Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

где M M {s(t)} – математическое ожидание (среднее значение) сигнала s(t), а [s(t) M ] – центрированный сигнал. Взаимосвязь между АКФ и автоковариационной функцией в общем случае выражается соотношением Qss ( ) Rss ( ) M 2 , и если математическое ожидание

M{s(t)} 0 , то Qss ( ) Rss ( ) .

Рис. 1.10

Следует отметить, что в разных литературных источниках функции Qss ( ) и Rss ( ) называют с точностью до наоборот.

При вычислении АКФ сигналов, ограниченных во времени, особенно с целью сравнения их для различных сигналов, например на t [a, b] ,

выполняется нормирование АКФ по длине интервала, т. е.

Rss ( ) 1 b s(t) s(t ) dt , b a a

а это выражение представляет собой определение среднего значения взаимной мощности сигнала и его копии в функции от сдвига копии относительно сигнала.

31

АКФ сигналов бесконечной длины, в частности периодических, определяется на одном периоде с усреднением по этому периоду, поскольку результатусреднениянезависитотколичествапериодов. Такимобразом,

и при 0 Rss (0) – средняя на периоде Ts мощность сигнала.

Следует отметить, что АКФ периодического сигнала является функцией периодической с тем же периодом Ts . Например, в простейшем

случае пусть

s(t) Acos ( 0t 0 ), Ts 2

0

и тогда

Отсюда АКФ любого периодического сигнала не зависит от начальной фазы этого сигнала. Это свойство АКФ можно использовать для проверки периодических свойств любых произвольных сигналов.

Независимо от того, конечны сигналы или бесконечны, для них можно определить функцию автокорреляции коэффициентов, которая характеризует степень линейной зависимости между значениями сигнала при различных сдвигах между отсчетами этого сигнала. Для этой цели используется автоковариационная функция. Как известно, среднеквадратичное отклонение от среднего значения есть дисперсия

сигнала 2 , равная средней мощности сигнала, поэтому

и функция автокорреляции коэффициентов

32

АКФ дискретных сигналов вычисляется при t в виде

Rss (n t) t sk sk n .

k

Если сигнал задается конечным числом отсчетов k [0, N ] , то при

определении АКФ по всему массиву сигнала, когда количество точек АКФ равно количеству точек сигнала, используется выражение

N N n

Rss (n) N n k 0 sk sk n .

Коэффициент N / (N n) служит для уменьшения суммирования

средних значенийв нецентрированных сигналах. Такаяформула вычисления АКФ применяется довольно редко, в основном для детерминированных коротких сигналов. АКФ длинных случайных зашумленных сигналов вычисляется по выражению

которое можно трактовать как оценку математического ожидания произведения сигнала и его сдвинутой копии.

Свойства дискретной АКФ совпадают со свойствами непрерывной АКФ.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) используется для оцени-

вания степени связи между различными сигналами, например s(t) и u(t) , иможеттрактоватьсякакобобщениеАКФ, котораяестьчастный случай ВКФ. ВКФ определяется по формуле

Rsu ( ) s(t)u(t ) dt .

В отличие от АКФ ВКФ не является четной функцией, а именно

Rsu ( ) Rsu ( ),

имаксимальное значение Rsu ( ) будет при любом , в том числе и при

0 .

33

Образование ВКФ проиллюстрируем на примере сигналов u(t) в виде прямоугольного и s(t) в виде треугольного импульса (рис. 1.11).

Рис. 1.11

ВКФ дискретных сигналов вычисляется по формуле

Rsu (n) 1 N sk uk n .

N k 0

Для ВКФ, так же как и для АКФ, вводится понятие функции взаимных корреляционных коэффициентов, которая представляет собой количественный показатель степени корреляции сигналов s(t) и u(t)

иопределяется аналогично, а именно

su ( ) Qsu ( ) .

s u

34

1.12. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ

Случайными сигналами называются такие, значения которых не могут быть определены в любой момент. Их можно лишь предсказать в определенном диапазоне значений, причем с вероятностью, меньшей единицы.

Случайные сигналы можно разделить на две группы. Первая группа включает в себя так называемые информационные, или полезные, сигналы. Во вторую группу входят шумы и помехи, которые обычно искажаютинформационныесигналынезависимооттого, случайныеониили детерминированные.

Определим задачи, возникающие при обработке случайных сигналов.

1.Обнаружение информационных (полезных) случайных сигналов.

2.Оценивание параметров случайных сигналов.

3.Сглаживание сигналов (фильтрация шумов и помех).

