Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.А. Ефремов, Е.В. Кузьминская, Р.В. Литвинов

ВВЕДЕНИЕ В РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рекомендовано в качестве учебно-методического пособия Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

Издательство Томского политехнического университета

2021

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Различные классы уравнений широко используются при математическом моделировании реальных систем природы и общества. Поэтому изучение методов решения уравнений различного типа является неотъемлемой частью образовательного процесса. В средней школе изучаются методы решения алгебраических уравнений и системы уравнений малого порядка, решением которых являются числовые величины, часто называемые корнями [1]. В математических курсах технических вузов студенты в первую очередь изучают линейные системы произвольного порядка, корнями которых также являются наборы числовых величин [2]. Матричная запись таких систем приводит к уравнениям, неизвестными в которых являются числовые матрицы [3]. Курс математического анализа в конечном итоге выводит студентов на изучение дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, неизвестными

вкоторых уже являются числовые функции [3, 4]. Следует отметить, что

внастоящее время дифференциальные уравнения являются наиболее мощным и широко востребованными средством математического моделирования. Очевидно, это обусловлено их основной особенностью, состоящей в том, что дифференциальное уравнение может быть составлено на основе закономерностей протекания моделируемого процесса в исходном «малом» объеме области его существования, а решение этого уравнения описывает процесс во всем «большом» объеме (далеко за пределами исходного «малого») существования процесса. Характерно, что решением дифференциальных уравнений, описывающих различные технические процессы, являются функции, непрерывные «почти везде».

Внастоящее время возросла роль так называемых дискретных моделей, которые описываются при помощи дискретных конечных или бесконечных наборов числовых величин, которые могут быть упорядочены в числовые последовательности. С такими конечными последовательностями мы сталкиваемся при построении графиков функций одного переменного по точкам на плоскости, которые потом соединяем (интерполируем) различными способами, в том числе самым простым образом, соединяя их прямолинейными отрезками. Компьютер строит эти графики точно таким же способом. Обработка экспериментальных результатов тоже требует умения работать с конечными дискретными наборами чисел. Численные методы решения упомянутых выше дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений основаны на различных конечно-разностных схемах и методах конечных элементов, которые также оперируют с конечными дискретными наборами чисел [7, 8]. Характерно, что все возможные разрешенные со-

5

стояния любой цифровой системы тоже конечны и могут быть описаны при помощи числовой последовательности. Сам процесс работы такой системы управляется конечной бинарной числовой последовательностью, которая является машинным кодом программы, написанной программистом.

Вматематике существуют класс так называемых разностных уравнений, решениями которых являются упорядоченные числовые последовательности [8–11]. Эти уравнения используются при анализе каскадных схем в электронике; моделировании волновых процессов в кусочнонеоднородных длинных линиях; описании процессов автоматического управления различными объектами (в том числе, радиоавтоматики); цифровой обработке сигналов; численном решении дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; интерполяции и экстраполяции функций: моделировании экологических задач и процессов популяционной динамики; решении экономических задач (например, расчет сложных процентов, управление депозитами); демографическом моделировании (например, прогнозирование половозрастной структуры и построение демографических пирамид).

Впособии понятие конечных разностей дается в рамках проблемы интерполяции функций, излагается классификация разностных уравнений, дается теоретическое обоснование основных методов решения линейных разностных уравнений и их систем. Основная цель пособия – формирование у студентов навыков решения разностных уравнений. Поэтому количество теорем и утверждений с доказательствами сведено

кминимуму, необходимому только для обоснования конкретной методики решения уравнений. Каждый раздел пособия сопровождается подробно разобранными примерами решения типовых задач с численным моделированием их решения в системе Mathcad.

6

1. ГЛОБАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ, КОНЕЧНЫЕ И РАЗДЕЛЕННЫЕ РАЗНОСТИ

1.1. Сеточная (решетчатая функция)

При построении математических моделей различных процессов широко используются функции одного или нескольких аргументов, заданные аналитически. К таковым можно отнести и следующие широко известные функции, описанные формулами (1.1)–(1.3) и являющиеся решениям соответствующих дифференциальных уравнений [4, 5]:

Наглядное представление о характере функции (1.1) можно получить из ее графика, представленного на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Визуализация функции (1.1) с помощью сплошной кривой

Из рис. 1.1 может показаться, что график функции построен на основе ее вычисления во всех точках интервала от 0 до 5. Однако визуализация графика функции при помощи сплошной кривой не означает, что она рассчитана во всех точках рассматриваемого интервала. Такой расчет не возможен в принципе, потому что числа в пределах любого непрерывного интервала образуют бесконечные множества. Ни одно из современных компьютерных средств не умеет работать с такими множествами. Их возможности ограничены работой только с конечными множествами

7

чисел. Графики функций также строятся на основе расчета функции в конечном множестве значений аргумента (конечных дискретных множествах) (см., например, рис. 1.2). В случае функций одного аргумента такой подход позволяет рассчитать координаты ( xj , yj ) точек на плоскости,

которые соединяются непрерывными отрезками линий.

