Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

При аппроксимации непрерывных функций y х полиномом y x

может быть использован другой распространенный метод, основанный на минимизации функционала, который носит название интегрального метода наименьших квадратов.

сводится к определению его коэффициентов aj . Используя условие ин-

терполяции (см. формулу (1.5)) нетрудно получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Поскольку все значения узлов интерполяции различны между собой, то ни одна из строк не является линейной комбинацией других строк. Поэтому определитель матрицы СЛАУ в формуле (1.8) не равен нулю, и она имеет единственное решение, которое в матричной форме имеет следующий вид [2, 3]:

В случае равноотстоящих узлов, xj 1 – xj h , решение уравнения (1.9) позволяет представить интерполяционный многочлен в форме [6, 7]:

11

где через величины y0k обозначены так называемые разности вперед

k-го порядка в нулевом узле интерполяции, которые могут быть получены по индукции (1.11):

Многочлен, записанный в форме (1.10), носит название интерполяционного многочлена Ньютона [6, 7].

Таким образом, задача интерполяции функции многочленом степени n сводится к вычислению конечных разностей вперед в нулевом узле интерполяции до порядка n включительно и записи интерполяционного многочлена Ньютона.

В качестве примера интерполяции на рис. 1.4 представлены таблицы сеточной функции и ее конечных разностей в нулевом узле. Графики сеточной функции и интерполирующего ее многочлена Ньютона представлены на рис. 1.5, точками и сплошными кривыми соответственно.

Рис. 1.4. Таблица сеточной функции и ее конечные разности в нулевом узле, рассчитанные в Mathcad [12]

Так же, как и выше, разности вперед (правые разности) в j-м узле можно определить по индукции

12

Рис. 1.5. График сеточной функции (точки) и интерполирующего ее многочлена Ньютона (сплошные кривые), рассчитанные в Mathcad [12]

Аналогично по индукции в j-м узле можно определить и разности назад (левые разности), и центральные разности [6, 7].

Правая конечная разность не может быть построена в конечном узле интерполяции, и наоборот, левая конечная разность не может быть построена в начальном узле интерполяции.

При численном анализе конечные разности аналогичны дифференциалам функции, широко используемым в математическом анализе.

1.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа, разделенные разности, интерполяционный многочлен Ньютона

К разностям и разностным уравнениям мы еще вернемся. А пока продолжим рассматривать задачу интерполяции. Очевидное достоинство интерполяционного многочлена в форме Ньютона (1.11), заключающееся в том, что добавление одного узла интерполяции к уже существующим приводит к необходимости расчета только нового (последнего) слагаемого, соответствующего новому добавленному узлу, и не требует пересчета всех предыдущих слагаемых. Однако он обладает и недостатком, связанным с тем, что интерполяция с его помощью возможна только для функций с равноотстоящим шагом. Кроме того,

13

для его расчета требуется предварительное вычисление конечных разностей. Свободен от этих недостатков так называемый интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, общая формула для которого может быть представлена в следующем виде [6, 7]:

Интерполяция на основе многочлена Лагранжа не требует предварительного расчета конечных разностей и возможна для сеточных функций с не равноотстоящим шагом. Недостатком интерполяционного многочлена в форме Лагранжа является необходимость пересчета всех слагаемых при добавлении нового узла интерполяции.

Отметим, что для одной и той же сеточной функции с равностоящим шагом интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают и могут быть приведены к виду каноническому виду полинома (1.4).

Интерполяционный многочлен в форме, аналогичной форме Ньютона, может быть построен и для сеточной функции с не равноотстоящими узлами, если использовать более общие объекты, называющиеся разделенными разностями, которые также могут быть определены по индукции. При этом, разделенная разность нулевого порядка в j-м узле

Нетрудно проверить, что в случае равноотстоящих узлов сеточной функции разделенные разности выражаются через конечные разности:

14

Используя разделенные разности интерполяционный многочлен Ньютона может быть записан в форме

Последняя формула остается справедливой и для случая не равноотстоящих узлов.

В вычислительной математике разделенная разность играет роль, аналогичную роли производной в математическом анализе.

Любая интерполяция, какой бы точной она не была, – это все-таки приближение. Оценку погрешности такого приближения в некоторой точке в случае, когда сеточная функция получена путем дискретной выборки из непрерывного множества значений некоторой известной, аналитически заданной функции y(x), можно выполнить, используя следующую формулу:

Если сеточная функция не является дискретной выборкой из непрерывного множества значений известной аналитической функции, например получена путем экспериментальных измерений или численного решения некоторого уравнения, то оценка погрешности приближения выполняется при помощи добавочного (n + 1)-го слагаемого в интерполяционном многочлене Ньютона на основании следующего неравенства:

Отметим, что интерполяция, использующая сразу все п узлов сеточной функции, называется глобальной интерполяцией

При большом числе узлов глобальная многочленная интерполяция становится неустойчивой в том смысле, что погрешности возрастают, т. к. записанный интерполяционный многочлен требует наличия у него непрерывных производных больших порядков. Поэтому обычную многочленную интерполяцию осуществляют максимум по 3–4 узлам (для трех узлов требуется многочлен второй степени, для четырех узлов – многочлен третьей степени). Интерполяцию по нескольким узлам называют локальной: линейной по каждым двум узлам, квадратичной по каждым трем узлам и т. д. Однако такая локальная интерполяция с помощью интерполяционных мно-

15

гочленов Ньютона и Лагранжа страдает тем недостатком, что интерполирующая функция в узлах стыковки многочлена имеет разрывные производные. От этого недостатка свободна сплайн-интерполяция, которая требует непрерывности в узлах стыковки локальных многочленов по производным соответственнопорядкаодин, дваит. д.

