Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие
.pdf
Вероятности событий: PB1 (A)– шар (белый) извлечен из 1-ой урны;
PB2 (A) – шар (белый) извлечен из 2-ой урны; PB3 (A)– шар (белый) из-
влечен из 3-ей урны.
По условию эксперимента урна выбирается наудачу, значит вероятность выбора одной (любой) из 3-х урн равна:
P(B1 )= P(B2 )= P(B3 )= 13 .
Вероятность извлечения белого шара из каждой из трех урн равны:
PB1 (A)= 5 +5 5 =105 = 12 PB2 (A)= 3 +3 3 = 12
PB3 (A)= 2 +2 4 = 13 .
Тогда по формуле полной вероятности найдем вероятность извлечения белого шара в эксперименте:
P(A)= ∑3 P(Bi ) PBi (A)
i=1
P(A)= 13 12 + 13 12 + 13 13 = 94 .
2) Вероятность того, что извлеченный в эксперименте белый шар извлечен из 1-ой урны, найдем по формуле Бейеса. Она, как известно, позволяет пересчитать вероятность любой из гипотез, используемых при вычислении полной вероятности.
В вопросе идет речь о вероятности 1-ой гипотезы. Согласно формуле
Бейеса |
имеем |
(при условии, |
|
что |
событие |
A |
|
|
|
|
|
|
||||
произошло.) |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P(B1 ) PB |
(A) |
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
P |
(B )= |
|
|
|
1 |
|
= |
|
2 |
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||
A |
1 |
|
P(B1 ) PB |
(A)+ P(B2 ) PB |
|
(A)+ |
P(B3 ) PB (A) |
|
|
|
8 |
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
3. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Теорема Бернулли
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна p , а
испытание имеет только 2 исхода (событие A или противоположное
событие A ), событие A наступит ровно m раз (безразлично в какой последовательности) равна:
Pn (m)= Cnm pm qn−m ,
где n – мало; q – вероятность события A ; q =1 − p ; 0< p <1; Cnm –
число сочетаний из n элементов по m в каждом. Частные случаи:
1.Вероятность появления события A в n испытаниях ровно n раз равна
Pn (n)= Cnn pn qn−n =1 pn q0 = pn .
2. Вероятность появления события A в n испытаниях 0 раз равна
Pn (0)= qn .
3. Вероятность появления события A в n испытаниях не более m
раз равна |
Rn (m)= Pn (0)+ Pn (1)+ Pn (2)+ + Pn (m). |
|
|
|
|
|
|
|
4. Вероятность появления события A в n испытаниях не менее m |
||
раз |
равна |
Rn (m)= Pn (m)+ Pn (m +1)+ + Pn (n) |
или |
Rn |
n |
|
|
(m)= ∑Pn (i). |
|
||
|
i=m |
|
|
Теорема Пуассона
В случае, когда вероятность появления события p мала ( p <0,1), а
число независимых испытаний n велико для оценок вероятности появления события ровно m раз в n независимых испытаниях используют асимптотическую формулу Пуассона:
Pn (m)= λmm! e−λ ,
где λ = n p и n - велико, p - очень мала.
Для значений функции e−λ составлены таблицы (см. “Приложения” таблица 6)
Локальная терема Муавра – Лапласа
20
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p
(0< p <1), событие наступит ровно m раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n ):
P (m)≈ |
1 ϕ(x), |
n |
n p q |
|
где x = |
m − n p |
, n и m – велики. |
|
n p q |
|
Для функции ϕ(x)составлены таблицы (см. ”Приложения” таблица 4). Функция ϕ(x)четная, т.е. ϕ(− x)=ϕ(x)
Теорема применяется при больших n .
Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления A равна p , событие наступит хотя бы
один раз, равна Pn (m ≥1)=1 − qn , где q =1 − p .
Интегральная теорема Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p , событие
наступит не менее m1 раз и не более m2 , приближенно равна:
Pn (m1;m2 )≈Ф(х2 )−Ф(х1 ),
где Ф(х)= |
1 |
x |
− |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 dt - функция Лапласа, причем: |
|||||||||||
∫e |
|
||||||||||
|
2π 0 |
|
|
|
= m1 − n p |
|
m2 − n p |
|
|||
Ф(− х)= −Ф(х); x |
; x = |
. |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
n p q |
2 |
n p q |
||||
Значения функции Ф(х)приведены в таблице 5 “Приложений”.
Примеры решения задач Задача 1. Появление колонии микроорганизмов данного вида
оценивается вероятностью p = 0,9. Какова вероятность того, что в 5 случаях эта колония микроорганизмов появится 3 раза?
