Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

3.ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

ИИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

3.1. Линейное разностное уравнение k-го порядка

Если функция F в уравнении (2.1) линейна по всем аргументам, начиная со второго, то это уравнение может быть приведено к следующей форме

Уравнение (3.2) (или (3.1)) при условии аk, j ≠ 0 называется линейным разностным уравнением порядка k. Уравнение (3.2) иногда называют линейным рекуррентным уравнением порядка k, или линейным дискретным отображением порядка k, а аргумент j = 0, 1, 2, … – дискретным временем. Началом отсчета аргумента j может быть не только j = 0, но и любое целое число j0 > 0.

Функции целочисленного аргумента jаn, j 0, n 0,1, , n часто называют коэффициентами уравнения, а функцию qj – его правой ча-

стью или неоднородным членом. Ниже всегда будем считать, что аk , j 0 , т. к. в противном случае порядок уравнения может быть пони-

жен на единицу заменой индекса j 1 m.

Если qj 0 для всех j 0,1, 2, , то уравнение (3.2) называется

линейным однородным разностным уравнением порядка k. В противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением порядка k. Заданная для всех j 0,1, 2, последовательность j называется реше-

нием уравнения (3.2), если она обращает уравнение (3.2) в числовое тождество для всех j 0,1, 2, . График решения уравнения (3.2) представ-

ляет собой последовательность точек плоскости с координатами ( j, j ).

Из главы 2 ясно, что решение линейных разностных уравнений не определяется единственным образом. Для получения единственного решения таких уравнений необходимо задавать дополнительные условия. Если для уравнения (3.2) задаются дополнительные условия, то будем говорить, что задана разностная задача. Чаще всего дополнительными условиями для уравнения (3.2) выступают начальные условия (см. формулу (2.4)). Задачу нахождения решения уравнения (3.2), удовлетворяющего начальным условиям

31

называют разностной задачей Коши.

В теории разностных уравнений доказывается теорема о существо-

вании и единственности решения разностной задачи Коши для уравне-

ния (3.2). Существование решения этой задачи легко понять, используя метод последовательных подстановок. Действительно, полагая j = 0 и подставляя начальные значения в (3.2), можно последовательно найти

в уравнение (3.2) и использование начальных условий (3.3) позволяют найти любое значение решения yj разностной задачи. Единственность решения разностной задачи Коши в этом разделе не рассматривается.

Заметим, что, если задавать начальные значения не в первых k последовательных точках, как в начальных условиях (3.3), то решение разностной задачи может либо не существовать, либо быть не един-

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Легко проверить, что при дополнительных условиях y0 y2 0 раз-

ностная задача имеет бесконечно много решений. Действительно, эти условия эквивалентны следующим уравнениям относительно C1 и C2 :

0 C1 1 C2 0, C1 0;

0 C2 0,

из которых следует, что они будут выполнены при любом значении C2 . Другие дополнительные условия, y0 0, y2 1, приводят к уравнениям относительно C1 и C2 , не имеющим решения

32

0 C1 1 C2 0, C1 0;

1 0 1 C2 0, 1 0.

Разностная задача для них решений не имеет.

3.2. Линейное однородное разностное уравнение k-го порядка

Для однородного уравнения, соответствующего уравнению (3.2):

имеет место следующая теорема, называемая принципом суперпозиции для уравнения (3.6).

Если каждая из функций y1, j , y2, j , , ym, j является решением ли-

нейного однородного разностного уравнения, то их произвольная линейная комбинация вида

n 1

где Cn – произвольные числовые коэффициенты, также является реше-

нием этого уравнения.

По условию теоремы каждая из функций yn, j n 1, , m обращает линейное однородное разностное уравнение в тождество:

Подстановка суперпозиции этих функций (3.7) в линейное однородное разностное уравнение (3.6) приводит к следующему:

y j k a1, j y j k 1 ... ak 1, j y j 1 ak , j y j

а значит, суперпозиция функций (3.7) является решением линейного однородного разностного уравнения.

Для дальнейшего изложения потребуется понятие линейной зависимости (независимости) сеточных функций на множестве индексов j 0, 1, 2, . По своему смыслу оно алогично определению линейной

зависимости (независимости), используемому в курсе линейной алгебры.

называются линейно зависимыми на множестве j 0, 1, 2, , если су-

33

ществуют такие постоянные 1, 2 , , m , не равные нолю одновременно, что выполняется равенство

1 y1, j 2 y2, j ... m ym, j 0 .

