Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие

Напомним, чтокогдаизображающаяточка, двигаясьпоотличнойот состоянияравновесиятраекторииL, стремитсякнекоторомусостоянию

равновесия A(x0 , y0 ) , то при этом всегда t или t .

Таким образом, разбиение на траектории, определенные системой (6.2) (суказанными натраекториях направлениями) имеет вид, указанный на рис. 6.3а и 6.3б. Состояние равновесия такого типа называется узлом, устойчивым в случае a < 0, b < 0 (рис. 6.3а) и неустойчи-

вым в случае a > 0, b > 0 (рис. 6.3б).

61

Рассмотримтакжеинтерпретациюрешенийсистемы(6.2), т. е. интегральные кривые системы (6.2) в трехмерном пространстве x, y, t. Из формул (6.3) следует, что интегральными кривыми системы (6.2)

впространстве (x, y, t) являются:

1)осьt, т. е. x = 0, y = 0 (этиуравненияполучаютсяизуравнений (6.3)

при x0 y0 0 ); она проектируется в состояние равновесия O фазовой

плоскости; 2) показательные кривые

x x0ea(t t0 ) , y = 0,

расположенные в координатных полуплоскостях x > 0, y = 0 или x < 0, y = 0 и асимптотически стремящиеся к оси t при t , если a < 0,

ипри t , если a > 0; эти кривые проектируются в положительную

иотрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекториями системы;

3)показательные кривые

x = 0, y y0eb(t t0 )

аналогичны кривым типа 2); 4) кривые

расположенные на параболических цилиндрах y cxb/a с образую-

щими, параллельными оси t. Ось t разбивает каждый такой цилиндр на две «половины»; каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в одной половине цилиндра и асимптотически стремится к оси t при t , еслиa < 0, b < 0, ипри t , еслиa > 0, b > 0. Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси t. То же справедливо для интегральных кривых типа 2) или 3).

Пример 4

( – отличная от нуля постоянная).

62

Векторное поле, определенное этой системой (при < 0), изображено на рис. 6.4.

Решая систему (6.6) как линейную систему с постоянными коэффициентами, получим решение, соответствующее начальным условиям x0 , y0 , t0 , в следующем виде:

x e (t t0 ) x0 cos(t t0 ) y0 sin(t t0 ) ,

(6.7)

y e (t t0 ) x0 sin(t t0 ) y0 cos(t t0 ) .

Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее исследовать, переходяк полярным координатам. Послеэлементарных вычислений получим

63

является уравнением в полярных координатах траектории системы (6.6), проходящей при x x0 через такую начальную точку

Уравнение (6.10) дает все траектории системы (6.6). Если 0 , эти траектории являются логарифмическими спиралями. При 0 0 полу-

чается состояние равновесия O(0, 0) ( = 0).

Первоеиздвухуравнений(6.9) показывает, чтовсетраекториистре-

мятся к состоянию равновесия O при t , если < 0 (рис. 6.5), и при t , если > 0 (рис. 6.6).

Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом, устойчивым в случае < 0, и неустойчивым при > 0.

соответствующее системе (6.6). Интегрируя его (с помощью подста-

новки xy u или xy u ), получим соотношение

Первое из этих соотношений является общим интегралом системы во всякой области, не содержащей точек оси x (т. е. точек x = 0), а второе – во всякой области, не содержащей точек оси y = 0. Однако ни

64

одно из этих соотношений не является в строгом смысле общим интегралом системы в области, содержащей точку O. «Целую» интегральную кривую, расположенную в такой области, можно получить, «склеивая» куски кривых (6.11) и (6.12).

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущемпримере, осьt являетсяинтегральнойкривойсистемы(6.6) в пространстве (x, y, t). Остальные интегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направлениями спирали (6.10), а образующими – прямые, параллельные оси t. Эти интегральные кривые асимптотически приближаются к оси t при t ,

если < 0, и при t , если > 0.

Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при a < 0, b < 0 и < 0 (a > 0, b > 0 и > 0 соответственно) существенно отличаются, но в некотором смысле поведение траекторий в том и другом случае одинаково: именно в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при t (или t ) стремятся к состоянию равновесия.

Пример 5

65

Эта система получается как частный случай системы (6.6) при = 0. Решения, соответствующие начальным значениям x0 , y0 , t0 , имеют

вид

x x0 cos(t t0 ) y0 sin(t t0 );

(6.14)

y x0 sin(t t0 ) y0 cos(t t0 ).

Непосредственной проверкой (или используя (6.14)) нетрудно убедиться, что

является общим аналитическим интегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитический интеграл.

Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия O(0, 0) и замкнутые траектории – концентрические окружности с центром в начале (рис. 6.7).

Решения (6.14), соответствующие замкнутым траекториям – окружностям, являются периодическими функциями с периодом 2 .

y

x

Рис. 6.7. Замкнутые траектории системы

66

Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (x, y, t) являются ось t и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (6.15). Шаг каждой винтовой линии равен 2 .

и при C = 0 – координатные оси x = 0, y = 0. Каждая гипербола состоит из двух траекторий (ее ветвей) и каждая из координатных осей – из трех траекторий (состояния равновесия O и двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории указано на рис. 6.9.

67

Из выражений (6.17) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси x (получающиеся из (6.17) при y0 0 ), стремятся к состо-

янию равновесия при t , а траектории, являющиеся полупрямыми оси y, при t . Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия O, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом. Траектории, стремящиеся к седлу O, в данном случае четыре полуоси x = 0 и y = 0, называются сепаратиссами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к точке сепаратиссы, стремящейся к O при t ( t ), при неограниченном возрастании (убывании) t удаляются от этой сепаратиссы.

Пример 7

68

Это уравнение траекторий в полярных координатах. При этом 1 ,

очевидно, является решением (6.21), соответствующим C = 0, т. е. траекторией. Траектории, проходящей через точку M 0 ( 0 , 0 ) , соответ-

ствует значение

C 02 1 e2 .02

Если 0 1 , тоC > 0 и 1 ; при , 1 ипри (ln C) / 2 ,. (Очевидно, при этом изменяется в интервале ln2C 0 ).

Если 0 1 , то C < 0 и 1 . Тогда 0 при и 1 при . Отсюда следует, что траектории имеют вид, указанный на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Траектории рассматриваемой системы

Второе из уравнений (6.20) показывает, что если траектория прохо-

дит через точку M 0 ( 0 , 0 ) при t t0 , то 0 (t t0 ) . Состояние равновесия O(0, 0), так же как в случае линейной системы (6.6) примера 4 является фокусом, причем неустойчивым.

69

Траектория 1 , т. е. x2 y2 – 1 0 , не окружена замкнутыми тра-

екториями. Она является изолированной замкнутой траекторией, и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности, стремятся к ней при t . Такая замкнутая траектория называется предельным циклом.

Пример 8

Разделив одно уравнение на другое, получим

dy by . dx x2

Это уравнение элементарно интегрируется:

Px (0,0) Qy (0,0) 2 .

70