Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие

где σx ,σy - выборочные средние квадратические отклонения.

Заменим σx ,σy формулами их определяющими, получим иной вид формулы

увеличении охвата населения прививками на 1 % заболеваемость уменьшается на 0,47 %

8. Найдем уравнение линейной регрессии. Для этого используем линейное уравнение регрессии вида

yx = ρyx x +b, где b = y − ρex x.

Расчет: b = 5,19 −(−0,47) 8,82 = 5,19 + 4,15 = 9,34.

Записываем уравнение регрессии:

y= −0,47x +9,34.

9.На корреляционном поле рисунка 1 строим линию регрессии

(график) этого уравнения по любым двум точкам: yx=4 = 7,46,

yx=11,5 = 3,94.

10. Допустим, нужно найти ожидаемый процент заболевания населения брюшным тифом при 15% охвате населения прививками:

yx=15 = −0,47 15 +9,34 = 2,29% (можно найти по графику). Ответ.

1) Коэффициент корреляции r = −0,98 – сильная КС между

охватом населения прививками и заболеваемостью брюшным тифом, т.е. чем больше охват населения прививками, тем меньше заболеваемость брюшным тифом.

59

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

1.1Бросили два игральных кубика и сосчитали сумму очков на выпавших гранях кубиков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 9?

1.2В ящике 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара – черные? оба – белые? один белый и один черный?

1.3При перевозке ящика, в котором было 20 стандартных и 7 нестандартных деталей, утеряна одна деталь. Наудачу извлеченные после перевозки две детали оказались нестандартными. Найти вероятность того, что была утеря-на: а) стандартная б) нестандартная деталь

1.4Слово МОЛНИЯ разрезали на буквы и сложили из них слово наугад. Какова вероятность, что получилось опять слово МОЛНИЯ?

1.5На шести одинаковых карточках написаны буквы А; В; К; М; С; О. Карточки раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность, что получится слово МОСКВА?

1.6В стационаре поселковой больницы два отделения: терапевтическое и хирургическое. В первом 15 больных, во втором – 7. Выписке подлежат 4 больных. Какова вероятность того, что это больные из терапевтического отделения?

1.7Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов, включенных в экзаменационные билеты. В билете 3 вопроса. Какова вероятность, что студент знает все три вопроса билета?

1.8Подбрасывают красный и синий игральные кубики. Какова вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях кубиков равна 9?

1.9В аптечке 12 стандартов пенициллина, 3 стандарта биомицина и 5 парацетамола. Какова вероятность, что при извлечении наугад трех стандартов будут извлечены 3 стандарта антибиотика: 2 - пенициллина, 1 - биомицина.

1.10В студенческой группе на контрольной работе оценку «отлично» получили 6 студентов, оценку «хорошо» - 10, «удовлетворительно» - 7, «неуд» - 2. Какова вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске имеют оценку «хорошо»?

2.1Радист может трижды вызывать корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4.

60

Найти вероятность того, что радист передаст сообщение корреспонденту.

2.2Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Какова вероятность того, что мишень поражена?

2.3В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

2.4В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника

– 0,9, для велосипедиста - 0,8, для бегуна – 0,75. Какова вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму?

2.5Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Какова вероятность, что это – стандартная деталь.

2.6Три стрелка стреляют одновременно по цели. Вероятность поражения цели: для первого – 0,8, для второго – 0, 75, для третьего – 0,7. Какова вероятность только одного попадания в цель? хотя бы одного?

2.7Решить задачу № 1. 7., используя соответствующую теорему.

2.8Известно, что в партии из 1000 стандартных ампул с новокаином 400 ампул изготовлено на одном заводе, 350 ампул – на втором заводе и 250 – на третьем. Известны также вероятности 0,75; 0,80 и 0,85 того, что ампула окажется без дефекта при изготовлении ее соответственно первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии ампула с новокаином окажется без дефекта?

2.9Имеются 3 студенческие группы по 30 человек в каждой. В первой группе 5 студентов занимаются на «отлично», во второй – 8 студентов,

втретьей – в студентов. Выбирают наудачу группу и вызывают наудачу студента. Какова вероятность, что этот студент – отличник?

2.10Решить задачу № 1.10, используя соответствующую теорему.

3. 1 Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока из 5 телевизоров один потребует ремонта?

3.2Бросаем монету. Какова вероятность того, что при 10 бросаниях ни разу не появится «герб»?

3.3Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагаем, что количество мужчин в городе равно количеству женщин).

61

3.4Всхожесть семян некоторого растения равна 80 %. Найти вероятность того, что из 900 посеянных семян взойдет не менее 700.

3.5Если в среднем левши составляют 1%, какова вероятность того, что среди 200 человек окажется 4 левши?

3.6В аптеку поступило 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка будет разбита, равна 0, 003. Найти вероятность того, что в поступившей партии будет разбито 2 бутылки.

3.7Всхожесть данной партии семян равна 90%. Найти вероятность того, что из посеянных 5 семян взойдут 4

3.8Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 2 партии из четырех или 3 партии из шести? (ничьи во внимание не принимаются).

3.9Завод отправил на аптечный склад 5000 термометров. Вероятность повреждения отдельного термометра в пути равна 0,0002. Какова вероятность повреждения в пути трех термометров?