21
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n = 5; |
|
|
По формуле Бернулли имеем: q =1 − p =1−0,9 = 0,1 |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
m = 3; |
|
|
P |
(3)= C3 p3 q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p = 0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 4 3 |
|
|||||||||||||||
|
P5 (3) − ? |
|
|
P5 |
(3)= |
|
(0,9)3 (0,1)2 =10 0,729 0,01 ≈ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0,0729 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 2. В семье 5 детей. Какова вероятность того, что в семье не |
||||||||||||||||||||||
менее трех девочек? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n = 5 |
|
|
R5 (3)= P5 (3)+ P5 (4)+ P5 (5) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p = |
|
1 |
|
|
|
R5 (3)= |
5 4 3 |
1 3 |
|
1 2 |
5 4 3 2 |
|
1 4 |
|
1 1 |
|||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 3 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
q = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
12 3 4 |
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
1 5 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
1 5 |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
= 0,5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
R (3)−? |
|
|
+ |
=10 |
+ |
5 |
|
+ |
|
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Задача 3. Вероятность того, что студент не прошел профилактического осмотра, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных студентов не прошли осмотра 15 студентов.
n = 100; |
|
|
Так как n велико и m – точное число, используем ло- |
||||
|
|||||||
m = 15; |
|
|
кальную теорему Лапласа |
|
|||
p =0,2 |
|
|
P100 (15)= |
|
1 |
ϕ(x) |
|
q = 0,8 |
|
|
100 |
0,2 0,8 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
P100(15) -? |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
m − n p |
|
|
|
|
||
|
n p q |
|
|
|
|
||
x = |
15 −0,2 100 = −1,25; |
|
|
||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
q =1 − p =1−0,2 = 0,8.
ϕ(x)=ϕ(−1,25)=ϕ(1,25)= 0,1826 (см. таблицу 4, “Приложения”).
22
P100 (15)= 14 0,1826 = 0,04553.
Задача 4. Вероятность того, что студент не прошел профосмотра, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных студентов не прошли осмотра от 10 до 20 человек.
Решение. p = 0,1;
n = 100;
m1 = 10;
m2 = 20 P100(10;20) -?
Pn (m1,m2 )≈Ф(х2 )−Ф(х1 )
x = m − n p n p q
q =1 −1 0,1 = 0,9
x = 10 −0,1 10 |
= 0 ; x = |
20 −0,1 100 |
= |
10 |
= 3,33 |
||
|
|
||||||
1 |
100 |
0,1 0,9 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
Используя таблицу 5 в “Приложениях”, находим
P100 (10;20)=Ф(3,3)−Ф(0)= 0,4994 −0 = 0,4994 ≈ 0,5.
Задача 5. Фармзавод отправил на аптечный склад 10 000 ампул витамина С. Вероятность повреждения ампул в пути равна 0,0002.Найти вероятность того, что в пути будут повреждены 5 ампул.
Решение.
n = 10 000; p = 0,0002; m = 5
P (5) -? 10000
По формуле Пуассона имеем:
|
P |
|
(5)= λ5 e−λ |
; λ = n p . |
|
|
10000 |
5! |
|
|
|
|
λ =10000 0,0002 = 2 |
||||
P |
(5)= |
|
25 |
|
e−2 = 0,035. |
|
|
|
|||
10000 |
1 2 3 4 5 |
|
|||
|
|
|
|||
23
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
4. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Основным объектом теории вероятностей и математической статистики являются случайные величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает только одно из всех возможных значений, но неизвестно, какое именно.
Случайные величины подразделяют на дискретные и непрерывные. Дискретной называют случайную величину, которая принимает
конечное или счетное множество значений.
Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.
Непрерывная случайная величина считается заданной, если известен закон её распределения. Закон распределения можно задать функцией рас-
пределения вероятностей (плотностью вероятности) f (x). Она показы-
вает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой этой величины:
f (x)= ddxP dP = f (x)dx.
Интегрируя данное выражение, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (a,b):
P(a x b)= b∫ f (x)dx .
a
Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет
вид:
+∫∞f (x)dx =1.
−∞
Наряду с плотностью вероятности используется также и функция распределения непрерывной случайной величины:
F(x)= x∫ f (x)dx.
0
Эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения меньше x :
F(x)= P(−∞ X x).
Случайная величина распределена по нормальному закону, если её плотность вероятности имеет вид:
24
|
|
1 |
− |
(x−µ)2 |
f (x)= |
|
|
||
σ |
e 2σ 2 , |
|||
|
2π |
|
|
|
где µ- математическое ожидание случайной величины; σ - среднее
квадратичное отклонение; σ2 - дисперсия случайной величины. Функция распределения в этом случае вычисляется как
|
|
|
1 |
|
x − |
(x−µ)2 |
|
|
F(x)= |
|
|
|
|
|
|||
σ |
|
∫e 2σ 2 dx . |
||||||
|
2π −∞ |
|
|
|||||
Так как данный интеграл в элементарных функциях не вычисляется, |
||||||||
то, введя новую переменную t = |
x − µ |
|
, получаем |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
σ |
|
|
х− µ |
||
F(x)=Ф(t) |
|
|||||||
=Ф |
|
, |
||||||
σ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф(t)-функция Лапласа, значения которой находятся в специальной
таблице (см. Приложение, таблица № 5).
