Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

1

y ( j)

1

j

Рис. 4.1. График функции для случая С = 0,2 и S = –0,4

4.6. Примеры нахождения общего решения стационарных однородных уравнений

1. Найти общее решение следующего уравнения: yj 2 yj 1 2yj 0 .

Квадратное характеристическое уравнение (k = 2):

2 2 0

имеет два различных корня 1 2, 2 1. Поэтому общее решение рассматриваемого в примере уравнения имеет вид (см. формулу (4.5))

y j C1 2 j C2 ,

где С1, С2 – произвольные постоянные.

Проверить правильность полученного решения можно его прямой подстановкой в исходное уравнение примера:

C1 2 j 2 C2 C1 2 j 1 C2 2 C1 2 j C2 0

2 j 2 2 j 1 2 2 j 0

2 2 2 1 2 0 4 2 2 0 0 0 истинно .

2.Найти общее решение следующего уравнения:

yj 2 3yj 1 2yj 0.

Квадратное характеристическое уравнение (k = 2)

2 3 2 0

51

имеет два различных корня: 1 2, 2 1. Поэтому общее решение рассматриваемого в примере уравнения имеет вид (см. формулу (4.5))

y j C1 2 j C2 1 j .

Самостоятельно проверьте правильность полученного решения. 3. Найти общее решение следующего уравнения:

yj 2 6yj 1 9yj 0.

Квадратное характеристическое уравнение (k = 2):

2 6 9 0

имеет один (s = 1) корень λ 3 кратности m = 2. Поэтому общее решение рассматриваемого в примере уравнения имеет вид (см. формулу (4.6))

y j C1 C2 j 3 j .

Проверить правильность полученного решения можно его прямой подстановкой в исходное уравнение примера:

C1 C2 j 2 3j 2 6 C1 C2 j 1 3j 1 9 C1 C2 j 3j 0

C1 C2 j 2 32 6 C1 C2 j 1 3 9 C1 C2 j 0

C1 C2 j 2 2 C1 C2 j 1 C1 C2 j 0

j 2 2 j 1 j 0 j 2 j j 0 0 0 истинно .

4.Найти общее решение следующего уравнения:

yj 3 4yj 2 yj 1 4yj 0.

Характеристическое уравнение третьей степени (k = 3)

3 4 2 4 0

имеет целочисленные коэффициенты.

Оно может быть быстро решено методом подбора корней на основе известного утверждения, что корни такого уравнения являются целочисленными делителями свободного члена. В рассматриваемом случае такими делителями свободного члена a3 4 являются числа –4, –2, –1,

1, 2, 4. Последовательной подстановкой этих чисел в характеристическое уравнение примера нетрудно найти его следующие три различных корня 1 4, 2 1, 3 1. Поэтому общее решение уравнения, рас-

сматриваемого в примере, имеет вид (см. формулу (4.5)) y j C1 4 j C2 1 j C3 ,

где С1, С2 , С3 – произвольные постоянные.

52

5. Найти общее решение следующего уравнения: yj 3 yj 2 yj 1 yj 0.

Характеристическое уравнение третьей степени (k = 3):

3 2 1 0

преобразуется к факторизованному виду

3 2 1 0 2 1 1 0 1 2 1 0

1 1 1 0 1 1 2 0.

Очевидно, оно имеет два корня (s = 2). Первый корень 1 1 крат-

ности 1 (m1 = 1), и корень 2 1 кратности 2 (m2 2, m1 m2 1 2 3). Поэтому общее решение уравнения, рассматриваемого в примере, имеет

вид (см. формулу (4.6))

yj C0,1 1 j C0,2 C1,2 j C1 1 j C2 C3 j .

Отметим, что здесь произвольные постоянные С0,1,С0,2 ,С1,2 , входя-

щие в общее решение (4.6) и имеющие двухиндексную нумерацию, перенумерованы в произвольные постоянные С1, С2 , С3 с одним индексом.

53

5. НОРМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Общие определения

Нормальной линейной системой разностных уравнений порядка k 2 называется система k линейных разностных уравнений следующего вида:

s 1

где x1, j , x2, j , , xk , j – неизвестные функции целочисленного аргумента (номера) j = 0, 1, 2, …; ai, s, j – заданные функции номера j = 0, 1, 2, …, называемые коэффициентами системы; qi, j – заданные функции номера

j = 0, 1, 2, …, называемыесвободными(неоднородными) членамисистемы. Причем матрица коэффициентов ai, s, j системы является невырож-

денной для всех j 0, 1, 2, , т. е. определитель этой матрицы не равен нулю для всех j 0, 1, 2, . Если матрица коэффициентов системы вы-

рожденная при всех j 0, 1, 2, , то порядок системы меньше k.