4.Прогнозирование поведения случайных сигналов.

Нижеприведемнекоторыесведенияизтеориислучайныхпроцессов исигналов. Далеебудемиспользоватьтермины«сигнал», «реализация», «функция» как синонимы при изложении материала.

Случайным процессом X (t) называется совокупность реализаций xk (t) , k 1, 2, 3, ..., имеющих некоторую общую закономерность. Например, xk (t) – это есть результат k-го эксперимента из некото-

рого, теоретически бесконечного множества результатов проводимого эксперимента.

Любаяединичнаяреализация xk (t) , взятаяизмножествареализаций процесса X (t) , называетсявыборочнойфункциейэтогослучайногопро-

цесса. В общем случае по выборочной функции нельзя судить о свойствах случайного процесса. Однако в отдельных частных случаях с помощью выборочной функции могут быть даны оценки некоторых характеристик случайного процесса.

Каждую реализацию xk (t) , k 1, 2, 3, ..., произошедшего события

можно считать детерминированной функцией, а случайный процесс X (t) образует статистический ансамбль таких реализаций.

35

Если в ансамбле {x1(t), x2 (t), x3 (t), ...} случайного процесса X (t) зафиксировать произвольный момент t , то получим совокупность {x1(t ), x2 (t ), x3 (t ), ...} , представляющую собой случайную величину X (t ), которая есть одномерное сечение случайного процесса X (t) .

В дальнейшем будем рассматривать только одномерные характеристики.

Функция распределения вероятностей

F (x, t ) P{X (t ) x}

определяет вероятность того, что при t t значение случайной величины X (t ) будетнеболеезначения x . Дляфункциираспределенияве-

роятностей справедливо lim F (x, t) 1.

x

Вероятность того, что случайная величина X (t ) по выборкам из ансамбля будет попадать в некоторый интервал [a,b] , можно определить по выражению

P{a X (t ) b} F (b, t ) F (a, t ) .

Плотность распределения вероятностей p(x, t ) dxd F(x, t )

представляет собой производную от функции распределения вероятностей и определяет вероятность того, что x(t) лежит в интервале

{x x(t) x dx} . Функция p(x, t ) характеризует распределение вероятностей реализации случайной величины X (t ) в момент t .

Вероятность нахождения случайной величины X (t ) в некотором интервале [a, b] можно определить по выражению

b

P{a X (t ) b} p(x, t ) dx ,

a

36

а на бесконечном интервале

p(x, t ) dx 1 .

Функция распределения вероятностей может быть определена через плотность в виде

F(x, t ) p(x, t ) dx .

По известной плотности распределения вероятностей могут быть вычислены моменты случайных сигналов.

Математическоеожидание(первыйначальныймомент) случайного процесса есть усреднение случайной величины X (t ) в момент t :

M x (t) x p(x, t ) dx ,

где M x (t) – неслучайная величина случайного процесса X (t) .

Средняя мощность случайного процесса (второй начальный мо-

мент) представляет собой математическое ожидание квадрата случайной величины

Wx (t) x2 p(x, t) dx M{X 2 (t)}.

Дисперсия (второй центральный момент) характеризует мощность отклонения случайной величины от ее среднего значения:

2x (t) [x0 (t)]2 p(x, t) dx , x0 (t) x(t) M x (t) .

Среднеквадратичноеотклонение– амплитуднаямеравыбросовзна-

чений случайного процесса относительно математического ожидания,

x (t) 2x (t) .

37

Корреляционная функция случайного процесса характеризует динамику изменения случайной величины X (ti ) :

Rx (ti , t j ) M{X (ti ) X (t j )}, или Rx (t, t ) M {X (t) X (t )} .

Теориясигналовбазируетсявосновномнаклассестационарных, эргодических случайных процессов.

Стационарным случайным процессом называется такой случайный процесс, характеристики которого не зависят от времени, т. е.:

p(x, t1) p(x, t2 ) ... p(x, t) const , M x (t1) M x (t2 ) ... M x const ,

2x (t1) 2x (t2 ) ... 2x const ,

Rx (t1, t1 ) Rx (t2 , t2 ) ... Rx ( ) .

Эргодическим называют случайный процесс, свойства которого, определяемыемножествомреализаций, совпадаютсосвойствами, определяемыми по одной, достаточно длинной, выборке из этих реализаций. Другими словами, в эргодическом процессе закон распределения один и тот же как по t, так и по x , и тогда

т. е. имеем то же самое, что и для детерминированных сигналов.

38