Введение в теорию игр. Учебно-методическое пособие

образовать выигрывающую коалицию. Таким образом, мы рассматриваем кооперативную игру, в которой характеристическая функция любой коалиции принимает одно из двух значений: 1 (в этом случае коалиция называется выигрывающей) или 0 для не выигрывающих коалиций. Такая игра называется

простой кооперативной игрой.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 4.3.1. Будем считать, что парламент состоит из 100 депутатов.

а) Предположим, что один из игроков имеет 51 голос. Тогда независимо от остальных игроков он может провести любое решение. Такого игрока будем называть диктатором. Заметим, что диктатору достаточно иметь не все голоса, а на 1 голос больше половины. Влияние всех остальных игроков равно нулю.

б) Если у игрока 50 голосов, он уже не является диктатором, однако имеет «блокирующий пакет»: ни одно решение не может быть проведено без его согласия. Его влияние значительно больше 50%.

в) Рассмотрим игру 4 игроков (28, 24, 24, 24). Первый игрок имеет всего на 4 голоса больше остальных, однако он намного их сильнее. Для того, чтобы создатьвыигрывающуюкоалицию,емудостаточнодоговоритьсятолькосодним партнером, в то время как остальные должны либо блокироваться с первым игроком, либо договариваться втроем.

г)Вигре(26,26,26,22)последнийигрокнеимеетвлияниявообще,таккак любая выигрывающая коалиция, в которую он входит, остается выигрывающей и без него. Такой игрок называется болваном (термин взят из карточных игр и не имеет оскорбительного смысла).

д) В игре (49, 48, 3) все игроки имеют одинаковую силу, так как любые два из них образуют выигрывающую коалицию.

Рассмотренные примеры показывают, что индекс, определяющий силу каждого игрока, должен обладать следующими естественными свойствами.

1.Сумма индексов всех игроков равна 1.

2.Индекс диктатора равен 1, индекс болвана 0.

101

Содержательно индекс игрока должен зависеть от количества выигрывающих коалиций, которые он может образовывать.

Рассмотрим сначала более простой индекс Банзафа. Пусть S — выигрывающаякоалиция.Входящийвэтукоалициюигрокназываетсяключевым для коалиции S, если без него коалиция перестает быть выигрывающей. Таким образом,еслиi —ключевойигрок,то v S 1, v S \ i . 0.

Пусть Bi — количество коалиций, в которых i — ключевой игрок. Тогда индекс Банзафа этого игрока вычисляется по формуле

Задача 4.3.2. Вычислим индексы Банзафа для участников игры (28, 24, 24, 24), рассмотренной в примере 4.3.1.в. Первый игрок образует выигрывающие коалициислюбымизостальныхигроков —утакихкоалиций52 голоса.Нонадо учитывать и коалиции первого игрока с двумя другими игроками, у которых 76 голосов. В этих коалициях первый игрок ключевой, так как без него такая коалиция имеет всего 48 голосов и проигрывает. Наоборот, в коалиции, состоящей из всех игроков, первый игрок уже не ключевой, так как без него у остальных 72 голоса. Таким образом, B1 = 6. Для остальных игроков индексы одинаковы. Например, второй игрок будет ключевым игроком в коалиции с первым(52голоса),атакжевкоалицииизтрехслабыхигроков(72 голоса).Все остальные выигрывающие коалиции остаются выигрывающими и без этого

Задача 4.3.3. Решим аналогичную задачу для игры (50, 48, 2)

сблокирующим игроком. Здесь B1=3 (50+48, 50+2, 50+48+2), B2= B3 =1. Отсюда

β1 53, β2 β3 15.

Индекс Банзафа имеет следующий вероятностный смысл. Всего в п-элементном множестве 2п подмножеств, это дает нам количество возможных

коалиций. Если считать образование каждой из коалиций равновероятным,

102

индекс Банзафа игрока характеризует вероятность того, что этот игрок, присоединившись к не выигрывающей коалиции, сделает ее выигрывающей.

Индекс Шепли также имеет вероятностное обоснование, однако исходит из предположения, что большие коалиции имеют большую вероятность образования, чем малые. Этот индекс также может быть введен аксиоматически. Шепли доказал, что данный индекс — единственный, удовлетворяющий трем аксиомам:

1.Симметричность. Индексы игроков не меняются, если изменить их нумерацию.

2.Нормированность. Сумма индексов всех игроков, не являющихся болванами, равна 1.

3.Линейность. Определим сумму игр как игру, характеристическая функция которой равна сумме характеристических функций этих

игр. Тогда для любого игрока его индекс относительно суммы игр равен сумме индексов относительно игр-слагаемых.

Приведем формулу индекса Шепли для простой кооперативной игры.

