Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

Следует отметить, что параметры передаточной функции фильтра Кауэра очень чувствительны к вычислительным погрешностям. В результате нули и полюса фильтра Кауэра необходимо вычислять с удвоенной точностью. В противном случае задача проектирования фильтра

81

становится некорректно поставленной, поскольку небольшие погрешности при вычислении полюсов и нулей приводят к существенным отклонениям в АЧХ. Более того, возникает проблема устойчивости рекурсивного фильтра Кауэра.

2.4.5. ПЕРЕХОД К ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО ФИЛЬТРА

Переход от передаточной функции W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П к передаточной функции W (s) требуемого непрерывного фильтра осуществляется на основе представления W0 (s0 ) в виде произведения простых сомножителей (2.98). В результате будем иметь

образом:

82

Вкачествепримерарассмотримопределениепараметровпередаточной функции для НЧФ.

Осуществляется переход от к в виде ф, при этом:

* ф,п ( * 1) ф,

i i0 ф, vi vi0 ф, 0 00 ф,

b01 0 , b02 0.

Дополнительно для фильтров Кауэра вычисляются:

bi1 02i ф2 ф2 , bi2 0, bi3 02i ,

а для всех остальных фильтров

bi1 02i ф2 , b01 b02 0.

Аналогично определяются параметры W (s) и у ВЧФ. Для ПФ и РФ вычисления сложнее приблизительно в два раза.

83

2.4.6. ПЕРЕХОД К ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ РЕКУРСИВНОГО ФИЛЬТРА

Переход к передаточной функции рекурсивного фильтра W (z) осуществляется по билинейному преобразованию, когда W (s) представ-

лена в виде произведения простых сомножителей. В соответствии с (2.99) имеем

i 1

2.4.7. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ

Реализовать рекурсивный фильтр можно по трем схемам:

1)прямой;

2)каскадной;

3)параллельной.

84

В случае прямой схемы передаточная функция рекурсивного фильтра должна быть представлена в виде суммы простых дробей или произведения простых сомножителей. В любом случае она приводится к виду

Структурная схема фильтра представлена на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Прямая форма реализации рекурсивного фильтра

Отсчеты выходной переменной определяются при этом как

Недостатком прямой схемы реализации является высокая чувствительность полюсов и нулей передаточной функции фильтра к погреш-

ностямзаданияеекоэффициентов ai и bi . Чувствительностьтемвыше,

чем больше порядок фильтра n. В итоге даже вычислительные погрешности могут привести к неустойчивости фильтра, реализуемого по прямой схеме.

При каскадной схеме реализации передаточная функция представляется в виде произведения простых сомножителей:

l

W (u) V 0 (u) V i (u) ,

1

85

а соответствующая схема показана на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Каскадная схема реализации рекурсивного фильтра

Отсчеты выходного сигнала определяются согласно выражению

Каскадная схема в сравнении с прямой более устойчива к вычислительным погрешностям.

Параллельная схема требует представления передаточной функцией фильтра W (u) в виде суммы простых дробей:

а дискретные значения выходного сигнала вычисляются по выражению

где yik , i [1, l], находятся рекуррентно, согласно

yik i[xk ci1x(k 1) ci2 x(k 2) ] ai1 yi(k 1) ai2 yi(k 2) ,

86

причем

0, при n0 2l0 ,

0[xk c01xi(k 1) ] a01 y0(k 1) ,

y0k при n0 2l0 1 для НЧФ и ВЧФ,

0[xk c01x(k 1) c02 x(k 2) ] a01 y0(k 1) a02 y0(k 2) ,

при n0 2l0 1 для ПФиРФ.

Параллельная схема реализации изображена на рис. 2.20.

ylk

W l (u) ylk

Рис. 2.20. Параллельная форма реализации рекурсивного фильтра

Параллельная схема также более устойчива к вычислительным погрешностям.

87

2.4.8.СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ

Вкачестве критерия для сравнения будем использовать эффективность фильтра (количество вычислительных операций, необходимых для вычисления одного отсчета выходного сигнала фильтра) при заданных качествах его характеристик. В результате получается, что эффективность рекурсивных фильтров будет определяться:

1) схемной реализацией рекурсивного фильтра;

2) видом функции, аппроксимирующей фильтр-прототип;

3) способом проектирования рекурсивного фильтра (используется стандартное или билинейное Z-преобразование).

Если обозначить через l количество параметров передаточной функции рекурсивного фильтра, то каскадная схема реализации требует

5(l 1) 1 операций умножения и 4(l 1) 2 операций сложения, а параллельная: 5(l 1) 2 операций умножения и 5(l 1) операций сложе-

ния. Кроме того, в литературе указывается, что каскадная схема дает меньшую ошибку фильтрации.

Прямая схема реализации фильтров не распространена из-за проблемы ее устойчивости.

С точки зрения вида аппроксимирующей функции самыми эффективными являютсяфильтрыЧебышёваиблизкиек нимфильтрыКауэра (особенно Кауэра, см. табл. 2.1). Фильтры Баттерворта используются при строгих требованиях к неравномерности в полосе пропускания АЧХ. Однако фильтры Кауэра теряют свое преимущество при их практической реализации из-за сложностей с вычислением (они требуют двойной точности).

При проектировании рекурсивного фильтра, как уже упоминалось выше, удобнее использовать билинейное Z-преобразование.

Таким образом, предпочтение следует отдать рекурсивным фильтрам Кауэра (Чебышёва) с использованием билинейного Z-преобразования, реализуемымпо каскаднойсхеме.

88

2.5.СРАВНЕНИЕ РЕКУРСИВНЫХ

ИНЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ

Критерии сравнения фильтров следующие:

1)качество АЧХ фильтра;

2)линейность ФЧХ;

3)устойчивость фильтра;

4)эффективность.

Результаты сравнения отражены в табл. 2.2.

Требуемое качество АЧХ обеспечивают оба вида фильтров. Проблемы устойчивости у нерекурсивных фильтров не существует. Рекурсивные фильтры могут быть и устойчивыми, и неустойчивыми, что является их недостатком, который следует учитывать при проектировании. Количество вычислений в случае нерекурсивного фильтра определяется длительностью его ИХ. Если обозначить число параметров передаточной функции нерекурсивного фильтра через L, а через l – рекурсивного, то при одном и том же качестве АЧХ будет иметь место соотношение L 5(l 1) .

Таким образом, можно сделать вывод, что при отсутствии требований к линейности ФЧХ отдается предпочтение рекурсивным фильтрам при условии их устойчивости.

Нерекурсивные фильтры используются при отсутствии переходных и фазовых искажений и требованиях к линейности ФЧХ.

89