Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Контрольную работу необходимо выполнять в тетради, оставляя поля (6 см) для замечаний рецензента.

2.На титульном листе указать наименование кафедры и дисциплины; факультет, курс, номер группы; номер контрольной работы и варианта; фамилию, имя, отчество без сокращений; номер зачетной книжки.

3.Условия заданий необходимо написать полностью, без сокращений.

4.Решения заданий необходимо сопровождать пояснениями. Расчеты проводить, соблюдая правила приближенных вычислений.

5.При построении графиков функций соблюдать масштаб по осям координат.

6.В конце контрольной работы указать используемую литературу (автор, название, год издания).

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Перестановками Pm из m различных элементов называют комби-

нации элементов по m элементов в каждой, которые отличаются только порядком элементов.

Pm =1 2 3...(m−1)m =m!

Символ m! (читается “эм факториал”) есть сокращенное обозначение

произведения m последовательных целых чисел от 1 до m .

P3 =1 2 3 =3!=6

Принимается (в качестве определения): 1!=1; 0!=1; m!= (m−1)! m Размещениями Anm из n различных элементов по m элементов в

каж-дом называют комбинации элементов, которые отличаются друг от друга либо элементами, либо порядком элементов.

Anm = n(n−1) (n−2)...[n−(m−1)]

То есть число размещений Anm равно произведению m последователь-

ных целых чисел, наибольшее из которых равно n.

Пример: Число размещений из 8 элементов по 3 в каждом

A83 =8 7 6 =336

9

Сочетаниями Cnm из n различных элементов по m элементов в

каждом называют комбинации элементов, которые отличаются друг от друга только элементами (порядок элементов во внимание не принима-

пользоваться правилом произведения: если элемент x можно выбрать k способами, а элемент y – m способами, то пару ( x, y ) можно выбрать

k m способами. Оно обобщается и на большее число элементов.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

благоприятствующих этому событию исходов испытания m к общему числу всех единственно возможных и равно возможных исходов n :

P(A)= mn

Вероятность достоверного события P(дост) =1, а вероятность невозможного события Р( Аневозм) = 0.

Вероятность случайного события P(A)

0 ≤ P(A)≤1

10

Значения m и n находят либо простым подсчетом числа соответствующих исходов испытаний, используя “Правило суммы” или “Правило произведения”, либо используя формулы числа соответствующих

комбинаций элементов (перестановок Pm , перемещений Anm или сочетаний Cnm ).

Примеры решения задач.

Задача 1. В урне 8 белых, 5 красных, 6 синих и 1 черный шар. Вынимают наудачу один шар. Какова вероятность, что это: а) белый: б) цветной (красный или синий) шар?

Решение.

а) Обозначим событие: A – извлечен в эксперименте белый шар.

Определим общее число исходов n . Оно равно общему количеству шаров в урне: n =8 +5 + 6 +1 = 20.

Определим число благоприятных исходов m . Оно равно количеству белых шаров в урне: n = 8. Значит, искомая вероятность

P(A)= mn = 208 =0,4.

б) Обозначим событие: A – извлечен цветной шар. Общее число исходов эксперимента, как и в случае а) равно 20. Число благоприятных исходов m , очевидно, равно количеству «цветных» (синих и красных

вместе) шаров: m = 5 + 6 =11. Значит, искомая вероятность

P(A)= 1120 =0,55.

Задача 2. Студент получил в библиотеке 14 учебников, среди которых 5 – по математике и 4 – по химии. Студент наудачу взял 3 учебника. Какова вероятность того, что это – учебники по химии.

Решение.

Обозначим событие: A – все три учебника – учебники по химии.

P(A)= mn

Общее число исходов n , очевидно, равно числу способов, которыми можно взять 3 учебника из 14, не обращая внимания на “очередность” их изъятия, то есть n равно числу сочетаний из 14

элементов по 3 в каждом: n =C143 .

Вычислить С143 можно по формуле: C143 = A143 ,

P3

11

где A143 - число размещений, из 14 по 3 в каждом, а P3 - число перестановок из трех.

