Введение в теорию игр. Учебно-методическое пособие

Задача решена, так как найдены векторы q0 q1 ,q2 , p0 p1 ,p2 и цена

игры ν.

Имея матрицу платежей A, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 1.2.1). Рассмотрим алгоритм решения для игрока 1.

1.По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2.По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии A1.

3.На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии A2.

4. Концы отрезков обозначаются a11 – b11, a12 – b21, a22 – b22, a21 – b12

ипроводятся две прямые линии b11 b12 и b21 b21.

5.Определяется ордината точки пересечения c . Она равна ν.

Рис. 1.2.1. Оптимальная смешанная стратегия игрока 1

Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основанонаобщемсвойствеигрm × n,состоящемвтом,чтовлюбойигреm × n каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min (m, n). Из этого свойства можно получить

22

известное следствие: в любой игре 2 × n и m × 2 каждая оптимальная стратегия S1 и S2 содержит не более двух активных стратегий.

Значит,любаяигра2 × n иm × 2можетбытьсведенакигре2 × 2.Следовательно, игры 2 × n и m × 2можно решить графическим методом.

Для игрока 2 алгоритм аналогичен:

1.По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2.По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии B1.

3.На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии B2.

4. Концы отрезков обозначаются a11 – b12, a11 – b21, a22 – b22, a21 – b12

ипроводятся две прямые линии b12 b21 и b12 b22.

5.Определяется ордината точки пересечения c . Она равна ν.

Рис. 1.2.2. Оптимальная смешанная стратегия игрока 2

Рассмотрим практическую задачу, в которой используются критерии игр для оценки наиболее эффективного поведения оперирующей стороны.

Задача 1.2.1. Директор транспортной компании A, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует открыть один или два маршрута: A1 и A2. Для этого было закуплено

23

40 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить на 2 маршрута. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит от того, какие маршруты откроет главный конкурент — компания B. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть один или два маршрута B1 и B2. Оценка прибыли компании A (млн руб.) при любом ответе B представлена платежной матрицей из таблицы 1.2.1. Требуется найти оптимальное распределение по маршрутам и ожидаемую прибыль.

Таблица 1.2.1

Решение. Запишем условия в принятых индексах: a11 = 0,3; a12 = 0,8; a21 = 0,7; a22 = 0,4.

Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

α1 = 0,3; α2 = 0,4; α= 0,4.

β1 = 0,7; β2 = 0,8; β= 0,7.

Получаем игру без седловой точки, так как

Решение для определения ν, p1 и p2 проведем графически (рис. 1.2.3).

Алгоритм решения

1.По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2.По оси ординат отложим выигрыши при стратегии A1.

3.На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии A2.

24

4.Проводим прямую b11 b12, соединяющую точки a11 a12.

5.Проводим прямую b21 b22, соединяющую точки a12 b22.

6.Определяем ординату точки пересечения c линий b11 b12 и b21 b22. Она

равна ν.

7. Определим абсциссу точки пересечения c. Она равна p2, а p1 = 1 – p2.

Рис. 1.2.3. Графическая интерпретация алгоритма решения Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

A1, а остальные 25 машин (85 от 40 машин) — на маршрут A2. При этом прибыль

будет составлять 0,55 млн рублей.

Задача 1.2.2. Решить графически и аналитически игру, заданную

1,5 3

платежной матрицей: 2 1 .

25

Для игрока В решение представлено на рис. 1.2.5.

Рис. 1.2.5. Решение матричной игры для игрока В

Находя точку пересечения соответствующих прямых, пользуясь системой

Отсюда М (0,2; 1,8).

Следовательно, оптимальная стратегия игрока В заключается в выборе стратегии В1 с вероятностью 0,8 и стратегии В2 с вероятностью 0,2. При этом цена игры ν = 1,8.

Ответ. SA = (0,4; 0,6), SB = (0,8; 0,2), ν= 1,8.

Задачи для самостоятельного решения к 1.2

Решение. Проверим игру на наличие седловой точки.

27

конкурент B. Если оба будут закупать T1, то ввиду конкуренции A понесет убытки в 200 тыс. руб. Если оба будут закупать T2, то по той же причине A понесет убытки в 100 тыс. руб. Если A закупит T1, а B закупит T2, то прибыль A составит 900 тыс. руб. Если A закупит T2, а B закупит T1, то прибыль A составит 700 тыс. руб. Какова оптимальная стратегия A? На какую прибыль следует рассчитывать?

Решение.

Таблица 1.2.2

закупить товара T1 на сумму 421 тыс. руб. и товара T2 на сумму 579 тыс. руб. Прибыль составит 226 316 руб.

Задача 1.2.6. Матричная игра задана следующей платежной матрицей

Представьте аналитическое и графическое решение. Найдите верхнюю и нижнюю цену игры, оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Ответ. x* = [0,692; 0,308]; y* = [0,538; 0,462]; ν= 3,923.

29

1.3. Мажорирование стратегий по строкам и столбцам

Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры.

Рассмотрим это понятие на примере матрицы

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен (–3) (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен (–2) (вторая стратегия) и (–0,5) (третья стратегия).

Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применятьсвоютретьюстратегиюпосравнениюсовторой;приналичиитретьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использоватьсвоювторуюстратегию,поэтомуееможноисключитьизигры,т. е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду:

0 0,5 .

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше(0,5 —выигрышигрока1),иматрицаигрыпринимаетпростейший вид: (0), т. е. имеется седловая точка.

30