Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

Тем самым общее решение разностного уравнения порядка k зависит от k начальных условий, которые могут быть заданы произвольным образом. В общем случае численные значения начальных условий могут быть заданы через соотношения, зависящие от численных значений k произвольных постоянных C0 , C1, , Ck 1. Таким образом, можно считать, что

представления yj через функции f и g. Решение, получающееся из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных (или, что то же самое, при заданных yj0 , yj0 1, , yj0 k 1 ),

называется частным. Задача отыскания решения yj уравнения (2.3) для всех j j0 1, j0 2, ..., удовлетворяющего начальным условиям (2.4),

называется задачей Коши.

2.3. Решение задачи Коши разностного уравнения в нормальной форме последовательными подстановками

Задав начальные значения (см. формулу (2.4)), можно по формуле (2.5) рекуррентновычислитьвсеостальныеэлементыпоследовательности y j :

yj0 u0 ;

yj0 1 u1;

...

yj0 k f j0 k, yj0 , yj0 1,..., y j0 k 1 ;

y j0 k 1 f j, y j0 1, y j0 2 ,..., yj0 k

f j, yj0 1, yj0 2 ,..., f j0 k, yj0 , yj0 1,..., y j0 k 1

и т. д. Такой метод решения задачи Коши носит название последовательных подстановок и применим к произвольным разностным уравнениям, хотя и трудоёмок при вычислении yk p с большими p. В изложен-

ном здесь методе подстановок можно считать, что j0 0, т. к. в противном случае заменой индекса j j j0 можно получить функцию от сдвинутого целочисленного аргумента j , для которой начальные условия даны начиная с j 0 0 .

21

2.4. Решение линейных разностных уравнений 1-го порядка

Если правая часть уравнения первого порядка, представленного в нормальной форме (2.3), является линейной функцией по своим аргумен-

там, то оно называется линейным разностным уравнением 1-го порядка:

Это уравнение при помощи формулы для конечной разности первого порядка из первого раздела (1.15) может быть представлено в нормальном виде

bj 1 и qj 0 – неоднородным.

В особом случае bj 1 уравнение (2.8) принимает форму y j 1 qj ,

которая после замены индекса j + 1 = n преобразуется к простому рекуррентному соотношению

которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка. Ниже этот случай будет исключен из рассмотрения.

где в отличие от (2.8) для сокращения записей введен коэффициент aj 1 bj (особому случаю соответствует теперь aj 0 ).

Для aj 1 и qj b уравнение (2.10) преобразуется в уравнение арифметической прогрессии с разностью d:

22

Если qj 0 для всех j 0,1, 2, , то уравнение (2.8) (или, что то же

самое, уравнение (2.10)) называется линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае оно называется линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка. Заданная для всех j 0,1, 2, последовательность j называется решением

уравнения (2.10), если она обращает уравнение (2.10) в числовое тождество для всех j 0,1, 2, . График решения (2.10) представляет собой

последовательность точек плоскости с координатами ( j, j ) .

2.4.2. Общее решения линейного разностного уравнения 1-го порядка

Несмотря на значительную трудоемкость метода последовательных подстановок при выполнении практических вычислений, с его помощью нетрудно получить формулу общего решения линейного однородного

разностного уравнения первого порядка

Таким образом, общее решение однородного уравнения (2.15) может быть представлено в форме

n 0

где C = y0 – произвольная постоянная, задаваемая начальными условия-

ми; Aj 1 j nj 10 an ( j N) – введенное обозначение.

Для решения линейного неоднородного разностного уравнения 1-го порядка (2.10) можно использовать метод вариации постоянной. Для этого будем искать его решение в виде, аналогичном (2.16), но при этом считать коэффициент С не постоянной величиной, а некоторой неизвестной решетчатой функцией Сj :

23

После подстановки (2.17) в (2.10) нетрудно получить следующее уравнение:

Поскольку Aj ≠ 0 для всех j = 0, 1, 2, …, то последовательные подстановки позволяют получить решение для Cj в форме

Подстановка (2.21) в (2.17) позволяет получить общее решение линейного неоднородного разностного уравнения 1-го порядка (2.10) в виде

где B C0 – произвольная постоянная.

Для нахождения какого-либо конкретного решения уравнения (2.10) необходимо задать дополнительное условие, например начальное (см. формулу (2.4)) y0 u, где u – заданное число.

Задачу нахождения решения уравнения (2.10), удовлетворяющего начальному условию y0 u, обычно называют разностной задачей Ко-

ши для уравнения (2.10).

Решение разностной задачи Коши для уравнения (2.10) существует, единственно при любом u R и задается формулой (2.22) при замене в ней произвольной постоянной B на начальное условие u.

