Введение в теорию игр. Учебно-методическое пособие

Выбирая самый худший вариант по величине прибыли для каждой альтернативы (проект элеватора), получаем значения Wi (B) и среди них отыскиваем гарантированный максимальный эффект.

Таким образом, по критерию Вальда следует построить элеватор мощностью 20 тыс. ц. с максимально возможной прибылью 93 тыс. д. е.

Обратившись к оценкам по критерию Гурвица при трех различных уровнях оптимизма (α = 0,2; 0,5; 0,8), обнаруживаем целесообразность выбора проектаэлеватора мощностью30 тыс. ц.сожидаемойприбыльюсоответственно

105360, 131100, 156840 д. е.

При подходе с позиций критерия Сэвиджа (упущенных возможностей и последующего сожаления об этом) строим матрицу сожалений D, вычитая из столбцов матрицы полезности наибольшие значения, и применяем к ней пессимистический критерий Вальда, дающий наименьшее значение максимального сожаления.

Таблица 3.7

Для нашего примера по этому критерию оптимален проект элеватора мощностью 30 000 ц.

Таким образом, практически по всем критериям отдается предпочтение проекту 30 000 ц и лишь при глубоком пессимизме во взглядах на ожидаемый урожай — проекту 20 000 ц с гарантией ожидаемой прибыли лишь в 93 тыс. д. е. и, может быть, значительными упущенными возможностями. Остальные проекты рассматривать явно нецелесообразно.

Задача 3.3. Для данной матрицы:

невыгоднымстратегиямактивногоигрока; Б) восстановить пропущенную вероятность одной из гипотез о «поведении

природы» и выявить оптимальную стратегию активного игрока по математическомуожиданиюприбыли;

В)выявитьоптимальныестратегииактивногоигрока,применяякритерии Лапласа, Вальда и Гурвица (приγ = 0,3).

Решение. А) Первый игрок имеет пять стратегий, а второй, «природа», характеризуется четырьмя возможными гипотезами. Известны вероятности реализаций первых трех гипотез. Введем обозначения стратегий активного

Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодныхигрокустратегий

В выделенных строках знаки неравенств — одинаковые, что указывает на невыгодность стратегий активного игрока А2 и А4 относительно стратегий А5 и А3 соответственно. Дальнейшее сравнение со стратегией А4 не проводилось.

Платежную матрицу можно упростить, удалив из нее строки, соответствующиевыявленнымневыгоднымстратегиям(онивыделенывтаблице).

Б)ВосстановимвероятностьвозможноговариантаП4 «поведения» природы, исходя из того, что события П1, П2, П3 и П4 образуют полную группу

P(П1) P(П2) P(П3) P(П4) 1,

P(П4) 1– P(П1)–P(П2)– P(П3) 0,27.

93

Рассчитаем математическое ожидание дискретной случайной величины — получаемой игроком выгоды, при возможном использовании каждойего стратегии:

M1 = 6 0,24 +3×0,11 –4 0,38 + 6 0,27=1,87;

M3 =5 0,24+8 0,11+1 0,38+0 0,27=2,46;

M5 = 7 0,24 –3 0,11 + 3 0,38 + 4 0,27=3,57.

При многократном взаимодействии оптимальной является стратегия А5,обеспечивающаяприближениевеличинысреднего«платежа»кзначению 3,57. При этом иногда (в одиннадцати процентах случаев) игрок будет нести убыток.

В) Лаплас:

W1 6 3 4 6 4 114 234;

W3 5 8 14 144 3.5;

W5 7 3 3 4 4 114 234.

Вывод: максимальная выгода может быть при реализации стратегии А3.

Вальд: W max 4;0; 3 0.

Вывод: при реализации стратегии А3 все платежи — неотрицательные, что обеспечивает отсутствие убытков. Выбор других стратегий может привести кубыткам.

94

Гурвиц (γ = 0,3):

Вывод: при данном «уровне ответственности» оптимальной является стратегия А3.

Задача 3.4. Нефтяная компания собирается построить в районе Крайнего Севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды S1, S2, S3, S4, S5. Выбрать оптимальный проект для строительства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при α= 0,6/. Матрица затрат имеет вид:

Решение. Лаплас:

W1 7 12 8 10 5 5 8,4;

W2 9 10 7 8 9 5 8,6;

W3 6 8 15 9 7 5 9;

W4 9 10 8 11 7 5 9.

Вывод: максимальная выгода может быть при реализации проекта A.

95

Среди наихудших вариантов 12, 10, 15, 11, наилучший соответствует 10. Вывод: принимаемпроект B.

Максимальные элементы для каждого критерия матрицы рисков равны: 4; 4; 8; 3.

Вывод: принимаем проект D, соответствующий минимальному значению –

3.

Гурвиц (α 0,6):

W1 5 0,6 12 0,4 7,8;

W2 6 0,6 15 0,4 9,6;

W3 7 0,6 10 0,4 8,2;

W4 7 0,6 11 0,4 8,6.

Вывод: максимальная выгода может быть при реализации проекта A, т. к. в этом случае функция полезности минимальна.

96

4.Кооперативные игры

4.1.Характеристическая функция кооперативной игры

Ранее мы рассматривали игры двух лиц. При изучении игр n игроков возникает естественный вопрос: могут ли игроки договариваться друг с другом, образовывая коалиции? Кооперативная теория предполагает, что коалиции образуются до игры, игроки, входящие в коалицию, заключают между собой обязывающее соглашение, которое потом не нарушают. Таким образом, коалиция действует совместно, стараясь увеличить общий выигрыш своих участников. Основная задача кооперативной теории — определить, каким образом игроки могут разделить между собой некоторый выигрыш.

