Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

2.4. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Проектирование рекурсивного фильтра сводится к синтезу его передаточной функции W (z) , при которой АЧХ фильтра удовлетворяет за-

данным требованиям. Проектирование рекурсивного фильтра удобно выполнять через передаточную функцию W (s) соответствующего не-

прерывного фильтра, а синтез W (s) – через передаточную функцию W0 (s0 ) ( s0 j – нормированная частота) непрерывного низкочастотного фильтра-прототипа (НЧФ-П). Идеализированная и идеальная W0ид( j ) АЧХ непрерывного НЧФ-П показаны на рис. 2.15.

Рис. 2.15

Такимобразом, непрерывныйНЧФ-П, ккоторому предъявляютсяте же требования, что и к синтезируемому фильтру, один, а непрерывные фильтры могут быть различные.

На этапе перехода от передаточной функции W (s) непрерывного фильтра к передаточной функции W (z) требуемого рекурсивного

фильтра возникает ряд особенностей, связанных с тем, каким способом этот переход выполнен. Это можно осуществить, используя стандартное Z-преобразование или билинейное Z-преобразование.

71

Следовательно, левая полуплоскость и мнимая ось комплексной плоскости s преобразуются в круг и окружность единичного радиуса комплексной плоскости z (рис. 2.16), а из-за периодичности тригонометрических функций в (2.76) стандартное преобразование допускает неоднозначность перехода к плоскости z и порождает периодичность (с периодом 2 в, в t ) частотных характеристик рекурсивного

фильтра. В результате переход нужно выполнять при i 0 , чтобы не выйти за границу нужного диапазона частот:

Рис. 2.16

Если выйти за границы этого диапазона, будут происходить искажения частотных характеристик за счет отражения и наложения боковых полос ( i 1, 2, ... ). Обеспечить основной диапазон частот ( i 0 )

можно за счет соответствующего выбора шага дискретизации t .

72

Таким образом, те особенности, которые возникают при использовании стандартного Z-преобразования, позволяют выполнить переход для любого типа фильтра в следующем виде:

1)синтез передаточной функции W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П по заданным параметрам: , , ;

2)представление передаточной функции W0 (s0 ) в виде суммы про-

стых дробей;

3) переход по стандартному Z-преобразованию от простых дробей передаточной функции W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П к дискретным

с последующим восстановлением W 0 (z0 ) – дискретной передаточной функции НЧФ-П;

4) переходот W 0 (z0 ) к W (z) сучетомтребуемых ф , ф, kф , t .

Для фильтров с затухающими АЧХ: ПФ, НЧФ можно использовать другой способ, который предусматривает выполнение следующих операций:

1)синтез передаточной функции W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П по задаваемым параметрам: , , ;

2)представление передаточной функции W0 (s0 ) в виде суммы про-

стых дробей;

3)переход от передаточной функции W0 (s0 ) согласно заданнымф , ф, kф к непрерывному требуемому фильтру W (s) ;

4)переход от W (s) к передаточной функции W (z) с использованием стандартного Z-преобразования.

73

2.4.3. БИЛИНЕЙНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Таким образом при билинейном Z-преобразовании (рис. 2.17) происходит трансформация комплексной полуплоскости s в круг единичного радиуса плоскости z . Однако в этом случае переход однозначный

и частотные характеристики не являются периодическими функциями частоты, следовательно, к W (z ) рекурсивного фильтра можно перейти

отлюбого непрерывного фильтра, асампереходотнепрерывного фильтра (передаточная функция W (s) ) к дискретному фильтру (передаточ-

ная функция W (z ) ) осуществить при замене s следующим образом:

74

Переходя в частотную область

и подставляя (2.81) в (2.80), после элементарных преобразований получаем соотношение

устанавливающее связь между частотами непрерывного ( ) и рекурсивного ( ) фильтра. Из выражения (2.82) следует, что полуось[0, ) трансформируется в конечный отрезок [0, в / t] .

