Введение в теорию игр. Учебно-методическое пособие

Не пытаясь сразу выражать эту мысль совсем точно, скажем — попробуем найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.

Подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр.

Для того чтобы найти ситуацию равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, необходимо найти в каждом столбце матрицы выигрышей игрока A максимальный элемент и подчеркнуть его. Аналогично, в каждой строке матрицы выигрышей игрока B нужно подчеркнуть максимальный элемент. Если в обеих матрицах будет подчеркнут элемент, стоящий на одном и том же месте, то его положение и определит ситуацию равновесия в игре. Заметим, что в биматричной игре (в отличие от матричной) выигрыши игроков, при наличии нескольких ситуаций равновесия, могут различаться.

Задача 2.1.2. Найти все ситуации равновесия в биматричной игре

Решение. В матрицах A и B подчеркнем максимальные элементы, стоящие в столбцах и строках соответственно:

Неравенства (2.1.4) означают, что если игрок отклонится от равновесной ситуации (p0, q0), то его выигрыш может только уменьшиться.

Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

На вопрос о существовании ситуации равновесия отвечает следующая теорема.

Теорема 2.1.1. (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если некоторая пара чисел (p0, q0) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий,или,наоборот,доказатьихнеобоснованность, необходимо проверить справедливостьнеравенств(2.1.4)длялюбогоp впределахот0до1идлялюбого q в пределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.

Для таких игр оказывается справедливой следующая теорема, позволяющая находить смешанные стратегии.

63

Теорема 2.1.2. Выполнение неравенств (2.1.4):

HA p,q0 HA p0,q0 , HB p0,q HB p0,q0 ,

равносильно выполнению следующих неравенств:

Другими словами, чтобы убедиться в том, что пара (p0, q0) определяет равновеснуюситуацию,достаточнопроверитьсправедливостьнеравенств(4.6.3) не для всех p 0,1 и q 0,1 , а только для двух чистых стратегий каждого игрока.

Перепишем формулу (2.1.5) в более удобном виде

HA p,q a11 a12 a21 a22 pq a12 a22 p a21 a22 q a22.

Положим здесь p = 0 и p = 1:

H A 1,q a11 a12 a21 a22 q a12 a21 a22 q,

H A 0,q a21 a22 q a22

и рассмотрим разности

HA p,q HA 1,q a11 a12 a21 a22 pq a12 a22 pa11 a12 a21 a22 q a22 a12,

H A p,q H A 0,q a11 a12 a21 a22 pq a12 a22 p .

Полагая

получим для них следующие выражения:

64

HA p,q HA 1,q Сpq αp Сq α Сq p 1 α p 1

p 1 Сq α ,

H A p,q H A 0,q Сpq αp p Сq α .

Так как в точке равновесия эти разности должны быть неотрицательными, то приходим к следующей системе неравенств:

p 1 Сq 0

p Сq 0.

Для HB p,q , при обозначениях:

Получаем аналогичным образом: q 1 Dp β 0

q Dp β 0.

Таким образом, для того, чтобы пара (p, q) определяла равновесную ситуацию в биматричной игре 2 × 2 необходимо и достаточно выполнение следующей системы:

где С,D,α,β вычисляются по формулам (2.1.7)–(2.1.8). Задача 2.1.3. Найдите равновесие по Нэшу для задачи 2.1.1. Решение. Вычислим параметры, входящие в систему (2.1.9):

С = 2 – (–1) – 1 + 0 = 2, α= 0 + 1 = 1 D = 1 – (–3) – (–2) – 1 = 5, β= –1 (–2) = 1.

Тогда получаем следующие системы неравенств:

65

Решим первую из систем: 1) р = 1, 2q – 1 ≥ 0, q 12; 2) р = 0, 2q – 1 ≥ 0, q 12; 3) 0 < р < 1,

Перенесем эти результаты на чертеж в виде «зигзага»:

Перенесем эти результаты на чертеж в виде «зигзага»:

66

Рис. 2.1.2

Объединим эти рисунки.

Рис. 2.1.3

Видим, что игра имеет три равновесные ситуации с соответствующими выигрышами:

1)p = 1, q= 1, HA(1,1) = 2, HB(1,1) = 1;

2)p = 0, q= 0, HA(0,1) = 0, HB(0,1) = –1;

67

Вывод. Из этих трех смешанных стратегий лучшей является первая p = q = 1, то есть хорошо подготовиться к зачету и поставить зачет.

В этой задаче реализуется весьма редкая для биматричных игр ситуация. Функции выигрышей игроков достигают максимума одновременно.

Задача 2.1.4. (Борьба за рынки). Небольшая фирма A намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, монополизируемых другой, более крупной фирмой B. Для этого фирма A готова предпринять по одному из рынков соответствующие приготовления, например, развернуть рекламную кампанию. Фирма B может воспрепятствовать этому, предприняв по одному из рынков предупредительные меры. Если фирма A встречает противодействие, то терпит поражение, в противном случае — захватывает рынок. Будем считать, что проникновениефирмыA напервыйрынокболеевыгоднодлянее,чемнавторой, но и поражение на первом рынке принесет фирме A большие потери, чем на втором рынке. Таким образом, фирмы имеют по две стратегии: A1 и B2 — выбор первого рынка; A2 и B2 — выбор второго рынка. Составьте и решите биматричную игру.

Решение. Составим платежные матрицы игроков в условных единицах, исходя из соответствующих качественных соображений:

Из этих матриц видно, что если обе фирмы выберут один рынок, то выигрывает фирма B , если разные — то фирма A .

Найдем равновесные ситуации, вычислив параметры системы (4.6.8):

C = –10 – 2 – 1 – 1 = 14, α= – 1 – 2 = –3, D = 5 + 2 + 1 + 1 = 9, β = 1 + 1 = 2.

Тогда получаем следующие системы неравенств:

Решим первую систему:

68

1) p = 1, –14q + 3 ≥ 0, q 143 ;

2)p = 0, –14q+3 ≤ 0, q 143 ;

3)0 < p < 1, –14q + 3 = 0, q 143 .

Решим вторую систему:

Изобразим эти решения на рисунке:

Рис. 2.1.4

Видно, что получилась одна точка равновесия p 92, q 143 . Это дает нам

Вывод. Таким образом, если игра может быть повторена многократно в схожих условиях, то фирма А в 22,22% случаев должна осуществлять попытки проникновения на первый рынок, а в 77,78% — на второй рынок. При этом

(в среднем) она не проиграет больше, чем 74 у. е. Фирме В рекомендуется в 21,43% случаев оказывать противодействие на первом рынке, а в 78,57% — на втором. В этом случае ее средний выигрыш составит не менее 13 у. е.

Отметим, что в этой задаче получилась одна равновесная точка, и νA ≠ νB. Вдругихбиматричныхиграхможнополучитьнесколькоравновесныхситуаций, как, например, в примере «Студент — Преподаватель». В этом случае встает проблема выбора оптимальной в некотором смысле ситуации из нескольких равновесных. Эту задачу можно попытаться решить, исходя из содержательного смысла игры.

Из рассмотренных примеров видно, что точка равновесия определяется

парой

А это означает, что в равновесной ситуации выбор одного игрока полностью определяется платежной матрицей другого игрока и не зависит от собственной платежной матрицы. Иначе говоря, равновесная ситуация определяется не столько стремлением увеличить свой выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока.

Проиллюстрируем это, пользуясь условием примера 2.1.4. Для этого разобьем биматричную игру на две матричные игры с матрицами

ирешим их:

ν4, p0 1,6 , q0 3 ,11 , A 7 7 7 14 14

70