Таким образом можно вычислить вероятность того, что случайная величина при нормальном распределении находится в интервале (x1, x2 ):
P(x1 х x2 )=Ф х2σ− µ −Ф х1σ− µ
Примеры решения задач Задача. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью
нормального закона распределения с плотностью вероятности
|
|
1 |
|
|
− |
( x−15)2 |
|
f (x) = |
|
|
e |
0,08 . Определите: 1) математическое ожидание |
|||
|
|
|
|||||
0,2 |
|
2π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
µ (ден. ед.); 2) среднее квадратное отклонение σ (ден.ед.); 3) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (14,9; 15,3).
Схематично постройте график функции y = f (x). Покажите на графике µ, µ ±σ, f (µ); заданный интервал; вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
25
Решение.
Непрерывная случайная величина x имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданиемµ и средним квадратическим
отклонением σ, если её плотность вероятности имеет вид:
|
|
1 |
−(x−µ)2 |
|
f (x) = |
|
e 2σ2 |
. Сравнивая данную функцию с плотностью |
|
|
2π |
|||
σ |
|
|
||
вероятности из условия задачи, определяем:
1.µ=15 ден.ед.
2.σ=0,2 ден.ед.
3.Вероятность попадания случайной величины x в заданный
интервал определяется по формуле
P(x1 x x2 ) =Ф( x2σ− µ) −Ф( x1σ− µ) , где Ф( x σ− µ)
- функция Лапласа, значение которой определяется по таблице 5 Приложения.
Следовательно:
15,3−15,0 |
14,9−15,0 |
|
||||
P(14,9 x 15,3) =Ф( |
|
)−Ф( |
|
) =Ф(1,5) |
−Ф(−0,5) |
|
0,2 |
0,2 |
|||||
Для функции Лапласа имеет место свойство: Ф(− х)= −Ф(х).
С учетом этого: P(14,9 x 15,3)= Ф(1,5)+Ф(0,5)
По таблице 5 находим: Ф(1,5)=0,4332; Ф(0,5)=0,1915 Следовательно: P(14,9 x 15,3)=0,6247 или 62,47 %.
Построить график можно, пользуясь правилами построения графиков
функций: |
|
|
|
|
|
1. |
область определения функции : (-∞,+∞); |
|
|
|
|
2. |
значений: f (x) > 0, при всех значениях x ; |
|
|
|
|
3. |
lim f (x) = |
lim f (x)= 0 . Т.е. ось OX является горизон- |
|
||
|
x→−∞ |
x→+∞ |
|
|
|
тальной асимптотой; |
|
1 |
|
|
|
4. в точке x =15,0 функция имеет максимум f (15) = |
2π |
; |
|||
|
|
|
0,2 |
|
|
26
|
|
|
1 |
|
e− |
152 |
|
1 |
|
|
5.при x = 0 функция |
f (0) = |
|
|
0,08 |
= |
|
− |
|||
0,2 |
|
2π |
|
152 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2
2π e0,08
точка пересечения функции с осью OY.
Построим схематично график заданной плотности вероятности (рис
1).
Вероятность попадания случайной величины в интервал (14,9; 15,3) численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x), осью OX и прямымиx =14,9; x =15,3
Рис. 1.
Ответ: µ=15,0 ден.ед., σ=0,2 ден.ед., p=62,47 %.
27
5.Основные понятия математической статистики
Врезультате измерений получают множество значений измеряемой величины, которое называют простой статистической совокупностью или простым статистическим рядом, а каждое значение измеряемого признака
–вариантой (xi ).
Измеряемые признаки подразделяют на дискретные и непрерывные. Дискретные признаки могут принимать лишь определенные значения
из некоторого ряда чисел, например, число подтягиваний спортсмена на перекладине, число дней пропущенных занятий заболевшим студентом и т.п.
Непрерывные признаки могут принимать любые значения в определённом интервале. Например, время прохождения 100 – метровой дистанции студентами, значение артериального давления крови и т.п.
Количество членов в статистической совокупности называют её объёмом n .
Изменение изучаемого признака в статистической совокупности называют вариацией признака.
В математической статистике пользуются понятиями выборочной совокупности (или выборки) и генеральной совокупности.
Генеральная совокупность – это самая общая статистическая совокупность, содержащая бесконечно много членов, т.е. объём генеральной совокупности n →∞.
Выборка – это статистическая совокупность, являющаяся частью некоторой генеральной совокупности. Её объём n – конечное число. Малой называют выборку, объём которой
Число mi , показывающее, сколько раз конкретная варианта xi
встречается в выборке, называется абсолютной частотой варианты (мы будем называть частотой).
Отношение частоты mi к объёму выборки n называется
относительной частотой |
P : |
P = |
mi |
. |
|
|
|||||
|
i |
i |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что сумма частот всех вариант выборки составляет её |
|||||
объём: |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑mi |
= n, |
||
|
|
i=1 |
|
|
|
k – количество отличающихся по значению вариант.
Математическая совокупность устанавливает правила отбора членов из генеральной совокупности в выборку, руководствуясь тем, что выборка должна быть репрезентативной, то есть представительной (достаточно
28