В соответствии с (2.82) связь между и нелинейная, поэтому

после перехода характерные частоты АЧХ рекурсивного отличаются от задаваемых частот АЧХ непрерывного фильтра. Например, если АЧХ

непрерывного полосового фильтра характеризуется частотами ф и ф , то после преобразования получим АЧХ рекурсивного фильтра счастотами ф и ф, отличающимисяот задаваемых ф, ф . Это не-

достаток билинейного Z-преобразования, который может быть устранен, еслинаэтапепроектированиянепрерывногофильтравместочастот

ф , ф использовать их скорректированные согласно (2.82) значения

При этом характерные частоты АЧХ рекурсивного фильтра будут совпадать с задаваемыми частотами АЧХ непрерывного фильтра, причем переходные полосы АЧХ рекурсивного фильтра в соответствии с (2.82) оказываются более узкими по сравнению с АЧХ непрерывного фильтра, т. е. качество рекурсивного фильтра улучшается.

В синтезированной таким способом передаточной функции W (z ) рекурсивного фильтра необходимо заменить z на аргу-

мент z, в результате чего получим передаточную функцию W (z)

требуемого рекурсивного фильтра, а его частотные характеристики станут периодическими функциями частоты с периодом 2 в .

75

Таким образом, проектирование рекурсивного фильтра с помощью билинейного Z-преобразования предполагает выполнение следующих операций:

1)синтез передаточной функции W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П по задаваемым параметрам , , ;

2)переход от передаточной функции W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П

кпередаточной функции W (s) требуемого непрерывного фильтра на

основании исходных данных ф , ф, kф , t ;

3)переход от передаточной функции W (s) непрерывного фильтра

кпередаточной функции W (z) требуемого рекурсивного фильтра со-

гласно (2.82).

Если сравнивать билинейное и стандартное Z-преобразование, то предпочтение следует отдать билинейному Z-преобразованию, и в дальнейшем именно это преобразование будет использоваться при проектировании рекурсивного фильтра.

2.4.4.СИНТЕЗ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО Í×Ô-Ï

Воснове синтеза передаточной функции W0 (s0 ) лежит аппрокси-

Функция F( ) задает вид аппроксимации и соответственно вид фильтра, и тем самым его порядок n0 передаточной функции W0 (s0 )

и обеспечение таких исходных данных, как неравномерности и АЧХ в полосах пропускания и задерживания, ширину ( 1) переход-

ной полосы АЧХ. Поскольку порядок n0 определяет сложность реали-

зации фильтра, желательно использовать такую аппроксимирующую функцию F( ) , которая обеспечила бы его минимум при одних и тех

же , и .

76

Минимальный порядок аппроксимации при одной и той же погрешности обеспечивают равноволновые функции, представителями которых являются, например, полиномы Чебышёва, ортогональные на интервале [ 1,1] . В этом смысле представляется целесообразным, с точки

зрения минимума параметра n0 , рассматривать фильтры Чебышёва на

основе чебышёвской аппроксимации и фильтры Кауэра, использующие эллиптическую аппроксимацию. Вызывают определенный интерес фильтры Баттерворта, которые обеспечивают минимальную неравномерность в полосе пропускания, и фильтры Бесселя, в наибольшей мере выполняющие требование линейности ФЧХ в полосе пропускания АЧХ.

Аппроксимирующие функции для указанных фильтров имеют вид: 1) фильтры Чебышёва

нус, а условие равноволновости функций (2.86) записывается в форме

77

Для фильтров Баттерворта и Чебышёва порядок n0 передаточной функции W0 (s0 ) определяется из условия обеспечения требуемой неравномерности АЧХ W0 ( j ) в полосе задерживания [ , ) , которое согласно (2.85) имеет вид

W0 ( j ) 2 1 / [1 F 2 ( )] 2.

4.Фильтры Бесселя обеспечивают максимальную близость ФЧХ

клинейной из всех возможных аппроксимаций, поэтому эти фильтры целесообразно использовать, когда интерес представляет ФЧХ, поскольку по АЧХ они существенно хуже, чем остальные приведенные виды аппроксимации.

Алгоритм синтеза непрерывного НЧФ-П следующий.

1.Определяется порядок n0 передаточной функции W0 (s0 ) в виде

78

2. Определяютсяполюсаи нули W0 (s0 ) , длячеговычисляетсяколичество пар комплексно-сопряженных полюсов:

79

причем

Таким образом, передаточная функция W0 (s0 ) непрерывного НЧФ-П

полностью определяется в соответствии c выражениями (2.90)–(2.97) и в общем случае может быть представлена в виде произведения элементарных сомножителей:

80