Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

Другой формой математической модели непрерывного фильтра может служить интегральное уравнение свертки

представляющее собой дискретный аналог дифференциального уравнения (2.1), или соответствующая уравнению (2.3) передаточная функция

а wk w(k t) – ИХ фильтра, имеющая бесконечную длительность.

Передаточнаяфункцияэтихфильтровсодержитполюсаинули, ивыход фильтра определяется помимо входа еще и предыдущим выходом.

Математическоймодельюнерекурсивного фильтраслужитдискретная форма интегрального уравнения свертки (2.2):

k

yk wi x(k i) , i 0

причем ИХ нерекурсивного фильтра является финитной, т. е. имеет ко-

41

k 0

Эти фильтры физически нереализуемы, так как их передаточная функция имеет порядок n 0 , содержит нули, но не содержит полюсов и выход фильтра определяется только входом.

Частотные характеристики непрерывных фильтров являются непериодическими функциями частоты и определяются на интервале [0, ) . Частотные характеристики дискретных фильтров пред-

ставляют собой периодические с периодом 2 в , в / t , функции

частоты , в результате чего они полностью определяются на интервале [0, в] .

В зависимости от характера обработки входного сигнала фильтры обладают различными АЧХ. При этом могут быть выделены четыре основных типа фильтров (низкочастотный (НЧФ), полосовой (ПФ), режекторный (РФ) и высокочастотный (ВЧФ)), а также представляющий значительный практический интерес дифференцирующий фильтр (ДФ). Идеализированные АЧХ Aи( ) таких фильтров в интервале [0, в]

приведены на рис. 2.2–2.6 соответственно.

На каждой АЧХ можно выделить следующие полосы: 1) полоса пропускания

для НЧФ и ДФ [0, ф] ;

для ПФ [ ф, ф] ;

для РФ [0, ф] и [ ф, в] ;

для ВЧФ [ ф, в] ; 2) переходная полоса

для НЧФ и ДФ [ ф, δ] ; для ПФ [ δ, ф] и [ ф, δ] ; для РФ [ ф, δ] и [ δ, ф] ; для ВЧФ [ δ, ф] ;

42

Δωп

δ

Рис. 2.6. АЧХ ДФ

3) полоса задерживания

для НЧФ и ДФ [ δ, в] ;

43

для ПФ [0, δ] и [ δ, в] ;

для РФ [ , ] ; для ВЧФ [0, δ] .

Граничные частоты ф и ф характеризуют тип фильтра и кон-

фильтравполосахпропусканияизадерживания, атемсамымсовместно с шириной п переходных полос определяют качество АЧХ фильтра.

С уменьшением , и п качество фильтра улучшается.

При проектировании фильтра удобно характеризовать ширину п переходных полос АЧХ через относительный параметр в виде

где 1 – относительная частота, характеризующая переходную полосу (в случае идеального фильтра 1 ).

В заключение отметим два характерных режима фильтрации:

1) режим реального времени, при котором для вычисления выходного сигнала фильтра в текущий k -й момент могут быть использованы значения входного сигнала только в k -й и предыдущие моменты;

2) режим обработки, при котором весь массив дискретных значений входного сигнала хранится в памяти ЦВМ, и для вычисления выходногосигналафильтравлюбоймоментмогутбытьиспользованызначения входного сигнала как в предыдущие, так и в последующие моменты.

44

2.2.2. ПОГРЕШНОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ

Выходной сигнал реального фильтра в процессе его функционирования всегда отличен от идеального. Это происходит за счет наличия погрешностей фильтрации.

Составляющие погрешности

1. Динамическая, или переходная, составляющая обусловлена динамикой фильтра и может принимать достаточно большие значения по уровню на интервале времени t [0, Tw ] , Tw – длительность ИХ (в слу-

погрешность отсутствует полностью у нерекурсивных фильтров и принимает малые значения у рекурсивных. Уровень этой погрешности соответствует уровню усечения w ИХ w(t) , определяющему эффектив-

ную длительность ИХ. Обычно w = 0,01…0,05 от max w(t) .

t [0, )

2. Шумовая составляющая погрешности возникает из-за составляющих спектра помехи вне полосы пропускания фильтра и зависит от неравномерности и ширины переходной полосы Δωп АЧХ фильтра.