Учитывая формулы для расчета Anm и Pm , получим:

Число благоприятных исходов m равно числу способов, которыми можно взять 3 учебника из четырех, т. е. числу сочетаний

Искомая вероятность: P(A)=3644 ≈0,011

Задача 3. В урне 14 белых и 8 черных шаров. Вынимают наудачу сразу 5 шаров. Какова вероятность того, что 3 из них – белые и 2 черные.

Решение.

Воспользуемся формулой: P(A)= mn .

Событие A – событие, состоящее в том, что из урны извлечены 3 белых и 2 черных шара. Общее число исходов n равно числу способов, которыми можно из 20 шаров извлечь 3 +2=5 шаров. Оно равно числу

сочетаний С205 .

Число благоприятствующих событию исходов m числу способов, которыми можно отобрать 3 белых шара из 14 белых и одновременно с этим 2 черных шара из 6 черных. Оно равно произведению числа

сочетаний С143 на число сочетаний С62 : m =C143 C62

Найдем C205 , C143 и C62 :

12

3.ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия

а) Единственно возможные события.

События A, B,C,... называют единственно возможными, если в

результате каждого испытания хотя бы одно из них наверняка наступит. Эти события образуют полную группу событий.

Например, при подбрасывании игрального кубика единственно возможными являются события выпадения граней с одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью очками. Они образуют полную группу событий.

б) События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.

в) Противоположными называют два единственно возможных

события, образующих полную группу. Обозначают, например A и A .

г) События называют независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от совершения или несовершения других.

Действия над событиями.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если A и B – совместные события, то их сумма A + B (или A

B) обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе.

Если A и B – несовместные события, то их сумма A + B означает наступление или события A, или события B.

n

Сумму нескольких событий обозначают: ∑ Ai i =1

13

Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение двух событий обозначают A B или A∏B . Произведение нескольких событий обозначают ∏ Ai

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B); - для двух событий,

Следствия: а) Сумма вероятностей противоположных событий A и Аравна 1: P( A) + P( A) =1.

Часто вероятность противоположного события обозначают q: P( A) = q . б) Сумма вероятностей n событий, образующих полную группу

n

событий, равна 1: P(A1) + P( A2 ) +.... + P( An ) =1 или: ∑P(Ai ) =1 i=1

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме

вероятностей этих событий без вероятностей их пересечения, т.е.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A) P(B) .

Теорема умножения вероятностей.

а) Для двух независимых событий:

P(A B) = P(A∏B) = P(A) P(B) .

б) Для двух зависимых событий

P( A B) = P( A) PA (B) ,

где PA (B) – условная вероятность события B.

в) Для нескольких событий, в совокупности независимых:

P ∏n AI = ∏n P(Ai ).

i=1 i=1

г) Вероятность наступления хотя бы одного из событий Ai , образующих полную группу независимых событий:

n

P(A) =1 − ∏P(Ai )или :

i=1

P(A) =1− q1 q2 qn ;

14

P(A) =1− qn , если q1 = q2 =... = qn

Формула полной вероятности

Следствием теоремы сложения вероятностей для несовместных событий и теоремы умножения вероятностей зависимых событий является формула полной вероятности.

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1, B2 ,...Bn ,

образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие

условные вероятности события A:

P(A)= ∑n P(BI ) PBi (A).

i=1

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Бейеса.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса

PA (Bi )= ∑P(B(i ))PBi (A( )).

P Bi PBi A

Она применяется, когда событие A, которое может появиться только в одной из гипотез Bi , образующих полную группу, произошло и необходимо произвести переоценку вероятностей этих гипотез P(Bi ), извест-

ных до испытания.

Значение формулы Бейеса в том, что мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

Этот метод дает возможность корректировать управленческие реше ния в экономике.

Примеры решения задач Задача 1. В урне 8 белых и 7 синих шаров. Наудачу вынимают по

одному 3 шара. Какова вероятность, что все 3 шара окажутся белыми, если шары извлекают без возвращения?

Решение.

Обозначим события:

A1 – первый изъятый шар – белый

A2 – второй изъятый шар – белый

A3 – третий изъятый шар – белый A– все три шара – белые

15

Событие A состоится, если состоится и событие A1 и события A2 и A3 .Т. е. событие A является произведением (пересечением) событий A1,

A2 , A3 .

События A1, A2 и A3 - зависимые.