Если же последнее равенство справедливо лишь при нулевых по-

Примером линейно независимых функций являются степенные функции a j и b j , где заданные ненулевые числа a и b не равны друг другу (a b). Обратным примером линейно зависимых функций явля-

ются следующий набор трех функций cos2 j 2 , sin2 j 2 и 1.

Приведем без доказательства теорему о линейной независимости

не обращается в ноль, D( y1, j , y2, j , , yk , j ) 0 для всех j = 0, 1, 2, … . Система k линейно независимых на множестве всех j = 0, 1, 2, …

решений 1, j , 2, j , ..., k, j линейного однородного разностного уравнения

(3.6) порядка k называется его фундаментальной системой решений.

Например, нетрудно проверить, что функции 2 j и 3j являются решениями уравнения

yj 2 5yj 1 6yj 0 .

Действительно,

2 j 2 5 2 j 1 6 2 j 2 j 22 5 21 6 2 j 4 10 6 2 j 0 0; 3 j 2 5 3j 1 6 3 j 3j 32 5 31 6 3 j 9 15 6 3 j 0 0 .

Также можно проверить, что они являются линейно независимыми решениями. Действительно,

34

Следовательно, функции 2 j и 3j образуют фундаментальную си-

стему решений заданного уравнения.

Важно отметить, что фундаментальная система решений не единственна. Мало того, справедлива следующая теорема.

Для линейного однородного уравнения (3.6) существует бесконечно

много фундаментальных систем решений.

Множество всех решений линейного однородного разностного уравнения (3.6) называется его общим решением. Общее решение содержит все без исключения решения, определяемые произвольно заданными начальными условиями (3.3).

Если 1, j , 2, j , ..., k, j – фундаментальная система решений уравнения (3.6), то его общее решение уравнения (3.2) задается формулой

где C1, C2 , ..., Ck – произвольные постоянные.

На основании изложенного выше материала можно дать геометрическую интерпретацию множеству решений линейного однородного разностного уравнения (3.6). Легко проверить, что для решений этого уравнения выполняются все аксиомы линейного пространства. При этом фундаментальная система решений этого уравнения является базисом этого линейного пространства. Следовательно, множество всех решений линейного однородного разностного k-го порядка образует k-мерное линейное пространство.

3.3. Линейное неоднородное разностное уравнение k-го порядка

Рассмотрим теперь линейное неоднородное разностное уравнение (3.2) порядка k. Можно показать, что если известно какое-либо частное решение yj уравнения (3.2), обращающее его в тождество, то замена

yj zj y j неизвестной функции yj на новую неизвестную функцию zj

приводит неоднородное уравнение (3.2) к соответствующему однородному уравнению относительно zj . Действительно, рассматривая левую

часть уравнения (3.2) как действие линейного оператора ˆ на функцию

L

ного уравнения (3.6), соответствующего неоднородному уравнению (3.2) (полученному из него путем обнуления неоднородного члена qj 0 ).

35

Если 1, j , 2, j , ..., k, j – фундаментальная система решений уравнения (3.6), то

и, следовательно, любое решение уравнения (3.2) имеет вид

Таким образом, зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (3.6), соответствующего неоднородному уравнению (3.2), и угадав частное решение неоднородного уравнения (3.2), можно всегда получить общее решение неоднородного уравнения (3.2) в виде суммы общего решения соответствующего ему однородного уравнения и угаданного частного решения.

Нетрудно проверить, что его частным решением y j является единица, y j 1. Действительно, 1 5 6 2 .

Поэтому общее решение неоднородного уравнения (3.8) может быть получено в виде

Следующее утверждение часто применяется для упрощения решения линейного неоднородного уравнения (3.2). Оно называется принци-

пом суперпозиции.

Пусть неоднородный член в уравнении (3.2) есть сумма двух функций: q j q j1 q j2 для всех j = 0, 1, 2,… . Пусть функция y j1 есть решение этого уравнения для случая, когда правая часть равна одной из этих функций, например, q j1 . Пусть функция yj2 есть решение этого уравнения для случая, когда правая часть равна другой из этих функций, например qj2 . Тогда сумма этих решений, y j y j1 y j2 , также

является решением уравнения (3.2).

Если известна лишь фундаментальная система решений1, j , 2, j , ..., k, j линейного однородного уравнения (3.6), то методом

вариации постоянных всегда можно найти общее решение соответству-

36

ющего линейного неоднородного уравнения (3.2). Для уравнений 1-го порядка этот метод рассмотрен в разделе 2. Рассмотрим этот метод для уравнения 2-го порядка

Пусть функции 1, j , 2, j образуют какую-либо фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения

общее решение которого может быть представлено в виде

yj C1 1, j C2 2, j ,

где C1, C2 – произвольные постоянные.

Будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения (3.10) в аналогичном виде, при этом считая коэффициенты C1, C2 про-

извольными сеточными функциями C1 C1, j ,C2 C2, j . Другими словами, общее решение уравнения (3.10) ищем в виде

между собой условием обращения в тождество уравнения (3.10) при подстановке в него выражения для yj, заданного формулой (3.12). Поэтому можно использовать еще одно условие (вообще любое), связывающее C1,j, C2,j между собой. Потребуем, чтобы при всех j 0,1, 2, для

них выполнялось предложенное Лагранжем соотношение

где C1, j C1, j 1 C1, j и C2, j C2, j 1 C2, j – конечные разности вперед

сеточных функций в j-м узле (см. уравнение (1.14)). Уравнение (1.14) – это линейное алгебраическое уравнение, которое связывает между собой разности первого порядка неизвестных функций C1, j , C2, j . Второе

уравнение относительно этих разностей можно получить, если подставить выражение для yj, заданного формулой (3.12), в уравнение (3.10):

37

Из уравнения (3.13) следует, что для всех j = 0, 1, 2, … справедливо равенство

C1, j 2 1, j 2 C2, j 2 2, j 2 C1, j 1 1, j 2 C2, j 1 2, j 2 .

Заменяя первые два слагаемых в формуле при помощи последнего равенства в уравнении (3.15), а выражение в скобках при помощи формулы (3.13), его можно преобразовать к виду

C1, j 1 1, j 2 C2, j 1 2, j 2 a1, j C1, j 1, j 1 C2, j 2, j 1a2, jC1, j 1, j a2, jC2, j 2, j q j .

Выделить в последнем уравнении разности C1, j C1, j 1 C1, j иC2, j C2, j 1 C2, j можно, прибавляя к левой части 2 ноля, выраженные

следующим образом – 0 C1, j 1, j 2 C1, j 1, j 2 и 0 C2, j 2, j 2 C2, j 2, j 2 :

C1, j 1 1, j 2 C1, j 1, j 2 C1, j 1, j 2 C2, j 1 2, j 2 C2, j 2, j 2 C2, j 2, j 2

a1, j C1, j 1, j 1 C2, j 2, j 1 a2, jC1, j 1, j a2, jC2, j 2, j

C1, j 1, j 2 C2, j 2, j 2

C1, j 1, j 2 a1, j 1, j 1 a2, j 1, j

C2, j 2, j 2 a1, j 2, j 1 a2, j 2, j qj .

Поскольку функции 1, j , 2, j являются решениями однородного

уравнения (3.11), то справедливы равенства 1, j 2 a1, j 1, j 1 a2, j 1, j 0 и 2, j 2 a1, j 2, j 1 a2, j 2, j 0. При этом из последнего соотношения следует второе линейное алгебраическое уравнение, связывающее между собой конечные разности C1, j и C2, j .

Уравнения (3.14) и (3.16) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно конечных разностей неизвестных функций C1, j , C2, j . Определитель этой системы отличен от ноля

т. к. функции 1, j , 2, j образуют фундаментальную систему решений.

Используя правило Крамера [2], решение этих уравнений можно получить в виде

38

Из этих равенств последовательно можно определить значения C1, j ,

C2, j при любом j = 0, 1, 2, …:

Следовательно, общее решение (3.12) уравнения (3.3) может быть представлено в виде

где с1 и с2 – произвольные постоянные.

Можно показать, что общее решение неоднородного уравнения (3.10), задаваемое формулой (3.19), представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (3.11) и частного решения неоднородного уравнения (3.10). Действительно, после раскрытия скобок уравнение можно переписать в форме

В последней формуле сумма c1 1, j c2 2, j есть общее решение од-

нородного уравнения (3.11). Последнее слагаемое в этой формуле, очевидно, есть частное решение неоднородного уравнения (3.10) построен-

39

ного при помощи фундаментальной системы решений однородного уравнения 1, j , 2, j .

Для применения метода вариации постоянных на практике необходимо вычислять суммы j слагаемых в каждом узле и, поэтому, его применение в общем случае затруднено. Однако этот метод находит широкое применение при теоретическом анализе.

3.4.Примеры

Вкачестве примера рассмотрим уравнение

Используя формулу (3.20), можно найти решение разностной задачи Коши (см. формулу (3.3)) для уравнения (3.10). Для этого необходимо подобрать постоянные с1 и с2 так, чтобы формула (3.20) удовлетворяла условиям:

40