3.10Завод медоборудования выпускает 90% фонендоскопов первого

сорта и 10% фонендоскопов второго сорта. Наугад выбирают 1000

Определите: 1. математическое ожидание µ; 2. среднее квадратическое значение σ ; 3. значение коэффициента a ; 4. вероятность того, что значение случайной величины x заключено в интервале (34, 38). Изо-

разите схематично график функции y = f (x). Покажите на графике

µ, µ ±σ, f (µ) и вероятность попадания случайной величины x в

заданный интервал.

4.2. Случайная величина x распределена по нормальному закону, плотность вероятности задана выражением

Определите: 1) математическое ожидание µ; 2) среднее квадратическое значение σ ; 3) вероятность того, что значение случайной величины x заключено в интервале (13, 15). Изобразите схематично график функции

62

плотность вероятности задана выражением

63

Определите: 1) математическое ожидание µ; 2) среднее квадратическое значение σ ; 3) вероятность того, что значение случайной величины x

64

попадания случайной величины x в заданный интервал.

В задачах №5 проведите статистическую обработку результатов прямых равноточных измерений при p = 0,95, считая, что

изучаемый показатель имеет нормальное распределение.

5.1. В течение дня у пациента измеряли содержание сахара в крови. Получили следующие результаты (ммоль/литр):

5.2. В течение дня у пациента измеряли содержание сахара в крови. Получили следующие результаты (ммоль/литр):

5.3. Изучалось содержание кальция (мг %) в крови пациента. Получены следующие результаты:

5.5. При измерении диаметра таблетки получены следующие результаты (в см):

5.6. Изучалось содержание кальция (мг %) в сыворотке крови пациента. Получены следующие результаты:

5.7. При измерении температуры раствора (˚С) были получены следующие результаты:

5.8. При семи измерениях массы таблетки получены следующие результаты (г):

65

5.9. При измерении температуры раствора (˚С) были получены следующие результаты:

5.10. Изучалось содержание кальция (мг %) в сыворотке крови пациента. Получены следующие результаты:

В задачах №6 по результатам измерений: 1. составьте интервальный ряд распределения; 2. вычислите основные характеристики ряда

(x; D; σ; Mo; Me; R);

3. постройте гистограмму относительных частот.

6.1. При измерении систолического артериального давления (мм. рт. ст.) в начальной стадии шока получены следующие результаты:

6.2. При измерении роста (см.) мужчин в возрасте 25 лет были получены следующие результаты:

6.3. Наблюдение за сахаром в крови у 45 человек дали следующие результаты (ммоль/литр):

6.4 При определении скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 30 человек были получены следующие результаты (мм/час):

6.5 При определении скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 30 человек были получены следующие результаты (мм/час):

6.6 При измерении систолического артериального давления (мм. рт. ст.) в начальной стадии шока получены следующие результаты:

6,7 Изучалось содержание кальция (мг %) в сыворотке крови. Получены следующие результаты:

6.8. Наблюдение за сахаром в крови у 45 человек дали следующие результаты (ммоль/литр):

6.9. Изучалось содержание кальция (мг %) в сыворотке крови. Получены следующие результаты:

7.1 Измерения пульса 10 больных, проведенные после некоторой процедуры, и 12 больных контрольной группы дали следующие

результаты: для первой группы x = 92,0 уд/мин, для второй группы

нормальному закону, выяснить при уровне значимости 0,05, существенно ли различаются дисперсии.

67

7.2. Для проверки эффективности новой методики лечения отобраны 2 группы больных одним и тем же заболеванием. Были получены следую-

y = 7,8 (усл. ед.), Sy2 = 0,2 (усл. ед.)2 . Считая, что изучаемый показатель

имеет нормальное распределение, выяснить при уровне значимости 0,05, существенно ли различие дисперсий.

7.3. Уровень травматизма на шахте на 50 работающих до внедрения лечебно-профилактических работ x =8,0 , оценка дисперсии Sx2 = 0,45. После внедрения лечебно-профилактических работ мероприятий: y = 7,5, Sy2 = 0,5. Считая, что изучаемый показатель имеет нормальное

распределение, выяснить при уровне значимости 0,05, существенно ли различаются генеральные дисперсии.

7.4. При исследовании показателей заболеваемости работников с временной утратой трудоспособности в двух больницах получены следующие данные: сроки пребывания в стационаре 1-й больницы x =13

(дн.)2. Считая, что изучаемый показатель имеет нормальное распределение, выясните при уровне значимости 0,05, существенно ли различие дисперсий. Сделайте выводы.

7.5. В результате выборочной проверки эффективности лечебно-оздо- ровительных мероприятий у 15 больных, состоящих 3 года под диспансерным наблюдением, были получены следующие результаты:

среднее число дней утраты трудоспособности x = 35, Sx2 = 2,1; в конт-

рольной группе -15 больных, y = 38, Sy2 = 2,5. Считая, что изучаемый

показатель имеет нормальное распределение, выяснить при уровне значимости 0,05, существенно ли различаются дисперсии.

7.6. В результате выборочной проверки качества оказания медицинской помощи (оценка набора лечебных мероприятий ОЛМ) исследованы больницы №1 и №2. Были получены следующие результаты: больница №1-

Считая, что изучаемый показатель имеет нормальное распределение, выяснить при уровне значимости 0,05, существенно ли различаются дисперсии.

68