Введение в разностные уравнения. Учебно-методическое пособие

Подстановка последнего соотношения в уравнение (5.3) приводит к следующему равенству:

j 1Cj 1 Aj jCj qj .

Поскольку фундаментальная матрица j удовлетворяет матричному уравнению (5.12), то справедливо и другое равенство j 1Cj Aj jCj .

Вычитая последнее равенство из предпоследнего, получим:

j 1 Cj 1 Cj qj C j 1 Cj j 1 1 qj .

Тогда последовательно находим, что

C1 C0 1 1 q0 ,

C2 C1 2 1 q1 C0 1 1 q0 2 1 q1,

C3 C2 3 1 q2 C0 1 1 q0 2 1 q1 3 1 q2 ,

Методом математической индукции легко установить, что для всех

j 1

j = 0, 1, 2, …C j C0 s 1 1 qs .

s 0

Такимобразом, получаемобщеерешениенеоднороднойсистемы(5.3):

s 0

Оно представляет собой сумму двух слагаемых: первое слагаемое есть общее решение однородной системы (5.9), а второе – частное решение неоднородной системы (5.3).

5.6. Пример решения методом вариации постоянных

Решим следующую систему разностных уравнений:

61

Нетрудно проверить, что матрица

является фундаментальной для решаемой системы. Действительно, она удовлетворяет матричному уравнению j 1 Aj j .

Матрица, обратная к фундаментальной, может быть получена в форме

Тогда, полагая

C0 C1 ,

C2

по (5.14) получим следующее общее решение системы из рассматриваемого примера:

62

Таким образом,

где С1 иС2 – произвольные постоянные.

63

6. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1. Общие определения

Рассмотрим частный случай системы уравнений (5.3) из предыдущей главы, при котором матрица коэффициентов Aj A является по-

стоянной, не зависящей от номера j 0,1, 2, . Матричная запись такой системы может быть представлена в форме

j 0,1, 2, с заданными матрицей А и неоднородным, отличным от ноля, членом qj 0 называется линейной стационарной неоднородной

системой разностных уравнений порядка k.

Если неоднородный член в формуле (6.1) равен нолю при всех j 0,1, 2, ( qj 0 ), то она принимает вид линейной стационарной од-

нородной системы разностных уравнений порядка k:

Если матрица уравнения (6.1) совпадает с матрицей уравнения (6.3), то однородное уравнение (6.3) называется соответствующим неоднородному уравнению (6.1).

Общее решение линейной системы разностных уравнений порядка k с переменными коэффициентами (с матрицей, зависящей от номера j 0,1, 2, , см. формулу (5.3)) может быть найдено, если известна си-

стема фундаментальных решений соответствующей однородной системы уравнений с переменными коэффициентами (см. формулу (5.9)). Поиск фундаментальной системы решений для такой системы часто оказывается очень сложной задачей. Она может быть решена специальными методами, пригодными только для некоторой конкретной системы уравнений и не распространяющимися на другие системы уравнений

64

с переменными коэффициентами. При этом метод определения фундаментальной системы решений однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами (6.3) не зависит от их численных значений, унифицирован и прост с теоретической точки зрения.

6.2. Стационарная однородная система разностных уравнений при различных собственных числах

Очевидно система (6.3) имеет всегда тривиальное решение хj 0 на множестве j 0,1, 2, . Будем искать нетривиальное решение этой системы в виде xj j h , где 0 и h – ненулевой числовой вектор с k компонентами. Подстановка последнего соотношения в (6.3) дает:

j 1h A jh Ah h .

Уравнение Ah h говорит о том, что число должно быть ненулевым собственным значением матрицы A, а вектор h должен быть собственный вектором этой матрицы, соответствующим собственному числу . Как известно из курса линейной алгебры, собственные значения

матрицы A являются корнями уравнения det A E 0 , где E – единичная матрица.

Обозначим через Rk линейное пространство векторов с k компонентами. Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Если существует базис Rk из собственных векторов h1, h2 , , hk матрицы A и 1, 2 , , k есть соответствующие им собственные значе-

ния этой матрицы (среди них могут быть одинаковые), то общее решение системы (6.3) может быть представлено в виде

где С1, С2 , , Сk – произвольные постоянные.

6.3. Пример решения системы уравнений при различных вещественных собственных числах

Рассмотрим решение следующей системы уравнений:

65

Решение уравнения для собственных чисел матрицы системы

ры h1 , h2 , h3 , соответствующие найденным собственным числам находятся из трех однородных систем уравнений

равен 2. Поэтому в качестве решения последней системы уравнений, составленной относительнокомпонентсобственныхвекторов, можноиспользовать алгебраические дополнения элементов любой строки или столбца. Так, используяалгебраическиедополненияэлементовпервойстроки, получим:

66

Учитывая то, что любое решение однородной системы уравнений может быть найдено с точностью до произвольной постоянной, поделим компоненты первого вектора на 18, второго – на 4 и третьего – на 6. Окончательно для собственных векторов получим:

Тогда общее решение системы уравнений из примера может быть представлено в форме

где С1, С2 , С3 – произвольные постоянные.

