Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие
.pdfСогласно теореме Чебышёва, для того чтобы P( ) представляла собой наилучшее приближение, необходимо и достаточно, чтобы ошибка
E( ) на интервале |
[0, в] имела |
(M 1) экстремумов в точках: |
||||||
ωэ1< ωэ2 < ... < ωэ(M 1) и выполнялись соотношения: |
||||||||
|
E( |
) E( |
|
), |
|
|||
|
|
эi |
|
|
э(i 1) |
|
(2.50) |
|
|
| E( |
|
) | |
max | E( ) | . |
||||
|
|
эi |
|
[0, |
в] |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Условие (2.50) носит название чебышёвского альтернанса. |
||||||||
Минимизируя E( ) |
по коэффициентам ak , |
k [0, M 1], ,можно |
||||||
отыскать параметры ak , а значит, решить задачу аппроксимации. Минимизация функционала E( ) может быть выполнена с помо-
щью итерационной процедуры Ремеза.
Перед итерационной процедурой необходимо: 1) выбрать N :
N INT |
1 |
2 D |
|
t пd |
, |
(2.51) |
|
|
|||||||
|
|
п t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Df1( , )
4,761 10 1 7,114 10 2 lg 5,309 10 3 (lg )2 lg
|
4,278 10 1 5,941 10 1 lg 2,660 10 3 (lg )2 |
|
, |
(2.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d f2 ( , ) 11,012 0,512 lg( / ) |
|
|
(2.53) |
|
(для фильтров вида 2 рекомендуется выбирать четное N); |
|
|
|
||
2) выбрать количество экстремальных частот Nэ Nэmin : |
|
||||
|
(N 3) / 2 |
дляфильтров вида1, |
|
|
|
|
|
дляфильтров вида 2, |
|
|
(2.54) |
|
Nэ min (N 1) / 2 |
|
|
||
|
|
дляфильтров видов3, 4, |
|
|
|
|
(N 2) / 2 |
|
|
|
|
61
(N 5) / 2 |
для НЧФ, ВЧФ вида1, |
|
|
|
/ 2 |
для ПФ, РФ вида1, |
(2.55) |
Nэ max (N 9) |
|||
|
/ 2 |
для ДФ вида 2; |
|
(N 3) |
|
||
3) задать такой шаг дискретизации по частоте , чтобы в полосах пропускания и задерживания АЧХ в диапазоне [0, в] выполнялось
условие
N Nэ , |
(2.56) |
причем желательно, чтобы в число этих частот j , j [1 , N ], попали
специфичные частоты 0, , |
|
, |
ф |
, |
|
, |
или частоты, близкие |
||
|
|
ф |
|
|
в |
|
|
||
к ним; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
определить частоты j , |
j [1, N ] ; |
|
|
|
|
|||
5) |
вычислить дискретные |
отсчеты |
G( j ), |
Q( j ), |
cos(k t j ), |
||||
Aи( j ) , j [1, N ] , k [0, M 1] .
Далее начинается непосредственно процедура Ремеза, на каждом r-м шаге которой выполняются следующие операции.
1. Из совокупности частот j , |
j [1, N ], выбираются экстремаль- |
ных частоты эri , i [1, Nэ] .
При r 1 рекомендуется выбирать равноотстоящие частоты с ша-
гом э kэ .
При r 1 в качестве экстремальных частот выбираются такие частоты j , j [1, N ] , в которых функция ошибки E(r 1) ( ) имела бы
максимальноепомодулюзначениеиудовлетворялаусловиямчебышёвского альтернанса:
E(r 1) ( эi ) E(r 1) ( э(i 1) ) 0, i [1, Nэ 1] . |
(2.57) |
2. Вычисляются оценки ark коэффициентов ak , k [0, M 1] |
и ri |
E( эri ) неравномерности . Эти параметры вычисляются из системы линейныхалгебраическихуравнений, формируемыхизфункционала E( ) приподстановке внего совокупностичастот эri , i [1, Nэ] .
62
3. Через ark |
определяются значения функции Pr ( ) |
в виде |
|
|
M 1 |
|
|
|
Pr ( ) ark cos(k t j ) , |
j [1, N ] . |
(2.58) |
k0
4.Определяются значения функционала ошибки Er ( j ) .
