Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

Тогда решение системы уравнений из примера может быть получено в виде

где C1, C2 , C3 – произвольные постоянные.

6.6. Пример решения системы уравнений при комплексных собственных числах

Если в системе (6.3) матрица A вещественная, то необходимо найти и ее общее вещественное решение системы. Однако в том случае, когда A имеет комплексные собственные значения, формула (6.5) дает общее комплексное решение системы (6.3). Получить из комплексного решения вещественное помогает то обстоятельство, что в случае вещественной матрицы A наряду с комплексным значением λ имеется и комплекс-

но-сопряженное собственное значение * , одинаковой с кратности, а

также то, что жордановы цепочки для и * являются комплексносопряженными и одинаковой длины. Кроме того, если система (6.3) при вещественной A имеет комплексное решение xj y j iz j , то и веще-

ственная часть y j , и мнимая часть z j , каждая в отдельности, являются

решениями системы (6.3).

Следующий пример иллюстрирует только что описанную ситуацию. Найти общее решение системы уравнений:

Матрица системы имеет собственные значения 1 i, 2 i . Им соответствуют собственные векторы

Общее комплексное решение системы имеет вид

где C1, C2 – произвольные комплексные постоянные.

71

Выделим вещественную и мнимую части решения

Тогда вещественное решение может быть получено в форме

где С1, С2 – произвольные вещественные постоянные.

6.7.Стационарная неоднородная система разностных уравнений

вобщем случае. Пример

Линейная неоднородная стационарная система (6.1) в общем случае решается либо с помощью (6.6) из предыдущего раздела, либо методом вариации постоянных, описанным также в предыдущем разделе (см. формулу (6.14)). Однако в частных случаях систему (6.1) можно решить более легким способом. Если задана линейная стационарная система второго порядка, то ее удобно решать методом исключения неизвестной.

Покажем это на примере решения следующей системы уравнений:

y j 1 7 j 1 .

Заменим в этом равенстве yj+1 выражением из второго уравнения системы. Имеем x j 2 2x j 1 4x j 5 y j 7 j 1 .

Наконец, в этом равенстве заменим yj выражением из первого уравнения системы. Получаем для xj следующее уравнение второго порядка:

xj 2 2xj 1 4xj 5 2xj xj 1 7 j 7 j 1 7xj 1 6xj 7 6 j 1 .

72

где С1, С2 – произвольные постоянные. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде xj aj b.

Подстановка последнего соотношения в исходное уравнение рассматриваемого примера дает a 3 иb 10 / 7 . Тогда общее решение

для первой неизвестной функции системы может быть записано в виде

6.8. Стационарная неоднородная система разностных уравнений специального вида. Пример

Рассмотрим теперь неоднородные уравнения (6.1) с век- тор-функцией qj специального вида и покажем, что для таких уравнений

всегда можно найти частное решение xj . Поскольку для соответствую-

щей однородной системы (6.3) всегда находится фундаментальная матрица j , то, как ранее было установлено, формула (5.13) из раздела 5:

xj jC xj ,

где C – произвольный k-мерный числовой вектор, дает общее решение неоднородной системы (6.1).

Пусть в неоднородной системе (6.1) q j j Ps j , где μ – заданное ненулевое вещественное число, и Ps ( j) – многочлен степени s, коэффи-

циентами которого являются заданные вещественные k-мерные числовые векторы. Если число μ не является собственным значением матрицы A, то существует частное решение системы (6.1) вида

73

x j jQs j ,

где Q( j) – многочлен той же степени s, что и многочлен Ps ( j) , коэффициенты которого находятся подстановкой xj в систему (6.1).

Рассмотрим пример, связанный с применением последнего утверждения. Найдем общее решение следующей системы:

Матрица системы имеет собственные числа 1 1 и 2 2 , кото-

рым можно поставить в соответствие следующие линейно независимые собственные векторы:

Для определения чисел a и b подставим последнее соотношение в решаемую систему. Получим:

Теперь можно представить общее решение в окончательном виде:

74

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервом разделе пособия понятие конечных разностей дано в рамках проблемы интерполяции сеточных функций. Освоение материала этого раздела должно сформировать у студента навыки интерполяции функции на основе использования полиномов Лагранжа и Ньютона и навыки численного расчета конечных и разделенных разностей.

Во втором разделе дано общее определение разностных уравнений

исформулирована разностная задача Коши. Выделен класс разностных уравнений, которые можно представить в нормальной форме. Для этих уравнений рассмотрено общее решение разностной задачи Коши методом последовательных подстановок. Методом вариации произвольной постоянной получена формула для решения произвольного неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка. Освоение материала этого раздела должно сформировать у студента навыки: определения порядка разностного уравнения и его редукции к уравнению, явно содержащему значение искомой сеточной функции в узловых точках; получения общего решения произвольного линейного разностного уравнения первого порядка и разностной задачи Коши для него; численного расчета найденной сеточной функции.