2.5. Примеры нахождения общего решения уравнения 1-го порядка

Решим следующее уравнение:

Из сравнения этого уравнения с уравнением (2.10) следует:

24

Тогда

В соответствии с (2.22) общее решение уравнения (2.23) может быть представлено в форме

где B – произвольная постоянная.

На рис. 2.1 представлен график ( j, y j ) сеточной функции y j , по-

строенный с использованием последней формулы в пакете Mathcad [12] и являющийся решением уравнения для четырех различных значений произвольной постоянной: B = 0 (кружочки), B = 1 (квадратики), B = –1 (ромбики) и B = –2 (треугольники).

Рис. 2.1. Семейство решеточных функций, являющихся решением уравнения (2.23) и рассчитанных в Mathcad [12]

25

Следует отметить, что в общем случае суммирование j слагаемых и умножение j сомножителей, через которые выражено общее решение (2.22), могут не приводить к элементарным функциям от номера j, как в разобранном примере. Тогда для получения общего решения уравнения (2.10) необходимо вычислять суммы j слагаемых и произведения j сомножителей в каждом узле решеточной функции. В таких случаях, при заданном начальном условии, формула (2.22) решения разностной задачи Коши на практике позволяет найти лишь значения решения y j при нескольких первых значениях j N .

В качестве примера на рис. 2.2 приведен график функции (xj , y j ) ,

построенный с использованием формулы (2.22) в программной среде Mathcad и являющийся решением уравнения (2.10) при aj 1, qj lnj,

j N, q0 0 для трех различных начальных условий u = 0 (кружочки), u = 1

(квадратики) и u = –1 (ромбики). Показанная на этом рисунке функция не относится к классу элементарных. При ее расчете суммы j слагаемых и произведенияj сомножителейвычислялисьвкаждомузле.

Рис. 2.2. Семейство решеточных функций, являющихся решением линейного неоднородного разностного уравнения 1-го порядка и не относящихся к классу элементарных функций

Рассмотрим другие примеры нахождения общего решения линейных разностных уравнений 1-го порядка.

1. Найти общее решение следующего уравнения:

26

Решение

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2.10), видим, что

Сумму, стоящую в скобках формулы (2.22) найдем, пользуясь возможностями символических вычислений в Mathcad [12] или справочни-

ком [13, 14]:

Поэтому общее решение может быть получено в виде простой рекуррентной формулы:

yj С j j 2 j 1 .

Проверить правильность полученного решения можно прямой подстановкой полученного решения в исходное уравнение рассматриваемого примера.

27

2. Найти общее решение следующего уравнения: y j 1 jj 32 y j j 3 4 .

Решение:

Перепишем уравнение в виде уравнения (2.10) y j 1 jj 32 y j j 3 4 .

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2.10), видим, что

Сумму найдем, используя возможности символьных вычислений в Mathcad [12] или пользуясь справочником [13, 14]:

Поэтому общее решение может быть получено в виде простой рекуррентной формулы:

Поскольку C – произвольная постоянная, то и C/2 – тоже произвольная постоянная. Переобозначая C/2 = C, окончательно получим:

28

Проверить правильность полученного решения можно прямой подстановкой его в исходное уравнение рассматриваемого примера.

Для нахождения какого-либо конкретного решения уравнения (2.10) необходимо задать дополнительное условие, например начальное y0 u, где u – заданное число.

Задачу нахождения решения уравнения (2.10), удовлетворяющего начальному условию y0 u, обычно называют разностной задачей Коши

для уравнения (2.10). Решение разностной задачи Коши для уравнения (2.10) существует, единственно при любом u R и задается формулой (2.22) призаменевнейпроизвольнойпостояннойB наначальноеусловиеu.

2.6. Пример решения задачи Коши для линейного разностного уравнения 1-го порядка

Решить следующую разностную задачу Коши: y j 1 4 y j 2 j 2 3j , y0 0 .

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (1), видим, что a j 4, q j 2 j 2 3 j ,

тогда

j 1

Aj 1 j 4 4j .

n 0

Сумму найдем, используя возможности символьных вычислений в Mathcad [12] или пользуясь справочником [13, 14]:

29

Элементарные тождественные преобразования (здесь опущены) приводят к следующему простому выражению для суммы:

Поэтому общее решение может быть получено в следующем виде простой рекуррентной формулы:

y j 4 j С 2 4 j 1 j 4 3j .

Из заданного начального условия y0 = 0 следует, что C = 0. Тогда решение разностной задачи Коши может быть получено в виде

y j 2 4 j 1 j 4 3j .

Проверить правильность полученного решения можно прямой подстановкой его в исходное уравнение рассматриваемого примера (сделайте самостоятельно).

30