Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

Решение системы линейных однородных уравнений (3.24) относительно постоянных с1 и с2 всегда существует и единственно, т. к. функ-

ции 1, j , 2, j образуют фундаментальную систему решений.

Рис. 3.1. График функции (3.22), являющийся решением разностной задачи Коши для уравнения (3.21) при начальных условиях u1 = y0 = 1,5 и u1 = y1 = –4,1

На рис. 3.1 представлен график функции (3.22), являющейся решением разностной задачи Коши для уравнения (3.21) для начальных условий u1 1,5 и u2 –4,1 (в этом случае постоянные равны: c1 7,1 и c2 –5,6 ).

41

4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

4.1. Общие определения, свойства

Линейным разностным стационарным уравнением порядка k называется уравнение:

Отметим, что в уравнениях, рассмотренных в главах 2 и 3, постоянство присутствующих в них коэффициентов не требовалось (см., напри-

мер, формулы (3.1) и (3.2)).

Весь материал, изложенный в предыдущей главе, применим и к уравнению (4.1). Общее решение линейного разностного уравнения порядка k, полученное в главе 3, предполагало, что система фундаментальных решений соответствующего однородного уравнения (3.6) является известной. Отметим, что поиск фундаментальной системы решений для уравнений с переменными коэффициентами часто оказывается очень сложной задачей. Она может быть решена специальными методами, пригодными только для некоторого конкретного уравнения и не распространяющимися на другие уравнения с переменными коэффициентами. При этом метод определения фундаментальной системы решений однородного уравнения с постояннымикоэффициентаминезависитотихчисленных значений, унифицирован и прост с теоретической точки зрения. Это в первую очередь основано на факте существования нетривиального (отличного от тождественного ноля) решенияоднородногоразностногостационарногоуравненияпорядкаk:

Действительно, подставляя функцию (4.3) в уравнение (4.2), можно получить:

j k a1 j k 1 ... ak 1 j 1 ak j j k a1 k 1 ... ak 1 1 ak 0 .

Поскольку по условию ak 0 , то 0 и из последнего соотноше-

ния следует характеристическое уравнение для разностного стационарного уравнения порядка k (4.2):

42

Корни характеристического уравнения (4.4) могут быть как простые, так и кратные и при этом иметь либо вещественные, либо комплексные значения. Рассмотрим перечисленные случаи.

4.2. Общее решение однородного уравнения при вещественных попарно различных корнях характеристического многочлена. Пример

В этом случае решения уравнения (4.2), 1j , 2j , ..., kj , являются ли-

нейно независимыми, т. к. составленный из них определитель отличен от ноля. Действительно,

где W ( 1, 2 , , k ) – известный из курса линейной алгебры определитель Вандермонда для чисел 1, 2, , k . Это определитель отличен от ноля для случая попарно различных чисел 1, 2 , , k .

Поэтому попарно различные решения 1j , 2j , , kj образуют фун-

даментальную систему решений, используя которую общее решение однородного разностного стационарного уравнения порядка k можно представить в форме

где С1, С2 , , Сk – произвольные постоянные.

Рассмотрим пример получения общего решения следующего уравнения:

yj 2 yj 1 2yj 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид 2 2 0 ; его корни равны: 1 2, 2 1, тогда общее решение записывается в форме

yj C1 2 j C2 ,

где С1, С2 – произвольные постоянные.

43

4.3. Общее решение однородного уравнения при кратных корнях характеристического многочлена. Пример

Пусть теперь характеристическое уравнение (4.4) имеет кратные

Если 0 – корень кратности m характеристического уравнения (4.4), то можно показать, что каждая из следующих функций, 0j , j 0j , j2 0j , , jm 1 0j , является решением уравнения (4.2).

функций nj , j nj , j2 nj , ..., jmn 1 nj , где n = 1, 2, …, s, образует фундаментальную систему решений однородного стационарного разностного

уравнения (4.2) порядка k. В этом случае его общее решение можно записать в виде

где Ci, n (i 0, 2, , mn 1) – произвольные постоянные.

Все утверждения, приведенные в этом подразделе выше, на основании которых была записана формула (4.6), примем без доказательства. Проверить справедливость этих утверждений для частных случаев не трудно. Например, в случае, когда порядок уравнения (4.2) равен

2 (k 2) y j 2 a1 y j 1 a2 y j 0, j 0,1, 2, ..., a2 0 и корень 0 его харак-

теристического уравнения (4.4) также имеет кратность, равную 2. При этом однородное стационарное разностное уравнения порядка 2

44

имеет два решения 0j и j 0j . Проверить то, что функция j 0j является решением такого уравнения, можно непосредственной подстановкой:

Таким образом, в случае, когда характеристическое уравнение, составленное для однородного стационарного разностного уравнения порядка 2, имеет корень 0 кратности 2, его общее решение может быть

представлено в форме y j С1 С2 j 0j , где C1 иC2 – произвольные по-

стоянные.

Рассмотрим конкретный пример получения общего решения следующего уравнения:

y j 2 4 y j 1 4 y j 0.

Характеристическое уравнение имеет вид 2 4 4 2 2 0; корень кратности 2: 2, тогда общее решение записывается в форме

y j С1 С2 j 2 j ,

где C1 иC2 – произвольные постоянные.

4.4. Общее решение однородного уравнения при комплексных корнях характеристического многочлена. Пример

Пусть характеристическое уравнение (4.4) имеет комплексные корни. В этом случае формула (4.6) дает общее комплексное решение, даже при вещественных значениях постоянных Ci,n. Под комплексным решением

уравнения (4.1) понимается функция y j , принимающая комплексные значения и обращающая уравнение (4.1) в тождество при всех j 0,1, 2 .