Рассмотрим все выигрывающие коалиции Т, в которых игрок i является ключевым, пусть t — число игроков в коалиции Т, п — общее число участников

3 выигрывающие коалиции из двух элементов с любым из остальных игроков. Также он будет ключевым в 3 коалициях из трех элементов с двумя другими игроками. Для остальных игроков есть одна двухэлементная и одна

Мы видим, что в данной задаче индексы Шепли и Банзафа совпадают.

103

Задача 4.3.5. Решим аналогичную задачу для игры (50, 48, 2), рассмотренной в задаче 4.3.3. Здесь первый игрок ключевой в двух двухэлементных и одной трехэлементной коалиции, остальные — в одной двухэлементной. Поэтому

В этой задаче индексы Шепли и Банзафа различаются, однако дают одну и ту же качественную картину. Тем интереснее следующая задача.

Задача 4.3.6. В одной маленькой стране для принятия закона требуется большинство в каждой из палат парламента: сенате из 3 человек и палате депутатов из пяти человек, а также подпись президента. Определите индексы Шепли и Банзафа для президента, сената и палаты депутатов.

Решение. Будем считать, что индекс палаты равен сумме индексов ее членов. Мы получаем игру 9 игроков, причем любая выигрывающая коалиция состоит из президента, двух или трех сенаторов и трех, четырех или пяти депутатов. Найдем индексы Шепли и Банзафа для президента. Президент — ключевой игрок во всех коалициях, в которые он входит. Перечислим и подсчитаем их. Обозначим президента П, сенаторов С, депутатов Д. Тогда коалиции для президента следующие:

Общее количество выигрышных коалиций для президента B1 = 64

104

Каждый сенатор С0 является ключевым игроком в следующих коалициях:

(П+ С0+С+5Д), t C12 C 55 2 1 2.

Общее количество выигрышных коалиций для сената в 3 раза больше:

B 2 3 32 96.

Каждый депутат Д0 является ключевым игроком в следующих коалициях: (П+ 2С+Д0+2Д), t C32 C24 3 6 18.

(П+ 3С+ Д0+2Д), t C33 C24 1 6 6.

Общее количество выигрышных коалиций для палаты депутатов в 5 раз

Вычислим теперь индексы Шепли. Среди выигрышных коалиций президента 30 состоят из 6 игроков, 25 из 7, 8 из 8, одна из 9 игроков. Всего игроков 9. Поэтому индекс Шепли президента равен

Для наглядности сведем данные в таблицу 4.3.1.

Как мы видим, в этом случае разные индексы дают противоположную качественную картину.

Приведемтеперьзадачу,основаннуюнареальныхстатистическихданных.

Задача 4.3.7. Законодательное собрание Ленинградской области (ЛО) состоит из 50 депутатов. Принятие решений чаще всего проходит по правилу простого большинства, однако для важнейших решений — это квалифицированное большинство. Проанализировать распределения влияния между фракциями и депутатскими группами в Законодательном собрании ЛО за время 3–6-го созывов. Распределение депутатских мест за данный период представлено в таблице 4.3.2. Для представления депутатов, которые не входят

вдепутатские объединения, выделена группа «Независимые депутаты». Также

втаблице 4.3.2 представлен альтернативный вариант распределения мест для дополнительных выводов.

Таблица 4.3.2

Распределение депутатских мест в Законодательном собрании ЛО

Решение. Рассмотрим, как на протяжении указанного периода изменялось распределение влияния между депутатскими фракциями в Законодательном собрании ЛО. Проведем расчет индексов Шепли и Банзафа для простого (q = 1/2 — не меньше 26 голосов) и квалифицированного большинства

106

(q = 2/3 — не меньше 34 голосов) и представим результаты в виде таблиц (см.

таблицы 4.3.3–4.3.6).

107

Из полученных данных видно, что по критерию простого большинства, начиная с работы 4-го созыва, фракция «Единая Россия» стала иметь контрольный пакет (таблицы 4.3.3 и 4.3.5). В течение работы 3-го созыва она разделяла свое влияние с фракциями «Диалог», «Справедливая Россия», «Общественное согласие» и «Независимые депутаты». Из-за увеличения

108

численности «Единая Россия» стала занимать лидирующую позицию. Исходя из критерия квалифицированного большинства, на протяжении работ 3–5-го созывовдругиефракцииещеимеливлияние.Ихвлияниепримерноравнозначно, несмотря на разницу в численности, что еще раз подтверждает то, что преобладающая численность не всегда является важным фактором при распределении влияния.

Приведенный альтернативный вариант показывает, что при уменьшении численности фракции «Единая Россия» и увеличении численности других фракций на 2–6 человек значительно меняются индексы влияния и происходит перераспределение веса фракций.

Индивидуальные варианты

Индивидуальные задания к теме 1