводы невозможно. Поэтому первичные результаты нуждаются в обработке, которая всегда начинается с их группировки – упорядочения, систематизации с целью извлечения содержащейся в них информации.

Этот процесс начинают с ранжирования – расположения результатов в порядке возрастания (или убывания) и подсчета частот каждого нового значения варианты. В результате получают ранжированный вариационный ряд. Это двойной числовой ряд, в котором указаны все отличающиеся значения вариант и их повторяемость (частоты).

Вариационные ряды бывают дискретные (для дискретных признаков) и интервальные (для непрерывных признаков).

Пример. В результате испытаний активности тетрациклина получены значения (в единицах действия на 1мг): 925; 940; 760; 905; 995; 965; 940; 925; 940; 905. Составить ряд распределения.

Решение. Расположим результаты измерения упорядоченно, начиная, например, с наименьшего. Кроме этого, подсчитаем частоты mi и

Для статистического представления большого числа измерений непрерывнoй статистической совокупности используют интервальный статистический ряд. Для этого все результаты измерений разбивают на

определённое количество малых интервалов определённой ширины ∆x (лучше одинаковой для всех малых интервалов) и подсчитывают число

вариант, попадающих в каждый из них, т.е. находят частоты mi (или

относительные частоты Pi*) для малых интервалов. Такой ряд представляется таблицей вида:

29

II. Графическое представление экспериментальных результатов.

Для повышения наглядности эмпирических вариационных рядов используют их графическое представление.

Графиком дискретного ряда является полигон. Различают полигон абсолютных частот mi и относительных частот Pi*. Это ломаная линия, вершины которой имеют координаты ( xi ,mi ) в первом случае, или координаты ( xi , Pi*) – во втором (см. рис.2 и рис.3).

Рис. 2. Полигон абсолютных частот.

30

Рис. 3. Полигон относительных частот.

Интервальный ряд графически представляют гистограммой плотности частот mi или гистограммой относительных частот Pi*.

Гистограмма плотности частот представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых являются

интервалы ширины ∆x интервалов, а высоты равны значениям плотности частот на интервалах, т.е. равны отношениям ∆mxi . Подробнее о гистограмме см. в примерах решения задач.

Числовые характеристики выборки

Вариационные ряды и графики эмпирических распределений дают наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности. Но их недостаточно для полной характеристики выборки, для быстрого сравне-ния выборки с другими выборками и т.п. Эту проблему решают числовые характеристики выборки.

Наибольшее значение имеют характеристики положения, рассеяния и асимметрии эмпирических результатов. Мы рассмотрим первые 2 вида, последние будут рассмотрены применительно к проверке гипотез.

I. Характеристики положения. Эти характеристики определяют положение центра эмпирического распределения. К ним относят среднее

арифметическое x , медиану Me и моду Mo .

31

Среднее арифметическое, или просто среднее, представляет собой такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).

Простая средняя арифметическая находится, если частота каждой варианты в выборке mi = 1, т.е. если каждое новое значение варианты

встречается в выборке однократно. Вычисляется xпр по формуле:

xпр = 1 ∑n xi . n i=1

Этой формулой пользуются и в том случае, если xB вычисляют по

первичным, т.е. не сгруппированным результатам измерений. Индекс i (порядковый номер) суммируемых чисел "пробегает" значения от 1 до n : n (1; 2; ... ; n ).

Взвешенная средняя арифметическая xвзвеш находится по сгруп-

пированным дискретным результатам измерений, когда варианты в выборке встречаются неоднократно:

xвзвш = x1 m1 + x2 m2 +... + xk mk m1 + m2 +... + mk

В более обобщённом виде эта формула имеет вид:

xвзвш = 1 ∑k xi mi ,

n i=1

k

где объём выборки n = ∑mi

i=1

Как отмечалось выше, k – количество отличающихся значений вариант. Среднее арифметическое в этом случае называется взвешенным,

подчёркивая этим, что xi суммируются с коэффициентами (весами),

равными частотам вариант.

Если результаты измерений в эксперименте сгруппированы в интервальный ряд, то под xi понимают средние значения величины в каждом интервале.

Медиана Me выборки - варианта, которая делит ранжированную выборку на две равных по числу членов части. При этом все члены по одну сторону от медианы больше, а по другую – меньше медианы.

Покажем, как находится медиана ранжированного дискретного ряда.

32

Определяют место R медианы, т.е. порядковый номер в ранжированном ряду.