Втретьем разделе рассмотрены линейные нестационарные разностные уравнения порядка выше первого и разностная задача Коши для них. Выделен класс однородных и неоднородных уравнений. Дано определение фундаментальной системы решений однородного уравнения. Показано, что не существует унифицированного метода отыскания фундаментальной системы решений для нестационарного неоднородного уравнения общего вида. Рассмотрена общая методика получения частного решения неоднородного уравнения, основанная на использовании известной фундаментальной системы решений однородного уравнения, соответствующего исходному неоднородному, и вариации произвольных постоянных. Освоение материала этого раздела должно сформировать у студента представление о свойствах фундаментальной системы решений и общего решения нестационарных разностных уравнений порядка выше первого, навыки решения разностной задачи Коши

иее численного моделирования.

Вчетвертом разделе рассмотрены линейные стационарные разностные уравнения. Рассмотрен унифицированный метод построения фундаментальной системы решений однородных уравнений, основанный на определении корней характеристического полинома. Показано, что в случае различных характеристических корней фундаментальная система решений представляет собой системы показательных функций

75

целочисленного аргумента, умноженного на характеристический корень. Рассмотрены особенности построения фундаментальной системы решений при кратных характеристических корнях, комплексных корнях, кратных комплексных корнях. Рассмотрены методы получения частных решений неоднородных уравнений специального вида. Освоение материала этого раздела должно сформировать у студента навыки построения фундаментальной системы решений однородных уравнений, нахождения частных решений специальных неоднородных уравнений, навыки решения разностной задачи Коши для однородных и неоднородных уравнений, численного расчета найденной сеточной функции.

Впятом разделе дано элементарное введение в теорию нормальных линейных систем нестационарных разностных уравнений, сформулирована разностная задача Коши для таких систем. Выделен класс однородных

инеоднородных систем. Показана связь между линейным разностным уравнением произвольного порядка и нормальной системой разностных уравнений. Рассмотрен метод получения общего решения неоднородной системы, записанной в матричной форме, методом последовательных подставок. Даны понятие фундаментальной матрицы неоднородной нестационарной системы и ее свойства. Рассмотрено применение метода произвольной постоянной для нахождения решения неоднородной нормальной системы разностных уравнений при известной фундаментальной матрице соответствующей однородной системы. Освоение материала этого раздела должно сформировать у студента умение проверять свойства фундаментальной матрицы однородной системы и навыки аналитического построения общего решения нормальных линейных систем нестационарных разностных уравнений, решения разностной задачи Коши для них и его численного расчета.

Вшестом разделе изложены основы теории линейных стационарных систем разностных уравнений. Показано, что в основе методики нахождения общего решения однородных систем лежат свойства их матриц, собственные значения которых могут быть попарно различны или иметь кратные значения. В случае некратных собственных чисел общее решение однородной системы уравнений, полученное в матричной форме, является суперпозицией произведений собственных векторов, умноженных на соответствующие им собственные числа. В случае кратных собственных чисел каждому кратному собственному числу в общем решении отвечает суперпозиция векторов из жордановой цепочки с нестационарными коэффициентами. Рассмотрено решение линейных неоднородных стационарных систем разностных уравнений специального вида. Освоение материала этого раздела должно сформировать у студента умение решать задачи на собственные значения и собственные векторы матрицы

76

соответствующей однородной системы, определять жорданову цепочку векторов для кратного собственного значения, сформировать навыки нахождения общего решения линейных стационарных систем разностных уравнений и решения разностной задачи Коши.

77

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бекаревич А.Н. Уравнения в школьном курсе математике / А.Н. Бекаревич. – Минск : Народная асвета, 1968. – 152 с.

2.Ильин В.А. Линейная алгебра : учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – Москва : Физматлит, 2004. – 280 с.

3.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. – Москва :

Наука, 1968. – 576 с.

4.Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

В2 томах / Дж. Сансоне. – Москва : Ин. лит., 1954. – 345 с.; 400 с.

5.Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – Москва : Изд-во МГУ, 1999. – 798 с.

6.Формалев В.Ф. Численные методы / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников. – Москва : Физмалит, 2004. – 400 с.

7.Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 636 с.

8.Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. – Москва : Гос. Изд. Физ.-Мат. Лит., 1959. – 400 с.

9.Мироновский Л.А. Моделирование разностных уравнений : учебное пособие / Л.А. Мироновский. – Санкт-Петербург : СПбГУАП, 2004. – 108 с.

10.Комаров М.А. Линейные разностные уравнения и их приложения / М.А. Комаров. – Владимир : ВлГУ, 2012. – 42 с.

11.Романко В.К. Разностные уравнения : учебное пособие / В.К. Романко. – 3-е изд. – Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. – 115 с.

12.РТС Mathcad. – URL: https://www.mathcad.com/ru.

13.Прудников А.П. Интегралы и ряды. В 3 томах. Том 3. Специальные функции. Дополнительные главы / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. – 2-е изд. – Москва : Физмалит, 2003. – 688 с.

14.Суммы первых n членов некоторых конечных числовых разря-

дов. – URL: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/Progressions/ SumOf SomeEndingNumericalSeries/.

78