6.4.Стационарная однородная система разностных уравнений

вобщем случае

Базис пространства Rk из собственных векторов матрицы A существует в том случае, когда все собственные значения этой матрицы попарно различны или когда она является симметричной. В последнем случае собственные значения матрицы A могут быть кратными. В слу-

чае же произвольной матрицы A базиса Rk из ее собственных векторов может не существовать. Чтобы получить формулу общего решения однородной системы (6.3) в общем случае, в том числе и тогда, когда среди собственных значений матрицы A имеются кратные, введем понятие присоединенных векторов к собственному вектору матрицы A.

Пусть λ – собственное значение матрицы A и пусть ему соответствует собственный вектор h1 . Векторы h2 , h3 , , hr называются присо-

единенными векторами к собственному вектору h1 , если

Ah2 h2 h1, Ah3 h3 h2 , , Ahr Ahr hr 1.

Система векторов h1, h2 , , hr называется жордановой цепочкой

для собственного значения λ матрицы A, а число r – длиной цепочки. Если собственное значение λ простое, т. е. кратности 1, то жорданова цепочка состоит лишь из собственного вектора. Если же λ кратное, т. е. его кратность больше единицы, то для него может существовать несколько жордановых цепочек. Если λ есть комплексное число, то и жордановы цепочки также комплексные. В курсе алгебры доказывается следующая теорема (Жордана).

67

Всегда существует базис комплексного линейного пространства Rk , составленный из жордановых цепочек для всех собственных значений λ матрицы A.

Если все собственные значения λ матрицы A вещественны, то и все

жордановы цепочки вещественны и, следовательно, базис Rk из жордановых цепочек тоже является вещественным. Указанный в теореме Жордана базис называется жордановым базисом.

Используя теорему Жордана, можно построить формулу общего решения однородной системы (6.3) в случае произвольной матрицы A. Действительно, из предыдущей лекции следует, что всякое решение однородной системы (6.3) имеет вид

j 1

xj AC AjC ,

p 0

где C – произвольный числовой вектор с k компонентами.

каждое из собственных чисел имеет кратность, равную rn . Разложим вектор C по жордановому базису Rk

C s C1, nh1, n C2, nh2, n Crn , nhrn , n n 1

и подставим это разложение в последнюю формулу. Получим:

s

xj Aj C1, nh1, n C2, nh2, n Crn , nhrn , n n 1

s

C1, n A jh1, n C2, n A jh2, n Crn , n A jhrn , n , n 1

где C1,n ,C2,n , ,Crn ,n при всех n 1, 2, , s – произвольные постоянные. Рассмотрим умножение матрицы A j на жорданову цепочку векторов:

A jh1,n nj h1,n ,

A j h2,n nj h2,n C1j nj 1h1,n ,

A jh3,n nj h3,n C1j nj 1h2,n C2j nj 2h1,n ,

A j h4,n njh4,n C1j nj 1h3,n C2j nj 2h2,n C3j nj 3h1,n ,

A jhrn ,n nj hrn ,n C1j nj 1hrn 1,n C2j nj 2hrn 2,n Crjn 2 nj rn 2h2,n Crjn 1 nj rn 1h1,n ,

68

Таким образом, общее решение однородной системы разностных уравнений (6.3) может быть получено в следующем виде:

Отметим, что в последней формуле содержится k произвольных постоянных, т. к. r1 r2 rs k . Выпишем формулы общего решения

(6.5) системы (6.3) для простых случаев k 2 иk 3.

Если k 2 и матрица A имеет собственное значение λ кратности два, которому соответствует жорданова цепочка из собственного вектора h1 и присоединенного вектора h2 , то общее решение системы (6.3)

имеет вид

где С1, С2 – произвольные постоянные.

Если матрица A имеет простое собственное значение 1 , которому соответствует собственный вектор h1 , и собственное значение 2 кратно-

сти два, которому соответствует жорданова цепочка из собственного вектора h2 и присоединенного вектора h3 , то общее решение (6.3) имеет вид

где С1, С2 , С3 – произвольные постоянные.

Если же матрица A имеет собственное значение λ кратности три, которому соответствует жорданова цепочка из собственного вектора h1

и присоединенных векторов h2 , h3 , то общее решение системы (6.3) имеет вид

69

6.5. Пример решения системы уравнений при кратных вещественных собственных числах