Введение в теорию сигналов. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие

и «Математических основ теории систем», поэтому здесь рассмотрим лишьодносвойствопреобразованияФурье, весьмаважноесточкизрения «Теории сигналов». Это касается соотношения между длительностью сигнала и шириной его спектра.

Согласно свойству изменения масштаба (изменения аргумента) в преобразовании Фурье

т. е. сжатие или растяжение сигнала во временной области приводит к обратному изменению ширины и обратно пропорциональному изменению модуля спектра в частотной области.

В этой связи в теории сигналов вводится понятие базы сигнала

B Ts S .

Базанезависитоткаких-либопараметровеговременнойиличастот- ной характеристики и определяется только формой сигнала. Следовательно, для данной формы сигнала база есть величина постоянная. В результате оказывается невозможным задать сигнал желаемой длительности с желаемым спектром. Например, уменьшение Ts (что позволяет

увеличить количество информации, передаваемой в единицу времени) приводит к нежелательному увеличению S , что связано с повыше-

нием требований к каналу связи.

21

1.9. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Рассмотрим специальный сигнал – дельта-функцию ( -функцию):

представляющий собой импульс, амплитуда которого стремится к бесконечности, а длительность к нулю, причем площадь такого импульса равна единице. В общем случае -функцию можно представить в следующем виде:

сплошной спектр во всем диапазоне частот.

При обработке сигналов на цифровой вычислительной технике необходимо перейти от непрерывного представления сигналов к дискретному виду, для чего вводится понятие шага дискретизации по времени t. Тогда дискретный сигнал будет представлен в виде совокуп-

ностиотсчетов, взятыхизнепрерывногосигналанарасстоянии t друг от друга (считаем t const).

Для аналитической записи дискретного сигнала введем в рассмотрение функцию

(t) (t k t) ,

k

где (t k t) – -функция (t0 k t).

22

Если s(t) – непрерывный сигнал, то его дискретное представление запишем в форме

sд(t) s(t) (t) s(t) (t k t).

k

Меняя местами операции интегрирования и суммирования и объединяя показатели степеней функций exp , получаем

23

и в результате

При k 0 имеем

Sд( ) 2t S( ) .

При k ( , ) спектр Sд( ) периодически повторяется со смеще-

нием по оси частот на k 2 t . Следовательно, дискретные сигналы дают

периодические частотные характеристики с периодом 2 / t . В ре-

зультате практический анализ частотных характеристик обычно осу-

кально отражаются, а за частотой 2 в – повторяются.

Следует отметить интересный факт.

Непрерывные периодические функции (сигналы) дают дискретный (линейчатый) спектр(коэффициенты Ak ), адискретныефункции(сиг-

налы) дают периодический сплошной спектр.

Далее дискретные сигналы и их спектры будем обозначать как sk [(k 1) t], k 1, 2,3,..., NF , Si S [(i 1) ], i 1, 2, 3, ..., NF .

Таким образом, вводя шаги дискретизации по времени t и по частоте изаменяяинтегралыквадратурнымиформуламипрямоуголь-

ников, получаем пару прямого и обратного дискретных преобразований Фурье (ДПФ):

NF

Si t sk exp[ j(k 1) t (i 1) ] ,

k 1

s NF S exp[ j(k 1) t (i 1) ]

k 2 i NF i .

24

В предположении, что NF 2m , m 1, 2, 3, ... есть величина четная,

с учетом свойств S( j ) , можно записать пару преобразований Фурье следующим образом:

Проанализируем основную особенность спектра дискретного сигнала – свойство периодичности. Спектр является непрерывной периодической функцией частоты с периодом 2 в, причем совпадающей

впределахцентральногопериода [ в, в] сточностьюдопостоян-

ного множителя со спектром непрерывного сигнала. Следовательно, по такому спектру можно восстановить не только дискретный, но и непрерывный сигнал.

Основным параметром, определяющим указанное свойство частотного спектра, является шаг дискретизации по времени t и соответствующая ему частота Найквиста в / t . При неверно выбранном

t в частотной области может возникнуть эффект «интерференции» спектра сигнала (отражение относительно частоты в части спектра за

частотой в , наложение отраженной части на спектр в центральном пе-

риоде и искажение определяемого спектра). Рассмотрим пример.

Пусть имеется два сигнала:

которые во временной области выглядят, как показано на рис. 1.7, а их спектры приведены на рис. 1.8.

25

«интерференции» в спектре сигнала, вызванный его дискретизацией, необходимо выполнение соотношения

в [ max ...2 max ] ,

где max – максимальная частота эффективной части спектра сигнала.