Рис. 1.2. Визуализация функции (1.1) с помощью программного пакета

Mathcad [12]

Переход от непрерывных функций к их дискретным аналогам является общим при численном моделировании различных систем и процессов природы, техники и человеческого общества. При выполнении измерений в процессе экспериментов данные также представляют собой конечные дискретные множества чисел. В связи с этим в математике вводят в рассмотрение сеточные (решетчатые) функции, которые можно представить в виде таблицы [6, 7]. В табл. 1.1 представлен фрагмент сеточной функции одного аргумента, рассчитанного по формуле (1.1), показанной на рис. 1.2.

Таблица 1.1

Табличное представление фрагмента сеточной функции одного аргумента по формуле (1.1)

Численные значения аргумента сеточной функции ( xj ) обычно

называют узлами. Значения самой функции, соответствующей этим значениям, – узловыми.

Аналогично сеточной функции одного аргумента можно ввести в

рассмотрение и сеточную функцию двух и более аргументов (примеры

8

приведены в табл. 1.2 и на рис. 1.3). При рассмотрении дискретной функции двух дискретных аргументов ее область определения на плоскости разбивается узлами на сетку (решетку), что визуально соответствует названию «сеточная (решетчатая) функция».

Таблица 1.2

Табличное представление сеточной функции двух аргументов по формуле (1.2)

Рис. 1.3. Визуализация сеточной функции двух аргументов

Ниже будут рассматриваться сеточные функции только одного аргумента.

1.2. Интерполяция и аппроксимация функций

Часто при моделировании процессов или обработке данных эксперимента или численного анализа появляется необходимость вычисления функции (точнее, ее приближенного значения) в промежуточных точках. Для этого предполагают, что исходной сеточной функции соответ-

ствует некоторая непрерывная функция у х , которая может не иметь

аналитического представления в виде хорошо известных элементарных функций. Далее исходную непрерывную функцию у х заменяют неко-

торой приближенной, заданной в аналитическом виде и хорошо исследуемой функцией y x . В качестве такой приближенной функции y x

часто используют полином. При этом существует два широко распространенных подхода к решению такой проблемы приближения [6, 7].

9

При первом подходе в качестве приближенной функции y x вы-

бирают полином, степень которого (n) меньше на единицу числа узлов (n + 1) сеточной функции:

j 0

При этом полином в узловых точках xj должен быть равен значению сеточной функции y j :

Вэтом случае говорят, что функция y x интерполирует функцию

ух , соответствующую сеточной функции. Сама задача приближения

называется задачей интерполяции. Узлы xj называются узлами интер-

поляции, а формула (1.5) – условием интерполяции. Знание полинома y x позволяет вычислить значение функции у х в любой промежу-

точной точке х (хj , xj 1) .

Подчеркнем, что решить задачу интерполяции – значит найти такие коэффициенты полинома aj , при которых выполняется условие интер-

поляции (1.5).

При большом количестве узлов интерполяция требует расчета значений полинома огромной степени. При этом даже при найденных коэффициентах полинома aj расчет слагаемых с большими степенями

практически выполнить невозможно. Сама задача определения коэффициентов также приводит к громоздким вычислениям с большими числами. В этом случае приближение сеточной функции осуществляют путем минимизации некоторого функционала, построенного с помощью сеточной функции и полинома вида (1.4), степень которого (m) значительно меньше числа узлов n. В качестве такого функционала часто используют квадратичный:

n 2

S a0 ,a1, ..., am y j y xj , m n . (1.6)

j 0

Такое приближение функции y x к функции y х называют ап-

проксимацией точечным методом наименьших квадратов. Отметим, что

решить задачу аппроксимации этим методом – значит найти такие коэффициенты полинома aj , при которых выполняется условие мини-

мума функционала (1.6). При этом условие (1.5) равенства аппроксимирующего полинома в узловых точках xj значению сеточной функции

y j , как правило, не выполняется.

10