Применяем теорему умножения вероятностей зависимых событий:

P(A)= P(A1 ) PA1 (A2 ) PA1, A2 (A3 ),

где PA1 (A2 ) – условная вероятность события A2 ; PA1, A2 (A3 ) – условная вероятность события A3 .

Вероятности событий A1, A2 и A3 найдем по формуле P(A)= mn :

P(A1 )= 8 +8 7 =158 .

Вероятность события A2 при условии, что произошло событие A1,

равна:

P(A2 )=158 −−11 =147 = 12 .

Вероятность события A3 при условии, что произошли события A1 и

A2

PA1, A2 (A3 )=147 −−11 =136

Вероятность события A (все 3 шара – белые) P(A)равна:

P(A)=158 12 136 = 658

Задача 2. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% - у второго; 15% - у третьего, 25% - у четвертого и, наконец, 30% - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: 1) у первого или третьего станка; 2) у первого или второго или пятого станка.

Решение.

Обозначим события: A1; A2; A3; A4; A5 - в наудачу выбранный

момент времени рабочий находится соответственно у первого, второго, третьего, четвертого или пятого станка.

16

Вероятности этих событий согласно условию равны:

P(A1 )= 0,2; P(A2 )= 0,1; P(A3 )= 0,15; P(A4 )= 0,25; P(A5 )= 0,3

Все события - попарно несовместимые.

Применяем терему сложения для несовместимых событий. 1)Событие «мастер находится у первого или третьего станка»

представляет собой сумму двух несовместимых событий. Его вероятность:

P(A1 + A2 )= P(A1 )+ P(A3 )= 0,2 + 0,15 = 0,35

2)Аналогично имеем:

P(A1 + A2 + A5 )= P(A1 )+ P(A2 )+ P(A3 )= 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6

Задача 3. Брошены 2 игральных кубика. Чему равна вероятность того, что: 1) хотя бы на одном из них выпадет 5 очков? 2)только на одном выпадет 5 очков?

Решение.

1) Первый способ.

Обозначим события:

A1 – на грани первого кубика выпало 5 очков; A2 – на грани второго кубика 5 очков

A – хотя бы на одном кубике выпало 5 очков. События A1 и A2 – совместимые.

Событие A будет иметь место, если произойдет или только событие A1 или только событие A2 или события и A1 и A2 вместе.

По теореме сложения для совместимых событий имеем:

P(A)= P(A1 )+ P(A2 )− P(A1 ) P(A2 )

P(A1 )= P(A2 )= 16 .

Вычислим искомую вероятность:

P(A)= 16 + 16 − 16 16 = 62 − 361 = 1136 .

Второй способ.

Найдем вероятности противоположных событий A1 и A2

q1 = P(A1 )=1 − P(A1 )= 56 ,

аналогично q2 = P(A2 )= 56 .

17

2)Какова вероятность того, что 5 очков выпадет только на одном кубике?

События: A1 – 5 очков выпало на 1-ом кубике A2 – 5 очков выпало на 2-ом кубике

A – 5 очков выпало только на одном кубике (при их одновременном подбрасывании).

Событие A состоится, если состоится только событие A1 или только событие A2 .

Событие A1 происходит одновременно с событием А2, событие A2

– одновременно с событием А1.

Событие A является суммой двух событий: A = A1 A2 и A1 A2 .

Применяем теорему сложения для несовместных событий:

P(A)= P(A1A2 )+ P(A1A2 ).

По условию: P(A1 )= 16 и P(A2 )= 16 .

Найдем вероятности противоположных событий:

P(A1 )=1 − 16 = 56 и P(A2 )= 56 .

Тогда P(A)= 16 56 + 16 56 = 1036 =185 .

Задача 4 Имеются 3 урны с шарами. В первой: 5 белых и 5 черных шаров; во второй: 3 белых и 3 черных; в третьей: 2 белых и 4 черных.Из наудачу взятой урны наудачу извлекли шар. 1) Какова вероятность, что извлечен белый шар? 2)Какова вероятность, что шар извлечен из 1-ой урны, если он оказался белым?

Решение.

1)Обозначим: событие A – в испытании извлечен белый шар. Гипотезы: B1– выбрана 1-ая урна; B2 – выбрана 2-ая урна; B3 –

выбрана 3-я урна.

18