Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие

Подстановкой x 2y , y 14 x y преобразуем уравнение к виду

dy y Q2 (x, y) . dx P2 (x, y)

Ищем решение уравнения

y Q2 (x, y) y y 2 34 y x4 0

в виде ряда по степеням x . Получим

y (x) 2563 x 3 ,

(x) P2 (x, (x)) 641 x 3 .

Здесь m = 3, m 641 0 и, следовательно, точка O(0, 0) – узел.

Пример 10

71

Здесь k = 2m = 4, n = p, ak –1 , bn 1 .

Если p < m = 2, то точка O(0, 0) – седло-узел (это может быть только в случае p = 1). Если p m 2 , то точка O(0, 0) – вырожденная особая

точка (для нее C = 2, N = 0, N f 0 ). Если в исходном уравнении будет

bn 0 и n > m.

Особая точка O(0, 0) является фокусом или центром.

72

2. n < 6. Тогда bn a 0 и b2 4(m 1)a2m 1 a2 16 . Теперь, если n = 4 или m = 5, или n = 3 и a2 16 0 , то точка O(0, 0) – фокус

или центр. Еслиn = 2, тоточкаO(0, 0) – узел. Еслиn = 3 и a2 16 0 , тоточкаO(0, 0) – точка с замкнутой узловой областью.

Пример 13

Система интегрируется путем замены y / x = u. Можно показать, что в окрестности состояния равновесия траектории имеют характер, представленный на рис. 6.11.

y

x

Рис. 6.11. Траектории системы примера 6

73

Пример 14

Система интегрируется с помощью замены y / x2 u , и состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 6.12.

y

x

Рис. 6.12. Траектории системы примера 7

Пример 15

Траекториями этой системы, как нетрудно видеть, являются кривые

y2 x4 Cx2

и, кроме того, полуоси x = 0, y > 0 и x = 0, y < 0. Состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 6.13.

74

y

x

Рис. 6.13. Траектории системы примера 8

Рассмотренные примеры являются иллюстрацией приведенных ранее положений в главах 1–5.

75