Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие

Пусть параметрическое уравнение дуги без контакта l есть x = f(s), y = g(s), где f(s) и g(s) – непрерывные функции, определенные при всех значениях

a s b

и в силу требования гладкости дуги имеющие при этих значениях не-

Вслучае, когда дуга l задана непараметрическими уравнениями,

ауравнением

мы будем, очевидно, иметь в силу условия а) при всех значениях x, y, удовлетворяющих уравнению (2.2):

P2 (x, y) Q2 (x, y) 0 ,

Так как угол между дугой без контакта l и любой пересекающей ее траекторией не обращается в нуль, то, очевидно, этот угол сохраняет постоянный знак.

Если данную гладкую дугу l пересекает другая гладкая дуга l1 в точке M 0 , отличной от концов l (касательные к дугам l и l1 в точке M 0 различны), то точка M 0 делит дугу l1 на две части, из которых одна лежит по одну сторону l, а другая по другую сторону l.

21

t , может иметь лишь конечное число общих точек с любым от-

резком без контакта.

2. Если M 0 – точка дуги l, отличная от ее концов, то всякая траектория, при t t0 проходящаячерезточку M вдостаточномалойокрестноститочки M 0 , непременнопересекаетдугуl иприэтомпризначении T, скольугодноблизкомк t0 (еслиточкаM достаточноблизкак M 0 ). Если

траекторияпересекаеткакую-нибудьдугуl безконтактадважды, тоона, очевидно, может пересечь ее только так, как показано на рис. 2.3, а случай, представленный на рис. 2.2, невозможен.

l

l

M1

Рис. 2.2. Невозможный случай Рис. 2.3. Один из возможных случаев

§ 2. ЦИКЛ БЕЗ КОНТАКТА

Пусть C – гладкая простая замкнутая кривая, лежащая в области G. Следовательно (так же, как и в случае простой дуги), кривая C в некоторой своей точке M «не имеет контакта», если проходящая через точку M траектория системы (а) не касается кривой C в этой точке, и будем говорить, что кривая C в точке M «имеет контакт», если проходящая через точку M траектория в этой точке касается кривой C.

22

Гладкая простая замкнутая кривая C называется циклом без контакта, если: а) на C не лежит ни одно состояние равновесия системы; б) ни в одной своей точке кривая C не имеет контакта (рис. 2.4).

C

Рис. 2.4. Кривая C не имеет контакта

При рассмотрении либо параметрических уравнений простой замкнутойкривой C, либо ееуравнений вдекартовыхкоординатах можно аналитически записать условия того, что эта замкнутая кривая C является циклом без контакта, аналогично условиям (2.1) и (2.3).

В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть «обобщенный цикл без контакта», или «цикл однократного пересечения». Скажем, что простая замкнутая кривая C (эта кривая может быть и негладкой) есть цикл однократного пересечения для траектории системы (а), если: а) на кривой C не лежит ни одно состояние равновесия; б) у всякой траектории, при t t0 проходящей через какую-нибудь

точку кривой C, точки, соответствующие достаточно близким к t0 значениям t t0 (t t0 ) , лежат внутриC, а точки, соответствующиедостаточно близким к t значениям t t0 (t t0 ) , – вне цикла С.

23

В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках она имеет точки соприкосновения четного порядка с траекториями, и во всех других точкахнеимеетконтактов. Очевидно, еслициклоднократногопересечения является гладким и

F(x, y) = 0

– его уравнение, то в точках этого цикла выражение

Fx (x, y)P(x, y) Fy (x, y)Q(x, y)

может обращаться в нуль.

§3. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА ПОЛУТРАЕКТОРИИ

ИТРАЕКТОРИИ

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ

Будем рассматривать только такие полутраектории и траектории, которые целиком лежат в ограниченной части плоскости. На всякой такой положительной (отрицательной) полутраектории любое решение определено для всех значений t t0 (t t0 ) , где t0 – некоторое (зави-

сящееотвыборарешения) фиксированноезначение. На всякойтраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости, всякое решение определено для всех значений t, t .

При рассмотрении возможного поведения отдельной полутраектории вводится понятие предельной точки полутраектории.