Запись нормальной линейной системы разностных уравнений (5.1) значительно упрощается, если воспользоваться матричными обозначениями:

используя которые систему уравнений (5.1) можно представить в форме

Отметим, что последняя формула по своей структуре аналогична формуле (2.10), задающей линейное разностное уравнение первого порядка. Однако в формуле (5.3) неизвестной является не одна функция, а набор функций, обозначенных через вектор xj (см. формулу (5.2)).

Линейная система (5.3) называется линейной однородной системой, если qj 0 для всех j 0, 1, 2, . В противном случае линейная система

(5.3) называется линейной неоднородной системой.

Решением нормальной линейной системы (5.3) называется век- тор-функция

54

1, jj 2, j ,k , j

заданная на множестве j = 0, 1, 2,… и удовлетворяющая системе (5.3) для каждого j = 0, 1, 2, ….

5.2. Разностная задача Коши и общее решение нормальной линейной системы разностных уравнений

где u – заданный числовой k-мерный вектор, то можно сформулировать следующую разностную задачу Коши: найти решение линейной систе-

мы (5.3), удовлетворяющее начальному условию (5.4).

При этом, существование решения разностной задачи Коши нетрудно доказать методом математической индукции. Действительно, на основании формул (5.3) и (5.4) можно последовательно записать:

x1 A0u q0 ;

x2 A1x1 q1 A1 A0u q0 q1 A1 A0u A1q0 q1; x3 A2 x2 q2 A2 A1 A0u A2 A1q0 A2q1 q2 ;

xj Aj 1xj 1 qj 1 Aj 1 A1 A0u Aj 1 A1q0 Aj 1qj 2 qj 1;

Тогда общее решение разностной задачи Коши по индукции можно представить в форме

Доказательство единственности решения разностной задачи Коши здесь опущено.

Таким образом, справедлива следующая теорема: решение разностной задачи Коши (5.3) и (5.4) существует и единственно.

55

Если начальное значение u не задано, то, полагая в формуле (5.5) вектор u равным некоторому произвольному вектору C получаем формулу всех решений системы (5.3):

однородной системы уравнений.

5.3. Линейное разностное уравнение порядка k как частный случай нормальной линейной системы разностных уравнений

Линейное разностное уравнение порядка k (см. формулу (3.2))

введением в рассмотрение новых неизвестных функций:

yj x1, j , yj 1 x2, j , yj 2 x3, j , , yj k 1 xk, j

может быть представлено в виде системы уравнений:

Последняя система уравнений является частным случаем системы уравнений (5.3) с матрицей коэффициентов и вектором свободных (неоднородных) функций следующего вида:

Таким образом, линейное разностное уравнение порядка k (см. формулу (3.2)) есть частный случай нормальной линейной системой разностных уравнений порядка k 2 (см. формулы (5.1) или (5.3)). Поэтому все утверждения, справедливые для этой системы, являются справедливыми и для линейного разностного уравнения порядка k.

56

5.4. Линейная однородная система разностных уравнений. Примеры

Рассмотрим теперь линейную однородную систему разностных уравнений порядка k

где заданная квадратная матрица Aj порядка k является невырожденной

при всех j = 0, 1, 2, ….

Для системы (5.9) справедливо следующее легко доказываемое утверждение, называемое принципом суперпозиции.

Если xj1 и x j2 два решения линейной однородной системы (5.9), а С1 и С2 есть произвольные числа, то суперпозиция этих решений вида:

x j C1x j1 C2 x j2

также является решением системы (5.9).

Из теоремы следует, что множество всех решений линейной однородной системы (5.9) образует линейное пространство. Как будет видно в дальнейшем, это линейное пространство является k-мерным.

Из формулы (5.6) при qj 0 следует, что всякое решение линейной однородной системы (5.9) имеет вид

j1

xj ApC ,

p 0

где C – произвольный числовой вектор с компонентами k.

Эта формула описывает все решения однородной системы (5.9), множество которых называют общим решением системы. Эта формула общего решения однородной системы, как, впрочем, и формула (5.6) решений неоднородной системы, на практике в случае j = 0, 1, 2, … малопригодна, поскольку требует вычисления произведения j матриц. При больших значениях j такое вычисление является очень трудоемким, даже при использовании современных программных средств. Эти формулы целесообразно использовать в том случае, когда j пробегает небольшое конечное множество целых чисел.