3. Смешанная составляющая обусловлена составляющими спектра полезного сигнала вне полосы пропускания АЧХ и составляющими АЧХ шума | x( j ) | в полосе пропускания фильтра. Уровень этой со-

ставляющей погрешности зависит от частоты ф .

4.Амплитудная составляющая возникает из-за неидеальности АЧХ

вполосе пропускания и определяется неравномерностью .

5.Фазовая составляющая обусловлена неидеальностью ФЧХ в полосе пропускания АЧХ. ФЧХ нерекурсивных фильтров строго линейна:

( ) ф , поэтому если в выходной сигнал ввести запаздывание величиной ф , то фазовая составляющая погрешности может быть све-

дена к нулю. ФЧХ рекурсивных фильтров нелинейная, и потому в пределах полосы пропускания АЧХ она линеаризуется, и так же, как и в нерекурсивных фильтрах, вводится запаздывание, однако свести к нулю фазовую составляющую погрешности здесь не удается.

45

6. Дискретнаясоставляющаявозникаетиз-задискретногопредстав- ления обрабатываемых реализаций сигнала. Проявляется это в отражении и наложении спектров относительно частоты в t при невер-

ном выборе шага t .

7. Вычислительная составляющая погрешности возникает из-за округления числовых значений в реализации сигнала в процессе обработки.

2.2.3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ФИЛЬТРОВ

Как правило, при проектировании фильтра предъявляются требования к его АЧХ, а необходимая ФЧХ обеспечивается выбором класса фильтра.

Исходными данными, определяющими вид АЧХ фильтра и ее качество, являются следующие:

1)относительная неравномерность АЧХ в полосе пропускания;

2)относительная неравномерность δ АЧХ в полосе задерживания;

3)относительная частота , определяющая ширину Δωп переход-

ных полос АЧХ; 4) верхняя граничная частота ф полосы пропускания АЧХ в слу-

чае НЧФ, ПФ, РФ и ДФ; 5) нижняя граничная частота ωф полосы пропускания АЧХ в случае

ПФ, РФ и ВЧФ;

6)коэффициент усиления kф в полосе пропускания АЧХ;

7)шаг дискретизации по времени t .

2.3.НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ

Нерекурсивные фильтры имеют конечную длительность ИХ и строго линейную ФЧХ. При проектировании таких фильтров отсутствует проблема обеспечения устойчивости.

Проектирование нерекурсивного фильтра сводится к синтезу N отсчетовегоИХ wk , k [0, N 1] , котораяобеспечиваеттребованиякАЧХ

46

фильтра. По свойствам ИХ можно выделить четыре вида нерекурсивных фильтров.

Рис. 2.7

Передаточная функция таких фильтров имеет вид

Фильтрывида1 могутиспользоватьсяприсинтезеНЧФ, ВЧФ, РФ, ПФ.

Фильтры вида 2

ИХ фильтра вида 2 содержит нечетное число отсчетов N 2L 1 , L (N 1) / 2 и является антисимметричной относительно отсчета L ,

47

Рис. 2.8

АЧХ и ФЧХ:

48

Передаточная функция таких фильтров имеет вид

АЧХ и ФЧХ:

Фильтры вида 4 используются только при синтезе ДФ. Проектирование фильтров может быть осуществлено тремя спосо-

бами:

1)на основе аппроксимации АЧХ фильтра гармоническим рядом Фурье;

2)на основе частотной выборки;

3)на основе оптимальной аппроксимации АЧХ фильтра.

2.3.2. ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ

Этот метод применим для проектирования фильтров вида 1 и 2. Целью проектирования фильтра является получение его математической модели на основе требований к АЧХ. В данном случае необходимо синтезировать такую W (z) , которая полностью определялась

бы N отсчетами ИХ.

Передаточные функции W (z) фильтров вида 1 и 2 имеют вид

(2.6), (2.9).

Переходя к АЧХ, полагаем z e j t . После несложных преобразований получаем АЧХ фильтра вида 1

L

A(ω) W (ω) | | a0 ak cos(k tω) (2.18)

k 1

50