Обширная теория приближения функций не являются основной целью нашего курса. Материал, представленный в этой разделе, демонстрирует естественное появление конечных разностей при решении задачи глобальной интерполяции функций многочленами. Эта далеко не единственная задача, при решении которой появляются конечные разности и, как следствие, так называемые разностные уравнения. Теория разностных уравнений находит многообразные приложения во многих областях естествознания при моделировании поведения систем различной природы. Разностные уравнения обычно возникают тогда, когда рассматриваемая величина регистрируется через некоторые (как правило, равные) промежутки времени. Поэтому теория разностных уравнений имеет обширные приложения при моделировании различных автоматизированных систем. Последующий материал будет посвящен рассмотрению основных методов решения разностных уравнений, которые имеют глубокие аналогии с методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

x0 1, x1 0, x2 1. Вычислить значение многочленов в точке x 0,5.

Решение

Составим сеточную функцию и занесем ее в табл. 1.3.

Поскольку n = 2, то для построения интерполяционного многочлена Ньютона необходимо вычислить конечные разности первого и второго порядка:

y0 y1 y0 1 13 23 , y02 y2 2 y1 y0 3 2 13 113 .

Тогда, учитывая то, что h = 1,

16

N x 13 23 x 1 64 x 1 x 23 x2 43 x 1 .

Интерполяционный многочлен Лагранжа построим, используя формулу (1.26):

Получен результат, подтверждающий теорему о единственности многочленной интерполяции [6, 7], поскольку L(x) N x .

Расчет в точке x 0,5 дает: N 0,5 L 0,5 1,833 . Непосредственный расчет функции f (x) 3x в точке x 0,5 дает:

f0,5 30,5 1,732.

Всоответствии с формулой (1.24) ошибка интерполяции не превышает величину 0,1, что приблизительно составляет 5,8 .

2. Для заданных данных, приведенных в табл. 1.4, составить интерполяционный многочлен Ньютона.

Решение

Таблица задана с неравномерным шагом, поэтому для решения задачи воспользуемся многочленом Ньютона с разделенными разностями

(формула (1.27)):

N x y0 x0 , x1 x x0 x0 , x1, x2 x x0 x x1 . (1.27)

Вычислим разделенные разности:

17

Таким образом,

N x 109 x2 169 x 1.

Условия интерполяции соблюдены: N 1 1/ 3, N 0 1, N 2 9.

18

2. Линейные разностные уравнения первого порядка

его в тождество во всех узлах с номером j.

После замены разностей в уравнении (2.1) их выражениями через узловые значения функции по (1.17) из первой раздела оно будет явно содержать неизвестные узловые значения сеточной функции:

Порядок уравнения (2.1) (или, что то же самое, уравнения (2.2)) равен разнице между максимальным и минимальным номером узла явно входящих в уравнение узловых значений функции. В частности, порядок равен k, если после такой замены уравнение (2.1) явно содержит как y j k , так и y j .

Например, определим порядок разностного уравнения:

3 y j – 3 y j – Сy j 0,

который очевидно зависит от значения числового параметра C. Заменив3 yj и yj на их выражения по (1.15), (1.17), придём к уравнению:

yj 3 – 3yj 2 2 – С yj 0.

При C 2 это уравнение явно содержит три значения функции с номерами j 3, j 2 и j соответственно. Разница между максимальным

и минимальным аргументами равна j 3 j 3 , поэтому при C 2

порядок уравнения равен 3. В случае C = 2 уравнение принимает вид yj 3 –3yj 2 0 . Видим, что в уравнение явно входят лишь два значения

функции с номерами j 3 и j 2 , разница между которыми равна 1, по-

этому при C = 2 порядок уравнения равен 1. Вводя новый индекс s j 2 , это уравнение можно представить в стандартном виде:

ys 1 – 3ys 0 .

19

К разностным уравнениям могут быть сведены задачи из различных областей науки. Хорошо известна задача итальянского математика Фибоначчи или Леонардо Пизанского (жившего около 1200 г.) о размножении кроликов, решением которой является ряд чисел Фибоначчи. В электронике к разностным уравнениям сводятся задачи расчета электрических цепей с последовательным (каскадным) соединением однотипных узлов, в частности задача расчета резистивной матрицы цифроаналогового преобразователя. К разностным уравнениям приводят задачи экономики, ботаники, биологии. Задачи описания, анализа и синтеза дискретных динамических систем, в том числе систем управления, также могут сводиться к разностным уравнениям. В современной теории нелинейных колебаний разностные уравнения появляются либо самостоятельно, либо при переходе от дифференциальных уравнений к точечным отображениям Пуанкаре. В вычислительной математике огромное значение имеют конечно-разностные схемы, используемые для приближенного решения дифференциальных уравнений. Эти схемы также приводят к разностным уравнениям [6–11].

2.2.Задача Коши для разностного уравнения, представимого

внормальной форме

Вуравнение (2.1) (или, что то же самое, уравнение (2.2)) входит значение сеточной функции y j k в узле с максимальным номером.

При условии разрешимости уравнения (2.2) относительно y j k разностное уравнение порядка k можно представить в виде

yj k G j, yj , yj 1, ..., yj k 1 0, j 0,1, 2, ..., n , (2.3)

который носит название нормальной формы разностного уравнения.

значно определяются по уравнению (2.3) заданием k начальных значе-

20