45

Разностные уравнения, появляющиеся в различных прикладных задачах, во многих случаях должны иметь вещественные решения даже при наличии комплексных корней характеристического уравнения (4.4). Рассмотрим метод получения вещественного решения линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней его характеристического уравнения. Получить его помогают следующие два утверждения.

Функция yj uj i j является комплексным решением уравнения (4.2) тогда и только тогда, когда решениями этого уравнения являются

гдев соответствии со сформулированным выше утверждением функции un, j и n, j являютсявещественнымирешениямиоднородногоуравнения(4.2).

Перейдем от исходного базиса решений уравнения (4.2) к новому базису, заменив каждую комплексно-сопряженную пару решений yn, j

46

и yn, j на вещественную пару решений un, j и n, j . Получим веществен-

ную фундаментальную систему решений уравнения (4.2), а значит, и общее вещественное решение этого уравнения в виде

где произвольные постоянные Ci,n и Si, n должны быть вещественными

числами.

Заметим, что вещественное решение можно получить, не переходя к новому базису, а используя непосредственно формулу (4.6). Действительно, в формуле (4.6) каждому комплексному корню l отвечают сла-

гаемые вида Cl , n jn lj и Cl, n jn n j , где Ci,n иCi,n – произвольные постоянные, в общем случае комплексные числа. Для получения общего ве-

щественного решения, y j , сумма слагаемых Cl,n jn lj Cl,n jn n j должна быть вещественной. Это возможно, если постоянная Ci, n является

комплексно-сопряженной к постоянной Ci, n (Ci, n Ci*, n ). Рассмотрим конкретный пример решения исходного уравнения:

yj 2 yj 0.

Характеристическое уравнение имеет вид 2 1 0.

где С и S – произвольные вещественные постоянные.

47

Вещественное решение уравнения из последнего примера можно получить и из общего решения:

y j С1i j С1 i j ,

если на комплексные постоянные С1 и С1 наложить ограничение С1 C1* . Тогда y j С1i j С1 i j .

4.5. Решение неоднородного уравнения специального вида. Пример

Если задано линейное неоднородное разностное стационарное уравнение (4.1), то его можно решать методом вариации постоянных. Этот метод для уравнений первого и второго порядка изложен в предыдущих разделах. Для уравнений произвольного порядка этот метод будет рассмотрен в следующем разделе (см. пп. 5.5 и 5.6).

Существуют неоднородные разностные стационарные уравнения с неоднородным членом специального вида, для которых частное решение yj может быть найдено без использования метода вариации произ-

вольных постоянных. Тогда общее решение может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего неоднородного уравнения (см. формулу (4.6)) и найденного специального частного решения:

s

y j C0, n C1, n j C2, n j2 ... Cmn 1, n jmn 1 nj y j , (4.8) n 1

где Ci,n – произвольные постоянные.

Приведем без доказательства теоремы, позволяющие находить частное решение линейного неоднородного уравнения (4.1) для правой части специального вида.

... as 1 as заданный многочлен степени s с вещественными коэффи-

циентами, а μ – заданное число. Если число μ не является корнем характеристического уравнения (4.4), то для уравнения (4.1) существует частное решение вида

где Qs j – многочлен степени s.

Если же число μ является корнем кратности m характеристического уравнения (4.4), то для уравнения (4.1) существует частное решение вида

где Qs – также многочлен степени s.

48

На практике указанный в этой теореме многочлен Qs j находят

методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим пример:

Исходное уравнение: y j 2 4 y j 1 3y j j2 j .

Характеристическое уравнение: 2 4 3 0 .

Корни: 1 1, 2 3 .

Тогда общее решение имеет вид

y j C1 C2 3 j y j ,

где C1 иC2 – произвольные постоянные; yj – частное решение. На основании последней теоремы можно записать:

y j aj b 2 j ,

где a и b – неопределенные коэффициенты.

Подставляя последнее соотношение в исходное уравнение примера, получим

a 1, b 0.

Тогда y j C1 C2 3 j j2 j .

В случае комплексного числа μ, которое входит в условие последней теоремы, эта теорема может быть дана в следующей эквивалентной формулировке.

Пусть в уравнении (4.1) qj задается выражением qj j Ps j cos j Qs j sin j ,

где Ps j и Qs j – заданные многочлены степени не больше s с веще-

ственными коэффициентами.

Если число cos isin не является корнем характеристи-

ческого уравнения (4.4), то для уравнения (4.1) существует частное решение вида

где Ts j и Us j – многочлены степени не больше s с вещественными коэффициентами.

49

Если же число cos isin является корнем кратности m

характеристического уравнения (4.4), то для уравнения (4.1) существует частное решение вида

где Ts j и Us j – многочлены степени не больше s с вещественными

коэффициентами.

Рассмотрим пример применения последней теоремы: Исходное уравнение: y j 2 y j sin j4 .

Следовательно, общее вещественное решение уравнения может быть представлено в виде

y j Сcos j2 S sin j2 y j ,

где С и S – произвольные постоянные.

Согласно последней теореме, частное решение может быть записано в форме

y j a cos j2 bsin j2 ,

где a и b – неопределенные коэффициенты, которые находятся подстановкой последнего соотношения в исходное уравнение этого примера:

a b 12 .

Тогда общее решение исходного уравнения может быть получено в

виде

На рис. 4.1 представлен график последней функции для случая, когда постоянные равны – С = 0,2 и S = –0,4.

50