Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие

2) Найдем параметр tэкс ( Zэкс)

3) Найдем критическую точку распределения Стьюдента tкр по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k = nx +ny – 2 = 12 +

15 – 2 = 25. По таблице 2 Приложения: tкр = tα,k = t0,05;25 = 2,06.

4) Сравниваем tэкс и tкр. Т.к. tэкс = 5 › tкр = 2,06 = 2,06 , то нулевая гипотеза H0 отвергается, (если tэкс<tкр– H0 принимается).

5) Выводы: Различие средних показателей лечения двумя методами существенно на 5% -ном уровне значимости. С доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что новая методика лечения более

эффективна, чем старая.

49

9. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Цель и задачи корреляционного анализа.

Для решения многих задач экономики и медицины требуется установить и оценить зависимость между изучаемыми случайными величинами x и y .

Две случайные величины x и y могут быть связаны функцио-

нальной зависимостью, статистической или быть независимыми. Функциональной зависимостью между величинами x и y называ-

ется зависимость, при которой каждому значениюx из множества её допустимых значений соответствует одно или несколько значений

величины y и обозначается y = f (x). Например, зависимость между

значение его объема V .

Функциональная зависимость между величинами x и y в

экономике и медицине реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены действию случайных факторов. Например, если x - количество вводимого препарата, то его концентрация в крови ( y ) в

произвольный момент времени определяется не только количеством введенного препарата, но и массой больного, скоростью выведения препарата из организма и т. д. В этом случае между величинами возникает статистическая зависимость.

Статистической зависимостью величины y от величины x

называют такую зависимость, при которой каждому значению величины x из множества ее возможных значений, соответствует некоторое множество возможных значений величины y , характеризуемое определенным

законом распределения. При этом изменение величины x приводит к изменению распределения величины y . Например, зависимость между

возрастом ребенка и его весом является статистической, т.к. если у группы детей в возрасте 2-х лет (x = 2)измерить массу тела y , то получим множество различных значений: y1 =12,7 кг, у2 =13,1кг, у3 =13,3 кг

и т. д.

Частным случаем статистической зависимости является кореляционная зависимость.

Корреляционная зависимость проявляется в том, что при изменении одной величины, например x , изменяется условное среднее значение

50

величины y . Например, зависимость между дозой лекарственного препа-

рата и содержанием его в крови, зависимость между возрастом ребенка и массой его тела и т.д.

Корреляционную зависимость y от x можно описать с помощью

уравнения вида

yx = f (x),

где yx - условное среднее значение величины y , соответствующее

данному значениюx ; f (x) - некоторая функция. Уравнение (1) называется уравнением регрессии y на x .

Обратную корреляционную зависимость (если она существует) можно описать уравнением регрессии x на y :

xy = ϕ( y) ,

имеется, то определить числовые характеристики для математического описания этой зависимости, т.е. определить вид функции f (x) или ϕ(y).

Качественная оценка корреляционной зависимости

Пусть изучается корреляционная зависимость между случайными величинами x и y . В результате n независимых опытов получены n

пар значений величин x и y : (x1; y1 ), (x2 , y2 ),…, (xn , yn ), которые представляют выборку из генеральной совокупности. Экспериментальные значения записывают в таблицу.

Для качественной оценки корреляционной зависимости между величинами x и y строят корреляционное поле: в прямоугольной системе

координат в выбранном масштабе наносят точки с координатами (x1; y1 ),

51

(х2 ; y2 ) ,…, (хn ; yn ) . В результате построения корреляционное поле может иметь один из видов, изображенных на рис.4.

(или возрастающая) корреляционная зависимость. В случае прямой зависимости обе величины x и y увеличиваются. Например, корреляционная

зависимость между возрастом ребенка и массой его тела является прямой, т.к. с увеличением возраста увеличивается масса тела.

Если корреляционное поле имеет вид, изображенный на рис. 4.б, то можно предположить, что между величинами x и y существует обратная

(или убывающая) корреляционная зависимость. Обратная корреляционная зависимость означает, что одна величина (например y ) уменьшается по

мере увеличения другой ( x ). Например, корреляционная зависимость между процентом охвата населения прививками против гриппа и заболеваемостью гриппом является обратной, т.к. чем больше привито населения против гриппа, тем меньше заболеваемость.

По характеру расположения экспериментальных пар значений (хi ; yi ) на корреляционном поле можно сделать предположение не только

о наличии или отсутствии корреляционной зависимости между величинами x и y , но и о форме этой зависимости. Если экспериментальные точ-

ки расположены приблизительно вдоль прямой линии (рис. 5.а), то можно высказать предположение о существовании линейной корреляционной зависимости между изучаемыми величинами, если точки расположены вдоль ветви параболы (рис. 5.б), - о квадратичной зависимости и т.д.

52

Количественная оценка тесноты корреляционной зависимости. Выборочный коэффициент корреляции.

Для оценки тесноты линейной корреляционной зависимости определяют коэффициент корреляции ( r ), который обладает следующими основными свойствами:

1.Коэффициент корреляции двух независимых случайных вели-чин равен нулю.

2.Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной функциональной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и

−1 в случае убывающей.

3.Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает 1, т.

е. r ≤1 или −1 ≤ r ≤1.

По величине выборочного коэффициента корреляции, используя данные таблицы 1, можно оценить тесноту связи.

