Введение в теорию игр. Учебно-методическое пособие

Определим максиминную стратегию:

α1 = –3; α2 = –6, α= –3 (см. столбец αi).

Максиминная стратегия — строка A1.

Определим минимаксную стратегию: β1 = 5; β2 = 8; β3 = 9; β4 = 12; β5 = 13; β= 5 (см. столбец βj). Минимальная стратегия — столбец B1.

Здесь α< β, следовательно, cедловой точки нет.

Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока В (см. рис. 1.4.4).

Рис. 1.4.4. Решение игры для игрока А

41

Ломаная B4KMB5 соответствует нижней границе выигрыша. На ней определяемточкуK смаксимальнойординатой,котораяиестьценаигрыν= KN. Оптимальные стратегии для игрока В — первая и четвертая.

Ломаная B4KMB5 соответствует нижней границе выигрыша. На ней определяем точку K с максимальной ординатой, которая и есть цена игры ν= KN. Оптимальные стратегии для игрока В — первая и четвертая.

q1 12 (–3) 15 5 , 18 18 6

q2 518–2 183 16 .

Решение. Так как 7 ≠ 11, седловой точки нет. Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока А.

42

Рис. 1.4.5. Решение игры для игрока В

Ломанная A1PKMA4 изображает верхнюю границу выигрыша игрока A. На нем определяем К с минимальной ординатой, которая и есть цена игры ν= KN. Оптимальные стратегии для игрока А — вторая и третья. Матрица оптимальных

По формулам (1.2.13), (1.2.14), (1.2.16), находим:

Задачи для самостоятельного решения к 1.4

Задача 1.4.5. Найти решение задачи графическим способом:

Решение. Изобразим графическую интерпретацию данной игры:

Рис. 1.4.6. Графическая интерпритация игры для задачи 1.4.5

Цена игры ν= 0,7.

При определении оптимальной стратегии игрока А находим интервал значения x2* и, исходя из этого, определяем x1* :

При наличии горизонтального участка оптимальной чистой стратегией игрока В будет стратегия, соответствующая этому горизонтальному участку (в данном случае В2).

Задача 1.4.6. Определить графическим способом решение игровой задачи:

Решение. Изобразим графическую интерпретацию данной игры:

Рис. 1.4.7. Графическая интерпритация игры для задачи 1.4.6

1.5. Приведение матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования

Игра m × n в общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко при больших m и n, однако принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задачи линейного программирования. Покажем это.

45

стратегиями B1, B2, … , Bn. Необходимо определить оптимальные стратегии

A

обеспечивает игроку A средний выигрыш, не меньший, чем цена игры ν, при любой стратегии игрока B и выигрыш, равный цене игры ν, при оптимальной стратегии игрока B. Без ограничения общности полагаем ν> 0: этого можно добиться, сделав все элементы aij ≥ 0. Если игрок A применяет смешанную

Тогда система (5.5.1) примет вид:

Цель игрока A — максимизировать свой гарантированный выигрыш, т. е. цену игры ν. Разделив на ν≠ 0 равенство p1 + p2 + … + pm = 1, получаем, что переменные xi (i 1, ... ,m) удовлетворяют условию: x1 x2 ... xm 1ν .

Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1ν .

Поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных xi 0 , i 1, ... ,m так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (1.5.3) и при этом линейная функция

обращалась в минимум. Это задача линейного программирования. Решая задачу

47

Таким образом, задачи линейного программирования (1.5.3), (1.5.4) и (1.5.7), (1.5.8) являются взаимно-двойственными. Очевидно, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать ту из взаимнодвойственных задач, решение которой менее трудоемко, а решение другой задачи найти с помощью теорем двойственности. Приведем пример задачи, которая описывается игровыми моделями m × n и может быть решена методами линейного программирования.

Задача 1.5.1. Построить прямую и двойственную задачи линейного програмирования и решить матричную игру, заданную платежной матрицей:

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия A против спроса B задана платежной матрицей (см. табл. 1.5.1).

Прежде чем решать задачу, можно попытаться упростить игру, проведя анализ платежной матрицы и отбросив стратегии, заведомо невыгодные или дублирующие.

Таблица 1.5.1

Так, вторая стратегия (второй столбец матрицы (см. табл. 1.5.1)) является явноневыгоднойдляигрокаB посравнениюспервой(элементывторогостолбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока B — уменьшить выигрыш игрока A. Поэтому второй столбец можно отбросить.

49

Определим нижнюю и верхнюю цены игры в таблице 1.5.2. Так как α ≠ β,

двойственные задачи линейного программирования (см. (1.5.2)–(1.5.3) и (1.5.6)– (1.5.7)).

Решаем 2 задачу симплексным методом, поскольку для нее первое базисное решение будет допустимым. Введем добавочные переменные