Очевидно, что при n - нечетном медианой будет являться варианта, занимающая серединное значение в выборке, т.е. стоящая посредине выборки:

Me = xn+1

2

Если, например, в выборке 9 членов, то ранг медианы

Rме = 9 2+1 = 5, т.е. медианой является варианта, стоящая на 5-м месте.

Если же объем выборки n – четное число, то ранг медианы – число дробное. В этом случае указывают два значения варианты, стоящие посредине ранжированной выборки. Их среднее арифметическое и

принимают за значение Me . Например, в выборке 10 членов.

Ранг медианы Rме =102+1 = 5,5. Значит, Me равна в этом случае средней арифметической вариант, стоящих на 5-м и 6-м местах в выборке:

Me = x5 +2 x6 .

Мода Mo выборки - наиболее вероятное значение варианты, т.е. значение варианты, частота которой наибольшая.

II.Характеристики рассеяния. Средние значения не дают полной инфор-мации о варьирующем признаке. Нетрудно представить себе два эмпирических распределения, у которых средние одинаковы, но при этом у одного из них зна-чения признака рассеяны в узком диапазоне вокруг среднего, а у другого – в широком. Поэтому наряду со средними значениями вычисляют и характеристики рассеяния выборки. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

1. Размах вариации R.

Размах вариации вычисляется как разность между максимальной и минимальной вариантами выборки: R = xмакс − xмин .

33

2). Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, будучи возведенным в квадрат.

Это свойство позволяет при вычислении дисперсии пользоваться условной выборкой с членами (xi k ), где k может быть целым или

дробным.

Средним квадратическим отклонением σ называют положительный корень квадратный из дисперсии:

Размерность отклонения σB в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами измерения варьирующего признака xi , поэтому в

практической статистике для характеристики рассеяния используют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию.

III. Коэффициент вариации.

Среднее квадратичное отклонение не всегда достаточно полно характеризует рассеяние значений изучаемого признака вокруг выборочной

средней xB . Например, для xB = 6,7 σB = 2 означает большой разброс вариант, а для xB =100 значение σB = 2 указывает на высокую степень одинаковости вариант, на их очень плотное распределение вокруг xB . Для более полной характеристики разброса вариант вокруг xB вводят понятие относительного среднего отклонения, которое называют

коэффициентом вариации V . Его выражают в процентах и вычисляют по формуле:

V = σB 100% xВ

Пример решения задач.

Задача. При измерении массы у 40 новорожденных были получены следующие результаты xi (кг):

1.Составьте интервальный статистический ряд распределения.

2.Постройте гистограмму относительных частот.

3.Вычислите характеристики ряда (xB , DB ,σB , M0 , Me , R)

Решение.

35

1. Для составления интервального статистического ряда

вычислите:

1.1Число интервалов k по формуле k ≥1+3,32 lg n, где n – объём ряда.

1.4. Значения границ интервалов находим по формуле

xi = xнач. +i∆x, где i =1,2...k .

x1 = 2,55 +1 0,3 = 2,85(граница первого интервала) x2 = 2,55 + 2 0,3 = 3,15(граница второго интервала)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x7 = 2,55 + 7 0,3 = 4,65(граница седьмого интервала).

При составлении статистического интервального ряда необходимо также учитывать, что при попадании на границу интервала варианта записывается в правый интервал во всех случаях, кроме последнего.

Составим статистический интервальный ряд распределения, расположив в первом ряду таблицы интервалы в порядке возрастания, а во втором соответствующие частоты.

Таблица 1.

Для построения гистограмм относительных частот необходимо составить аналогичную таблицу, вычислив значения относительных частот для каждого интервала.

36

Таблица 2.

Используя данные первой и третьей строк таблицы 2, строим график. Проводим оси координат, выбираем удобный масштаб.

Ответ: на рисунке гистограмма относительных частот.

Для вычисления характеристик ряда составьте расчётную таблицу.

37

Таблица 3.

Вычисляем характеристики ряда:

1.Выборочную среднюю находим по формуле

для чего заполним столбец 4, найдём суммы столбцов 2 и 4 и подставим в формулу xB =13740,4 = 3,4(кг).

2.Для вычисления выборочной дисперсии,

D = ∑(xi* − xB )2 mi , заполним столбцы 5,6,7 и найдём сумму

n

столбца 7.

D= 840,14 = 0,2(кг)2

3.Среднее квадратичное отклонение σ = D

38