Другой подход к решению однородной системы (5.9) основан на понятии фундаментальной системы решений, в основе которого лежит определение линейной зависимости (независимости) конечного множества вектор-функций.

Вектор-функции y1, j , y2, j , , ym, j с n компонентами называются ли-

нейно зависимыми на множестве j = 0, 1, 2, …, если найдутся такие числа 1, 2 , , m не равные нулю одновременно, для которых равенство

57

1 y1, j 2 y2, j ... m ym, j 0

справедливо для всех j = 0, 1, 2, …. Если же это равенство справедливо для всех j = 0, 1, 2, … лишь при условии 1 2 ... m 0 , то век-

где 1 2 – заданные ненулевые числа, – являются линейно независимыми. Действительно, равенство

обращается в ноль, если линейная однородная алгебраическая система уравнений

j j 0;

1 1 2 2

1 1j 2 2j 0,

составленная относительно чисел α1, α2 имеет только тривиальное решение. Однако определитель матрицы этой системы

отличен от ноля при ненулевых числах 1, 2 . Другой пример. Столбцы

Любая система k линейно независимых решений 1, j , 2, j , ... , k, j

однородной линейной системы разностных уравнений (5.9) k-го порядка называется ее фундаментальной системой решений.

58

у которой столбцами являются вектор-функции фундаментальной системы решений

1, n, jn, j 2, n, j ,k , n, j

называется фундаментальной матрицей системы (5.9).

Перечислим некоторые свойства фундаментальной матрицы j

линейной однородной системы (9) без доказательства.

Матрица j является невырожденной, ее определитель отличен от ноля det j 0 для всех j = 0, 1, 2, ….

Для системы (5.9) существует бесконечно много матриц j .

Если j – фундаментальная матрица системы (5.9), то общее ре-

где C1,C2 , ,Ck – произвольные постоянные.

Матрица j на множестве j = 0, 1, 2, … удовлетворяет матричному уравнению вида

где X j – неизвестная квадратная матрица порядка k.

Если задана фундаментальная матрица j системы (5.9), то по ней

система (5.9) однозначно восстанавливается. Действительно, система (5.9) полностью определяется, если известна ее матрица Aj . Поскольку

j – решение системы (5.12), то

j 1 Aj j Aj j 1 j 1 .

59

Одной из фундаментальных матриц для линейной однородной системы (5.9) является матрица

j 1

j Ap .

p 0

5.5. Линейная неоднородная система разностных уравнений

Решение линейной неоднородной системы (5.3) (или, что то же самое, системы (5.1)) всегда можно свести к решению соответствующей линейной однородной системы (5.9), если известно какое-либо частное решение xj системы (5.3). Для этого в системе (5.3) достаточно сделать

замену xj yj xj , где через y j обозначено решение соответствующей

однородной системы (5.9). Действительно, подстановка последнего соотношения в уравнение (5.3) дает:

yj 1 xj 1 Aj y j xj qj Aj yj Aj xj qj ; yj 1 Aj yj .

Если j есть фундаментальная матрица для соответствующей од-

нородной системы, то на основании свойства 3 (см. формулу (5.10)) получаем следующую формулу всех решений неоднородной системы (5.1):

где C – произвольный k-мерный числовой вектор.

Эта формула называется формулой общего решения линейной неоднородной системы (5.3).

В том случае, когда известна лишь фундаментальная матрица j

линейной однородной системы (5.9), общее решение линейной неоднородной системы (5.3) также можно найти. Это делается методом вариации постоянных (методом Лагранжа). Заметим, что этот метод можно применять и для решения линейных неоднородных уравнений порядка k (см. уравнение (3.2) из главы 3), используя их сведение к линейным неоднородным системам (раздел 5.3, см. уравнения (5.7), (5.8)).

Как известно (см. формулу (5.10)), общее решение линейной однородной системы (5.9) имеет вид

xj jCj ,

где C – произвольный k-мерный числовой вектор. Следуя методу Лагранжа, будем искать решение xj линейной неоднородной системы (5.3) в том же виде, но считать C не постоянным вектором, а неизвестной векторфункциейцелочисленногоаргумента j = 0, 1, 2, …, т. е. полагаем xj jCj .

60