53

Выборочные уравнения регрессии. Выборочные коэффициенты регрессии. Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим те случаи, когда есть основания предполагать наличие линейной корреляционной зависимости между величинами x и y . В этих

случаях, для описания корреляционной зависимости между величинами x и y вводят выборочные уравнения линейной регрессии y на x и x на y :

yx = ρyx x +b; xy = ρxy y + d ,

где yx - ожидаемое среднее значение величины y , соответствующее данному значению x ; xy−ожидаемое среднее значение величины x , соот-

ветствующее данному значению y ; ρyx , ρxy - выборочные коэффици-

енты регрессии, b и d отрезки отсекаемые линиями регрессии на осях ОY и ОХ соответственно.

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции r применяется метод наименьших квадратов, подробно изложенный в учебниках по статистике. В случае линейной корреляционной зависимости y на x и

x на y выборочные коэффициенты регрессии ρyx и ρxy всегда раз-

личны ( ρyx ≠ ρxy ). Вычислив ρyx , ρxy и b , d , можно записать уравнения выборочной регрессии и построить линии выборочной регрессии.

Линии выборочной регрессии y на x и x на y не совпадают,

но обязательно проходят через точку с координатами . (х; y)

На рис. 6 показаны линия регрессии y на x (прямая I) и

линия регрессии x на y (прямая

II). При этом

tgα = ρyx , а tgβ = ρxy

Рис. 6

54

Пример решения задачи.

Задача. Имеются условные данные по районам охвата населения прививкамиxi , % и заболеваемости брюшным тифом yi , %:

Таблица 1

1.Проведите качественную оценку корреляционной связи.

2.Определите коэффициент корреляции, характер и размер корреляционной связи.

3.Проверьте достоверность коэффициента корреляции.

4.Найдите коэффициент регрессии заболеваемости брюшным тифом от охвата населения прививками. Объясните смысл.

5.Составьте уравнение регрессии.

6.На корреляционном поле начертите линию регрессии.

7.Определите ожидаемые заболеваемости брюшным тифом при 2 % и 15 % охвате населения прививками.

8.Сделайте выводы.

Решение.

1. По данным табл. 1, по геометрическому положению точек (корреляциионному полю) на рисунке 7 устанавливаем линейная зависимость или нет. Для этого в прямоугольной системе координат x , y откладываем экс-

периментальные точки. По рисунку 7, т.к. корреляционное поле имеет вид эллипса, по хара-ктеру расположения точек делаем вывод о линейной зависимости между x и y .

Примечание: Если корреляционное поле не показывает линейную зависимость, считать зависимость между параметрами x и y линейной.

Таким методом проводим качественную оценку корреляционной связи: прямая (положительная), обратная (отрицательная) или отсутствует линейная связь.

В данной задаче наблюдается линейная обратная зависимость между охватом населения прививками и заболеваемостью брюшным тифом, причем теснота корреляционной связи сильная, т.к. корреляционное поле – вытянутый (узкий) эллипс, диагональ которого расположена под углом 450

коси ОХ.

2.Проводим количественную оценку корреляционной связи. Установив линейную зависимость междуx и y и, учтя, что по условию задачи

объём выборки n 30, коэффициент линейной корреляции рассчитываем по формуле (МНК (см. учебную литературу)):

55

Рис. 7

Для определения коэффициента корреляции r по формуле (1) составляем расчетную таблицу 2. Данные заносим в столбцы 1,2,3:

3. Заполним столбцы 4, 5, 6, 7, 8, производя соответствующие промежуточные расчеты.

Находим суммы столбцов 6,7,8.

4. Расчет коэффициента линейной корреляции по формуле 1:

Примечание: Расчеты по формуле должны производиться с точностью не менее чем до сотых.

5.Вывод. На основании схемы таблицы оценки тесноты корреляционной связи вычисленный коэффициент корреляции r свидетельствует о том, что имеется сильная обратная связь между заболеваемостью брюшным тифом и охватом населения прививками, т.е. чем больше охват населения прививками, тем меньше заболеваемость населения брюшным тифом.

6. Проверка достоверности корреляционной связи.

Для статистических характеристик устанавливается их достоверность, для чего используются один из ниже приведенных способов.

Первый способ.

Для того чтобы убедиться, что коэффициент корреляции, вычисленный по данным выборочного исследования, будет соответствовать размеру связи в генеральной совокупности, необходимо:

коэффициента корреляции, вычисляется по формулам:

57

гипотеза отвергается, следовательно, коэффициент, вычисленный по данным выборочного исследования, соответствует размеру связи в генеральной совокупности.

Второй способ.

Существует специальная таблица (см. таблицу 1 Приложения) для малых выборок, по которой полученную величину r можно оценить без

расчета mr и tф,а путем сравнения r с критическим коэффициентом корреляции rα,k , рассчитанным в таблице для различной степени

вероятности (или уровня значимости) и различного числа наблюдений.

Здесь k - число коррелируемых пар.

По этой таблице коэффициент корреляции признаётся статистически значимым (достоверным) с вероятностью ошибки меньше 0,05 ,если

r > r0,05,k , и с вероятностью ошибки меньше 0,01, если r > r0,01,k .

В данной задаче по таблице 1 приложения: r0,05;9 = 0,7.Так как rф = −0,98 > r0,05 = 0,666 коэффициент r = −0,98 соответствует

связи в генеральной совокупности.

Примечание. На практике обязательно подвергается проверке на

58