Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

и АЧХ фильтра вида 2

где a0 wL , ak 2 w(L k) , k [1, L].

Анализ (2.18) и (2.19) показывает, что АЧХ может трактоваться как гармонический ряд Фурье по четным гармоникам для фильтров вида 1 и по нечетным для фильтров вида 2. Поэтому коэффициенты ak могут

быть вычислены как коэффициенты ряда Фурье. Для этого необходимо найти отсчеты ИХ.

В качестве иллюстрации на рис. 2.11 приведены параметры идеальной(сплошнаялиния) ирасчетной(пунктирнаялиния) АЧХполосового фильтра.

Рис. 2.11

Дляфильтроввида1 коэффициентынаходятсяследующимобразом:

51

Для фильтров вида 2 коэффициенты находятся как

Однако функция Aид(ω) на интервале аппроксимации имеет точки

разрыва первого рода, в результате чего возникают следующие особенности:

1) гармонический ряд Фурье дает одинаковые по абсолютной величине погрешности аппроксимации слева и справа от точек разрыва, следовательно,

т. е. неравномерность в полосе пропускания АЧХ фильтра и неравномерность в полосе задерживания совпадают;

2) в точках разрыва гармонический ряд Фурье сходится к среднему арифметическому значению аппроксимируемой функции справа

и слева от точки разрыва (для НЧФ, ПФ, РФ и ВЧФ к значению kф / 2 , для ДФ к значению ф / 2 , так как угол между АЧХ ДФ и осью абс-

цисс составляет / 2 ). Поэтому для обеспечения задаваемой неравномерности δ АЧХ фильтра в полосах пропускания и задерживания необходимо аппроксимировать не идеальную, а некоторую расчетную АЧХ (рис. 2.11). Эта АЧХ отличается от идеальной значениями характерных частот:

3) в точках разрыва полные суммы гармонического ряда Фурье характеризуются колебаниями, которые называются явлением Гиббса. Было установлено, что при L их максимальные амплитудные значения достигают приблизительно 8,949 % от значения аппроксимируемой функции в точке разрыва. Явление Гиббса – эффект нежелательный, и потому при проектировании стремятся от него избавиться или по возможности снизить амплитуду колебаний. Обеспечивается это

52

посредством использования модифицированного гармонического ряда Фурье, где указанная модификация представляет собой умножение коэффициентов Фурье ak на специальные сглаживающие множители σk

(окна). В результате выражение АЧХ, полученной с помощью модифицированного ряда Фурье, выглядит следующим образом:

для фильтров вида 1

Известно достаточно большое количество сглаживающих множителей, например, окна Хэннинга, Хэмминга, Парзена, Ланцоша и другие, но наиболее приемлемыми сглаживающими свойствами, как показывают исследования, обладают окна Кайзера, которые и будем использовать в дальнейшем.

В результате поэтапное проектирование нерекурсивного фильтра вида 1 или 2 на базе аппроксимации АЧХ гармоническим рядом Фурье с применением сглаживающих множителей Кайзера выглядит следующим образом.

1. По задаваемым параметрам ф, ф, определяется ширина пе-

реходной полосы Δωп АЧХ фильтра.

2. По требуемой неравномерности δ вычисляется параметр R сглаживающего множителя Кайзера:

53

3. Определяется число L учитываемых членов ряда Фурье:

4. Определяются реализации сглаживающих множителей Кайзера:

где I0 p – модифицированнаяфункцияБесселяпервогороданулевого порядка, определяемая в виде

5. Вычисляются коэффициенты Фурье ak , k [0, L], или отсчеты ИХ wk , k [0, L] . Если ввести обозначения

то:

1) для НЧФ (вид 1)

wL 2kф р ,

в

wk Pk sin (L kр) , k [0, L 1];

54

2) для ПФ (вид 1)

wL kф ( рв р) ,

wk Pk sin (L k) sin (L k) , k [0, L 1];

3) для РФ (вид 1)

wL kф 1 ( р р) ,в

wk Pk sin (L k) * sin (L k) , k [0, L 1];

4) для ВЧФ (вид 1)

wL kф 1 в р , wk Pk sin (L k) , k [0, L 1];

5) для ДФ (вид 2)

wL 0 ,

wk Pgk sin (L k) (L k) cos (L k) , k [0, L 1] .