5.Делается заключение. Если для любого j [1, N ] выполняется условие
| Er ( j ) | r , |
(2.59) |
то итерационный процесс прекращается и коэффициенты принимаются в виде
ak ark , k [0, M 1] . |
(2.60) |
Если соотношение (2.59) не выполняется для некоторых частот, то переходят на (r + 1)-ю итерацию.
Описанныйалгоритмявляетсявсегдасходящимся, величина r возрастает от итерации к итерации и стремится к m , если m . В про-
тивном случае необходимо задать большее значение N и заново спроектировать фильтр.
При сравнении методов проектирования нерекурсивных фильтров следует отдать предпочтение данному методу, так как оптимальные фильтры обеспечивают меньшую неравномерность в полосах задерживания и минимальное количество отсчетов N при всех других фик-
сированных параметрах , , , t .
2.3.5. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
Вычислить дискретные значения yk выходного сигнала нерекурсивного фильтра по дискретным значениям входного сигнала xk и импульсной характеристики wk можно на основе:
1)дискретной формы интегрального уравнения свертки;
2)дискретного преобразования Фурье.
63
Вычисление выходного сигнала фильтра посредством дискретной формы интегрального уравнения свертки базируется на соотношении
Y (z) W (z) X (z) .
При этом в зависимости от вида фильтра непосредственно имеем: 1) для фильтра вида 1 с учетом выражения (2.6)
|
|
L 1 |
|
|
|
; |
(2.61) |
yk wL x(k L) |
wi xk i |
x |
|
||||
|
|
i 0 |
|
[k |
(2L i)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) для фильтра вида 2 с учетом выражения (2.9) |
|
||||||
|
L 1 |
|
|
|
|
|
|
yk |
wi xk i x |
|
|
; |
(2.62) |
||
|
i 0 |
|
k |
(2 L |
|
i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) для фильтра вида 3 с учетом выражения (2.12) |
|
||||||
yk |
L0 1 |
|
|
|
|
|
|
wi xk i x k (2L 1 i) ; |
(2.63) |
||||||
|
i 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) для фильтра вида 4 с учетом выражения (2.15)
L0 1
yk wi xk i x k (2L0 1 i) , (2.64) i 0
причем во всех выражениях (2.61)–(2.64) следует полагать xr 0 при r 0 .
Вычисление выходного сигнала фильтра посредством дискретного преобразования Фурье выполняется на базе алгоритмов быстрого преобразованияФурье, адляувеличенияскоростиобработкииспользуются алгоритмы, работающие с массивами длительностью
NF 2mF , mF – целое положительное число.
Вданном случае, как правило, вместо вычисления одного отсчета выходного сигнала одновременно вычисляется совокупность (секции) отсчетов выходного сигнала. При этом выполняется секционирование
64
входного сигнала, т. е. входной сигнал xk представляется в виде последовательности отдельных секций xrk , k [0, NF 1], r 0,1, 2, ... Раз-
личают секционирование сигнала посредством метода перекрытия с накоплением
xrk x(rNX k) , |
k [0, NF 1] , |
(2.65) |
||||||||
и метода перекрытия с суммированием |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
k) |
, |
k [0, N |
X |
1], |
|
|||
(rN |
X |
|
|
|
|
|
|
(2.66) |
||
xrk |
|
|
k [N |
|
, N |
|
1]. |
|||
0, |
|
|
|
X |
F |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для метода перекрытия с накоплением |
|
|
|
|
|
|
||||
|
N N X |
NF , |
|
|
|
|
|
(2.67) |
||
а для метода перекрытия с суммированием |
|
|
|
|
|
|
||||
|
N N X |
NF . |
|
|
|
|
(2.68) |
|||
Из соотношений (2.67) и (2.68) при выбранной величине NF |
можно |
|||||||||
найти величину N X . При больших длительностях входного сигнала xk следуетпринимать N X N. Выполнениеуказанныхрекомендацийпоз-
воляет обеспечить минимальноеколичество требуемых операций умножения для вычисления необходимого количества отсчетов выходного сигнала.
