Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

M2 s; s(t) s(t kT ), t ( , ), k 0,1, 2, .. –

множество периодических сигналов.

Для анализа и обработки информации, содержащейся в сигнале, необходимо из глобального множества M выделить сигналы с определенными параметрами, чтобы, например, сравнивать их между собой или производить какие-либо другие операции. С этой целью в M выделяюттакназываемыеметрическиепространствасопределеннымисвойствамииединицамиизмерений. Например, прианализесигналовнаиболее удобно использовать пространство L2 . Это пространство кусочно-

непрерывных, интегрируемых со своим квадратом функций, т. е. таких, что

[s(t)]2 dt .

Метрическое пространство определяется своей метрикой (расстоянием (s1, s2 ) между двумя элементами этого пространства), обладающей следующими свойствами:

(s1, s2 ) 0, (s1, s2 ) 0, если s1 s2 ;(s1, s2 ) (s2 , s1);

(s1, s2 ) (s1, s2 ) (s2 , s3 ) .

Метрическое пространство M будем называть линейным L , если в нем определены некоторые операции, например сложение или умножение, в результате которых образуется новый элемент, принадлежащий этому жепространству. Линейноепространство L должно удовлетворять следующим требованиям.

1. Существование нулевого элемента такого, что s 0 s .

2. Для любых s L существует их сумма

s3 s1 s2 ,

11

которая тоже принадлежит L , причем операция суммирования: а) коммутативна – s1 s2 s2 s1 ,

б) ассоциативна – s1 (s2 s3 ) (s1 s2 ) s3 , в) однозначна – s1 ( s1) 0 .

3. Существование множества скалярных элементов a , для которых s2 a s1 L , причем операция умножения:

а) ассоциативна – a(b s) ab s;

б) дистрибутивна – a(s1 s2 ) a s1 a s2 , (a b) s a s b s; в) пропорциональна – 1s s, 0 s 0 .

В L всегда можно выделить некоторое множество элементов N , для которых выполняется условие

N

ai i 0, i 0

причем если все ai 0, i [0, N ] , то система функций i , i [0, N ] , будет линейно независимой. Если же хотя бы один ai 0, i [0, N ] , то система функций i , i [0, N ] , – линейно зависима.

Система линейно независимых элементов представляет собой базис пространства L . Посредством базиса в L можно единственной комбинацией выразить элемент s этого пространства в виде

s cr r .

r 0

Совокупность коэффициентов cr , r [0, ] , в теории сигналов

называют спектром элемента s в базисе { } .

Линейные пространства, как правило, имеют не единственный базис. Выбор базиса определяется простотой и удобством его использования.

Основнымиметрическимипараметрамилинейногопространстваявляются норма, метрика и скалярное произведение элементов этого пространства.

Определим указанные параметры в пространстве сигналов L2 .

12

Скалярное произведение в общем случае отражает степень связи (сходства) по форме и положению элементов в пространстве и обозначается как (s1(t), s2 (t)) , (s1k , s2k ) причем

1.5. РЯДЫ ФУРЬЕ

Система функций 0 (t), 1(t), 2 (t), ... , n (t) L2 на [a, b] называется ортогональной, если

a

система i (t), i [0, n], называется ортонормированной.

13

Произвольная кусочно-непрерывная функция s(t) L2 на [a, b] мо-

жет быть аппроксимирована обобщенным рядом Фурье по ортогональному (ортонормированному) базису r (t), r [0, ) :

s(t) Cr r (t).

r 0

Практическое использование рядов Фурье предполагает их конечность

l

s(t) Cr r (t),

r0

врезультате чего возникает ошибка аппроксимации из-за отбрасывания остаточного члена

Rl (t) Cr r (t) .

r l 1

Минимизация ошибки в среднеквадратичном смысле позволила дать аналитическое выражение коэффициентов Фурье, которое для ортонормированного базиса имеет вид

b

Cr s(t) r (t) dt .

a

Ортогональная система функций r (t), r [0, ), называется полной, если для нее выполняется равенство Парсеваля

которое служит условием среднеквадратичной сходимости ряда Фурье к аппроксимируемой функции. В равенстве Парсеваля

b

s(t)2 s2 (t) dt E

a

14

и если a 0 , а b T , то

среднюю на T мощность сигнала.