Пусть N — множество игроков. Любое его подмножество K N назовем коалицией. Для каждой коалиции определим выигрыш в наихудшей для нее ситуации. Очевидно, эта ситуация состоит в том, что все остальные игроки объединяются против K, образуя коалицию L = N \ K В этом случае игра превращается в антагонистическую игру двух лиц, то есть в матричную игру. По теоремефонНеймана1.2.1,существуетценаэтойматричнойигрыν(K),которую коалиция K может себе гарантировать, например, при минимаксной стратегии. Таким образом, на множестве подмножеств множества N определена функция

ν(K).

Данная функция обладает некоторыми естественными свойствами.

1. 0. Действительно, коалиция, не содержащая игроков, не может выиграть ничего.

2.Если S T , то v S T v S v T . Это свойство называется супераддитивностью. Смысл его в том, что объединение в более крупную коалицию дает дополнительный эффект и позволяет выиграть больше, чем выиграли бы коалиции S и Т в отдельности.

97

Очевидно, задание функции ν(K) полностью описывает структуру игры.

аналогичных концертах пианист и певец могут заработать 80, пианист и ударник 65, певец и ударник 50, один пианист 30, один певец 20, ударник в одиночку не зарабатывает ничего. Каким образом поделить заработанные 100 д. е.?

В условии задана характеристическая функция игры:

(N ) P , S , D 100, P , S 80, P , D 65, S , D50, (P ) 30, S 20, D 0.

Легко проверить условие супераддитивности.

4.2. Дележи. С-ядро

Проблема распределения выигрыша при заданной характеристической функции игры приводит нас к понятию дележа.

Определение 4.2.1. Пусть игра п игроков задана характеристической функцией. Дележом называется последовательность неотрицательных чисел αi i , удовлетворяющая двум требованиям:

1. Для каждого i αi i .

98

n

2. i ν N .

i 1

Первое требование называется аксиомой индивидуальной рациональности.

Егосмыслвтом,чтониодинигрокнесогласитсянадележ,дающийемуменьше, чем он мог бы заработать единолично. Второе требование называется аксиомой групповой рациональности. Оно заключается в том, что весь имеющийся выигрыш должен быть поделен.

Дележей, как правило, очень много, поэтому к решению игры предъявляются дальнейшие требования. Аксиома индивидуальной рациональностиговоритотом,чтокаждыйотдельныйигрокнеможетулучшить свое положение, выйдя из коалиции, обеспечивающей дележ. Однако возможна нежелательная для данного дележа ситуация, когда несколько игроков могут увеличить свой выигрыш, образовав новую коалицию.

Определение 4.2.2. Назовем дележ достижимым для коалиции S, если

n

αi ν S .

i S

Свойство достижимости говорит о том, что коалиция S может обеспечить своим членам данный дележ независимо от действий остальных игроков.

Определение4.2.3.Говорят,чтокоалицияS блокируетдележα α,1 ,αп ,

еслисуществуетдостижимыйдляэтойкоалициидележ α’такой,чтодлялюбого i S и хотя бы для одного i это неравенство строгое.

Смысл данного определения в том, что коалиция S может предложить своим членам другой дележ, который лучше для них, чем дележ α.

Таким образом, в качестве решения игры можно рассматривать множество дележей, для которых отсутствуют блокирующие коалиции. Данное условие можно записать следующим образом:

S N i S .

i S

99

Это условие обобщает условие индивидуальной рациональности, которое гарантирует, что блокирующей не будет коалиция из одного игрока.

Определение 4.2.4. Множество платежей, для которых отсутствуют блокирующие коалиции, называется С-ядром игры.

Задача 4.2.1. Найти С-ядро игры, приведенной в задаче 4.1.1. Решение. Обозначим платеж, входящий в С-ядро, через α = (x1, x2, x3).

Условие групповой рациональности приводит к равенству x1 x2 x3 100.

Условие отсутствия блокирующих коалиций приводит к неравенствам x1 x2 80,x1 x3 65,x2 x3 50,x1 30,x2 20,x3 0.

Решение этих неравенств задает многогранник в трехмерном пространстве. Вершины этого многогранника это точки, координаты которых обращают два из первых трех неравенств в равенство. Пусть, например, x1 + x2 = 80,x1 + x3 = 50,тогдаx3 = 20,x1 = 30,x2 = 50.Такимобразом(30,50,20) —

одна из вершин треугольника. Две другие это (35, 45, 20) и (35, 50, 15). Треугольник с этими вершинами образует С-ядро данной игры. Заметим, что выигрыши каждого игрока определены с точностью до 5 д. е.

Понятие С-ядра имеет очевидные недостатки в качестве решения кооперативной игры. Оно может быть пустым или, наоборот, слишком обширным. Этого недостатка лишены понятия индексов Шепли и Банзафа, которые мы изучим далее.

4.3.Индексы Шепли и Банзафа

В60-х годах прошлого века математик Шепли и юрист Банзаф независимо друг от друга занялись проблемой определения «индексов власти». Рассмотрим игру, в которой участниками являются члены совета директоров компании или фракции в парламенте. Оказывается, что реальное влияние игрока зависит не от количества голосов, которыми он располагает, а от шансов этого игрока

100