В общем случае при вычислении выходного сигнала на основе дискретного преобразования Фурье предварительно производится:
1)выбор величин N X и NF ;
2)преобразование N-мерного массива отсчетов импульсной характеристики фильтра wk , k [0, N 1], в NF -мерный массив:
w |
, |
k [0, N 1], |
|||
|
k |
|
|
|
|
wk |
|
|
k [N, N |
|
1]; |
0, |
|
F |
|||
|
|
|
|
|
|
65
3) прямое преобразование Фурье массива wk , k [0, NF 1] :
|
NF 1 |
jik 2 / NF |
|
|
|
wk e |
, i [0, NF 1] . |
(2.69) |
|||
Wi t |
|
k 0
Вычисление отсчетов выходного сигнала фильтра осуществляется по секциям и при работе с r-й секцией ( r 0,1, 2, ... ) производятся сле-
дующие операции. |
|
|
|
1. Формируется r-я секция входного сигнала xrk , |
k [0, NF 1], |
||
согласно выражению (2.65) или (2.66). |
|
|
|
2. Вычисляется прямое преобразование Фурье r-й секции входного |
|||
сигнала xrk , k [0, NF |
1], в виде |
|
|
Xri t |
NF 1 |
, i [0, NF 1] , |
|
xrk e jik 2 / NF |
(2.70) |
||
k 0
посредством алгоритма быстрого преобразования Фурье.
3. Определяется комплексный спектр r-й секции выходного сигнала на основе соотношения
|
(2.71) |
Yri Wi Xri , i [0, NF 1] . |
4. Выполняется обратное преобразование комплексного спектра r-й секции выходного сигнала в форме
|
1 |
NF 1 |
|
|
|
||
yrk |
|
Yrie jik 2 |
/ NF |
, k [0, NF 1] , |
(2.72) |
||
NF t |
|||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
||
при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье.
5. Находится N X -мерный массив отсчетов выгодного сигнала. При использовании метода перекрытия с накоплением получаем
y(rN X k ) yrk , k [0, N X 1].
При использовании метода перекрытия с суммированием, вводя в рассмотрение расширенные секции:
|
y |
0k |
при k [0, N |
F |
1], |
||
|
|
|
|
|
|||
y0k |
|
при k N |
|
; |
|
|
|
|
0 |
|
F |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
66
|
0 |
при k [0, rNX 1], |
|||||
|
|
при k [rNX , rNX |
NF 1], |
||||
yrk yr(k rNX ) |
|||||||
|
|
при k rN |
|
N |
|
, |
r 1, 2, ..., |
|
0 |
X |
F |
||||
получаем |
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k [0, N X 1]. |
||||
|
y(rN X k ) yi(rN X k ) , |
||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
Основным показателем, определяющим выбор способа реализации нерекурсивногофильтра, являетсяскоростьвычислениявыходногосигнала фильтра. Этот показатель приближенно можно охарактеризовать количеством необходимых операций умножения.
При использовании дискретной формы интегрального уравнения свертки для вычисления N X значений выходного сигнала в соответ-
ствии с выражениями (2.61)–(2.64) требуется выполнить nсв NN X / 2
операций умножения вещественных чисел.
Реализация прямого или обратного преобразования Фурье по указанным алгоритмам быстрого преобразования Фурье требует выполнения nБПФ 2NF log2 NF операций умножения вещественных чисел.
Если считать, что массив Wi , i [0, NF 1] , в соответствии с выраже-
нием (2.69) вычисляется однократно на этапе проектирования фильтра, то при реализации фильтра необходимо выполнить прямое (выражение (2.70)) и обратное (выражение (2.72)) преобразования Фурье, а также согласно выражению (2.71) перемножение двух NF -мерных комплекс-
ных массивов. Отсюда в данном случае для вычисления N X значений выходного сигнала фильтра требуется выполнить
nФ 2nБПФ 4NF 4NF (log2 NF 1)
операций умножения вещественных чисел.
Очевидно, что применение дискретного преобразования Фурье при реализации фильтра имеет смысл только в случае, когда
nФ nСВ .
67
Выполнение этого условия оказывается возможным при довольно большом значении N X . Дополнительно необходимо также иметь в виду,
что при реализации фильтра на основе дискретного преобразования Фурьетребуетсясущественнобо´льшийобъемоперативнойпамятиЦВМ.