Отсчеты ИХ wk , k [L 1, N 1 2], находятся в силу симметрии, и

на этом процедура проектирования заканчивается.

Недостатками данного метода проектирования нерекурсивного фильтра являются:

1) наличие явления Гиббса и, как следствие, невозможность обеспе-

чения условия 10 3 ; 2) необходимоекачествоАЧХфильтрадостигаетсятолькоприболь-

ших (по сравнению с другими способами проектирования) длительностях ИХ.

55

2.3.3. ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

Предположим, что в области частот [0, 2 в] известны желаемые

идеализированные АЧХ и ФЧХ, например, показанные на рис. 2.12, 2.13, где ф, ф соответствуютидеальнойАЧХ, , – идеализированной.

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Сутьметодачастотнойвыборкизаключаетсявтом, что, задаваясьчислом N отсчетов ИХ и выбирая шаг по частоте 2Nв на интервале

[0, 2 в] , в частотной области можно выделить N отсчетов АЧХ и ФЧХ:

56

и соответственно N отсчетов АФХ:

Далее выполняется обратное преобразование Фурье и находятся N отсчетов ИХ:

Однако в промежутках между значениями Aиi , i [0, N 1], получаются значительные отклонения от реальной АЧХ A( ) . Эти отклоне-

ния (пульсации) особенно велики в окрестностях точек излома АЧХ:, ф , Ωф , . Чтобы уменьшить пульсации, часть отсчетов Aиi

в полосах [ , Ф ] , [ Ф, ] АЧХ фильтра A0r , r [1, N0 ] считаются неизвестными и определяются из условия минимума ошибки

между идеализированной и реальной АЧХ, а минимизируемый функционал имеет вид

и вещественности ИХ.

57

АЧХ с базовыми (выбранными) частотами представляется как

Si ( ) , соответствующиенеизвестнымвыборкам, которыерасположены

внеизвестных точках АЧХ.

Для определения неизвестных отсчетов A0r выполняется минимизация функционала ошибки E( ) (2.34). В результате, если через m

обозначить максимальное значение ошибки, а затем выбрать шаг по частоте 0 , такой что в диапазоне частот [0, в] с шагом 0

чем среди этих частот есть частоты, совпадающие или очень близкие

58

к граничным (0, , ωф , Ωф , , ωв ), то минимизируемый функционал можно представить в виде системы неравенств

r [1, N0 ] , m , удовлетворяющих неравенствам (2.42) и максимизирующих величину m , что является двойственной задачей линейного про-

граммирования, которая решается итерационным путем.

Такимобразом, синтезфильтровосуществляетсяитерационно, ане по формульным выражениям, более того, для обеспечения требуемого значения возможно многократное изменение выбираемой величины N, что является существенным недостатком метода.

Еще один недостаток – сложность проектирования фильтра. Достоинствомметодасинтезанаосновечастотной выборкипосрав-

нению с методом на основе гармонического ряда Фурье является возможность получения меньших значений при меньшей длительности ИХ. Например, для НЧФ

59

2.3.4.ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Вэтомслучае, какиприсинтезефильтранаосновечастотнойвыборки, анализируется идеализированная АЧХ фильтра Aи( ) , [0, в] , кото-

рая может быть построена по следующим исходным данным: v , ωф, Ωф , kф , t . Во временной области выбирается длительность ИХ N

и ставится задача оптимальной аппроксимации Aи( ) некоторой функцией

sin( t / 2) для фильтров вида 4.

60