Рис. 1.9

В практике моделирования непрерывных сигналов на ЦВМ обычноt выбирается из соотношения

или если сигнал грубо можно аппроксимировать синусоидой, то целесообразно выбирать t из расчета 25…30 точек на периоде этой синусоиды.

Обратное ДПФ обладает всеми теми же свойствами, что и прямое ДПФ.

1.10.БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

ВДПФреализацияалгоритмапреобразованиясигнала sk , k [1, NF],

предполагает выполнение NF 2 операций комплексных умножений и сложений. В результате большие NF требуют значительных вычислительных затрат. На заре развития вычислительной техники, когда объемы оперативной памяти и скорости выполнения вычислительных операций были небольшими, уменьшение объема памяти и количества

27

вычислений при выполнении ДПФ было весьма актуальной задачей, в результате решения которой появились алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), используемые и в настоящее время. В настоящем разделе рассмотрим алгоритм Кули.

Пусть имеется сигнал sk , k [1, NF] , NF 2m , m 2, 3, ... Поделим последовательность отсчетов сигнала sk из NF точек на две последовательности из NF / 2 точек, например, четные и нечетные отсчеты, т. е.

Вместо ДПФ последовательности sk преобразуем по ДПФ последовательности sk и sk . Допустим, что

Для получения половины спектра Si , i [1, NF2], просуммируем Si и Si с учетом теоремы запаздывания, так как отсчеты sk сдвинуты на t относительно sk . В результате получим

Вторая половина спектра является комплексно сопряженной относительно первой и с учетом периода повторения NF / 2 будет определяться в виде

скольку они уже вычислены при определении первой половины спектра.

28

Если sk и sk в свою очередь поделить на две части множество раз

до тех пор, пока в реализациях не останется по две точки (алгоритм с основанием два), то ДПФ станет неким пирамидальным алгоритмом перестановок со сложением и умножением на функцию exp соответ-

ствующего уровня пирамиды.

Взависимостиоттого, какдлиннаяпоследовательностьотсчетовделится на две короткие, различают алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте (пополам) или по времени (чет – нечет).

Алгоритм БПФ с основанием два выполняет NF log2 NF вычисли-

тельных операций и, например, при m 10 , т. е. NF 1024 , ДПФ дает 1 048 576 операций, а БПФ – 10 240, что примерно в 100 раз меньше.

При решении практических задач, когда сигнал sk имеет любое ко-

личество N NF отсчетов, для реализации БПФ количество отсчетов N дополняется нулями до ближайшего большего значения NF .

1.11. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Иногда при решении практических задач возникает необходимость изучать свойства сигналов без их спектрального представления, а только по временным характеристикам. Такими свойствами являются, например, скорость изменения сигнала или наличие определенных связей значений сигналов во времени. Если говорить о случайных сигналах, то при их анализе интересен факт выявления в них неслучайныхсоставляющихиоцениванияэтихнеслучайныхсоставляющих. Для решения подобных задач используется так называемый корреляционный анализ.

Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала используется в качестве количественной интегральной характеристики формы сигналов

идля определения наличия взаимосвязей отсчетов сигналов, а также

иустановлениязависимоститекущихзначенийсигналаотпредыдущих.

Для детерминированных сигналов s(t) конечной длительности АКФ определяется выражением

29

где – величина сдвига s(t) во времени. Из этого выражения следует,

чтоАКФопределяетналичиеистепеньсвязи(корреляции) сигналаиего копии, сдвинутой на . При 0 АКФ Rss (0) имеет максимальное

значение, сигнал полностью коррелирует сам с собой и

Rss (0) s2 (t) dt E,

т. е. при 0 АКФ есть энергии сигнала, а при любом модуль АКФ не превышает энергии сигнала

Rss ( ) Rs s (0) E.

АКФ есть функция четная, и Rss ( ) Rss ( ) . Действительно, если в формуле, определяющей АКФ, заменить t на t , то получим

Rss ( ) s(t) s(t ) dt .

Таким образом, АКФ является симметричной функцией с положительным максимумом в центре кривой.

Вид АКФ определяется видом сигнала и при увеличении может иметь монотонно убывающий или колебательный характер, причем Rss ( ) 0 , если величина сдвига превысит длительность сигнала.

Проиллюстрируем (рис. 1.10) образование АКФ на примере сигнала s(t) в виде прямоугольного импульса длительностью Tи . В результате

имеем

В корреляционном анализе наряду с АКФ используются так называ-

емыефункцииавтоковариации(автоковариационныефункции) сигнала

Qss ( ) [s(t) M ][ s(t ) M ]dt ,

30