2.3.6. ФИЛЬТРАЦИЯ КОРОТКИХ РЕАЛИЗАЦИЙ СИГНАЛОВ
При фильтрации предварительно измеренных коротких реализаций сигнала x(t) , t 0, TX (NX 1) t , заданной NX отсчетами xk ,
k [0, N X 1] , возникаютошибкииз-заналичияфазовыхипереходных составляющих в выходном сигнале фильтра y(t) . Фазовые искажения
у нерекурсивных фильтров могут бытьустранены. Поскольку эти фильтры физически нереализуемые, передаточные функции таких фильтров можно получить путем домножения передаточных функций физически
реализуемых фильтров на величину z L в случае фильтров вида 1 и 2
или на величину z(L0 1/2) в случае фильтров вида 3 и 4. Ограничиваясь фильтрами вида 1 и 2, имеем:
1) для НЧФ, ПФ, РФ и ВЧФ
L 1 |
z(L i) z (L i) , |
|
|
W (z) wL wi |
(2.73) |
||
i 0 |
|
|
|
2) для ДФ |
|
|
|
L 1 |
[z(L i) z (L i) ] . |
|
|
W (z) wi |
(2.74) |
||
i 0
При вычислении отсчета yk выходного сигнала фильтра с передаточной функцией (2.73) или (2.74) требуется использовать отсчеты xk входного сигнала в последующие моменты до момента (k L) включи-
тельно. Такоеположениеприводиткнеобходимостидополнениясправа измеренного входного сигнала x(t) интервалом длительностью L t .
Длительность переходного процесса фильтра без фазовых искажений составляет L t и может превышать длительность Tх измеренной
68
реализации сигнала x(t) . Поэтому для исключения переходных составляющих в выходном сигнале y(t) требуется дополнить слева измеренный входной сигнал x(t) интервалом длительностью L t . Отсюда сле-
дует, что в рассматриваемом случае фильтрации должен подвергаться не исходный сигнал x(t) , t [0, Tх] , а некоторый промежуточный сиг-
нал u(t) , t [0, Tх 2L t] , получаемый продолжением исходного сиг-
нала влево и вправо на интервалы длительностью L t . Формирование промежуточного сигнала uk u(k t) , k [0, NU
Nх 2L 1] , может быть выполнено посредством последовательного инверсного отображения входного сигнала x(t) . Это отображение позволяет избежать разрывов и изломов в сигнале u(t) в наиболее неблагоприятных случаях, когда исходный сигнал x(t) и его производная
x(1) (t) в точках t 0 и t Tх имеют ненулевые значения. Такой способ формирования промежуточного сигнала u(t) реализуется по следующим формулам:
u(L k) xk , |
k [0, Nх 1] ; |
||
m INT[L / (Nu 1)] , |
Nд L m(Nu 1) ; |
||
u(L Nх (i 1)( Nх 1) k ) u(L Nх 1 (i 1)( Nх 1)) |
x( Nх 1) |
x( Nх 2 k ) , i – нечетно; |
|
u(L Nх (i 1)( Nх 1) k ) u(L Nх 1 (i 1)( Nх 1)) x0 |
x(k 1) , i – четно; |
||
u(L 1 (i 1)( Nх 1) k ) u(L (i 1)( Nх 1)) |
x0 x(k 1) , i – нечетно; |
||
u(L 1 (i 1)( Nх 1) k ) u(L (i 1)( Nх 1)) |
x( Nх 1) x( Nх 2 k ) , i – четно, |
||
причем k [0, Nх 2] при i [1, m] , |
k [0, Nд 1] при i m 1. |
||
В качестве иллюстрации на рис. 2.14, а показан исходный сигнал x(t) , а на рис. 2.14, б – промежуточный сигнал u(t) , полученный по-
средством последовательного инверсного отображения при m 2 ,
Nд t 0,75Tх .
69
Отсчеты выходного сигнала фильтра в соответствии с выражениями (2.73) и (2.74), вычисляются я виде:
1) для НЧФ, ПФ, РФ и ВЧФ
L 1
yk wLu(k L) wi[u(k 2L i) u(k i) ] , k [0, Nх 1] ; i 0
2) для ДФ
L 1
yk wi[u(k 2L i) u(k i) ] , k [ 0 , N X 1 ] . i 0
При этом в точках t nTх из-за наличия высокочастотных помех могут возникать «смещения» сигнала u(t) , что ведет к накоплению аддитивной ошибки.
а |
б |
Рис. 2.14
Существует несколько способов уменьшения такой ошибки, например, усреднение нескольких последних n точек x(t) .
70