В задачах аппроксимации сигналов рядами Фурье можно выделить два направления.

1.Приближение сложного сигнала минимально возможным числом членов ряда при заданной погрешности аппроксимации.

2.Представление сложного сигнала в виде простейших функций. Использование в гармоническом анализе математических моделей

сигналов в виде рядов Фурье преследует вторую цель, а в качестве простейших функций выбираются ортонормированные системы тригонометрических функций sin t и cos t . Перечислим причины такого вы-

бора.

1. Гармонические колебания sin t и cos t являются простейшими функциями, определенными при всех t ( , ), и не поддаются дальнейшему разложению на составляющие.

2.Гармонические колебания – единственные функции времени, сохраняющие свою форму при прохождении через любую линейную стационарную систему. Изменяться могут только амплитуда и фаза.

3.Аппроксимация сложного сигнала гармоническим рядом Фурье используетхорошоразработанныйматематическийаппаратдляанализа передачи гармонических колебаний через линейные системы.

Следует отметить и факт представления сигналов их математической моделью в виде гармонического ряда Фурье с конечным числом слагаемых. Из теории приближения функций известно, что если на конечном интервале аппроксимируемая функция имеет точки разрыва первого рода (например, случай импульсного сигнала), то гармонический ряд Фурье в точке разрыва сходится к среднему арифметическому

15

значению функции слева и справа от точки разрыва. Причем в указаннойточкевозникаютколебания, затухающиепомереудаленияотточки разрыва влево и вправо. Это явлениев теории аппроксимации называют явлением Гиббса, оно увеличивает погрешность аппроксимации, и поэтому его пытаются устранить, что удается сделать лишь частично путем умножения коэффициентов Фурье на специальные сглаживающие множители (окна) Кайзера, Хэмминга, Бартлета, Парзена и др.

1.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Используя формулу Эйлера

щей информацию об амплитуде и начальной фазе этой гармоники.

16

то полученнаяпара выраженийпредставляет собойсоответственно прямое и обратное непрерывные преобразования Фурье, осуществляющие связь между временным и частотным представлением сигналов.

1.7. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Пусть s(t) – непериодическийсигнал(рис. 1.2). Образуемвиртуаль-

17

для конечных значений t, и тогда ряд Фурье

гармонических составляющих, сумма которых дает исходную непериодическую функцию s(t) , заданную на [ T / 2,T / 2] . С другой стороны,

при T 0 , а – это расстояние (шаг) между спектральными линиями Ar . В результате спектр вместо линейчатого (дискретного)

становится сплошным (непрерывным), а это позволяет считать

d , r ,

18

и, если об этом T ничего не оговаривается (в общем случае), то

S( j ) s(t) exp( j t) dt .

S( j ) будем называть спектральной плотностью или комплексной спектральной характеристикой сигнала s(t) . Тогда

s(t) 21 S( j )exp( j t) d .

Последние два соотношения образуют пару прямого и обратного преобразования Фурье. При этом можно установить связь между ком-

плексной амплитудой r -й гармоники ˆ и комплексной спектральной

Ar

характеристикой S( j ) , которая выражается как

а это значит, что для определения комплексной амплитуды любой гар-

моники ˆ периодического сигнала достаточно вычислить спектраль-

Ar

ную характеристику S( j ) на одном периоде, взять ее значение на частоте r искомой r -й гармоники и умножить на 2/Т.

19

1.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Полученные в предыдущем разделе выражения пары прямого и обратного преобразования Фурье в общем случае будем записывать в следующем виде:

Однако при решении практических задач приходится оперировать с конечнымиреализациямисигналов. Поэтомуеслипреобразуемыесигналы удовлетворяют условиям финитности, то, задавая уровни усечения s и S , определим эффективные длительности Ts – сигнала во

Непрерывное преобразование Фурье обладает определенными свойствами, сходными с преобразованиями Лапласа, причем эти свойства рассматривались ранее в курсах «Математического анализа»

20