Точка M * называется предельной точкой положительной полутраектории L (или соответственно отрицательной полутраектории L ), если при любом сколь угодно малом 0 и любом сколь угодно большом T > 0 (любом T < 0) в круге радиусом с центром в точке M *

лежит хотя бы одна точка полутраектории L (L ), соответствующая

значению t > T (или соответственно t < T).

Изопределенияпредельнойточкиполутраекториинепосредственно следует, что если *, * – координаты предельной точки M * положи-

24

тельной полутраектории L , x (t) , y (t) – решение, соответству-

ющее L , то существует последовательность неограниченно возрастающих значений t:

Иначе, из существования последовательности неограниченно возрастающих значений tn , для которой выполняются условия (2.4), сле-

дует, что точка M *( *, *) есть предельная точка полутраектории L . Точка M называется предельной точкой целой траектории L, если M есть предельная точка либо для положительной полутраектории L ,

либо для отрицательной полутраектории L , выделенной из траектории L (в первом случае точку M часто называют -предельной точкой, во втором -предельной точкой траектории L).

Предельная точка траектории L может как принадлежать самой траектории L, так и не принадлежать ей.

Замкнутая траектория L0 , являющаяся либо -, либо -предельной

траекторией для всех отличных от нее траекторий, проходящих через достаточно близкие к ней точки (как внутри L0 , так и вне L0 ), называ-

ется предельным циклом. Очевидно, предельный цикл является изолированной замкнутой траекторией, т. е. через некоторую его окрестность кроменегонепроходитбольшениоднойзамкнутойтраектории. Вместе с тем всякая изолированная замкнутая траектория является предельным циклом, т. е. является предельной траекторией.

Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории, проходящие через точки достаточно малой его окрестности, стремятся к нему при t , и неустойчивым, если все такие траектории стремятся к нему при t .

Предельныйциклназываетсяполуустойчивым, есливсетраектории, проходящие через достаточно близкие к нему точки, лежащие вне его,

стремятся к нему при t ( t ), а лежащие внутри – при t ( t ).

25

§4. ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ПОЛУТРАЕКТОРИЙ

ИИХ ПРЕДЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ

Установлен возможный характер множества предельных точек полутраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно это множество может быть одного из следующих типов.

1.Одно состояние равновесия.

2.Одна замкнутая траектория.

3. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящимся к этим состояниям равновесия как при t , так и при t .

Заметим, что состояния равновесия, входящие в множества предельных точек типа 3, не могут бытьфокусами или узлами, так как всякая траектория, попавшая в достаточно малую окрестность такого состояния равновесия, стремится к нему и не может иметь никакой другой предельной точки. Следовательно, состояния равновесия, которые могут входить в множество точек типа 3, в случае, если эти состояния равновесия простые, непременно являются седлами, а отличные от состояний равновесия траектории, входящие в это множество, – сепаратиссами седел.

§5. ОСОБЫЕ И НЕОСОБЫЕ ПОЛУТРАЕКТОРИИ

ИТРАЕКТОРИИ

Пусть L – какая-нибудь положительная полутраектория, выделенная на траектории L. В дальнейшем рассматривается -окрестность полутраектории. Эта окрестность, как легко видеть, непременно содержит-окрестность предельного множества этой полутраектории.

Будем говорить, что положительная полутраектория L орбитноустойчивая, если при любом заданном 0 можно указать такое 0,

что у всякой траектории L , проходящей при t t0 через любую точ-

ку M  , принадлежащую -окрестности M, полутраектория L (точки которой соответствуют значениям t t0 ) целиком лежит в -окрест-

ности полутраектории L .

Можноговоритьотраектории, орбитно-устойчивойпри t или-орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-неустойчивой при t или -орбитно-неустойчивой. Траектория L, орбитно-устойчи- вая как при t , так и при t , называется просто орбитно-

26

устойчивой, или неособой. Всякая траектория, не являющаяся орбитноустойчивой, называется орбитно-неустойчивой, или особой. Кроме того, особойтраекторией будем считатьи всякоесостояние равновесия.

Особая траектория, не являющаяся состоянием равновесия, непременно орбитно-неустойчива хотя бы «в одну сторону», т. е. она может быть орбитно-неустойчивой при t , или орбитно-устойчивой при t , или орбитно-неустойчивой и при t , и при t .

Свойствоорбитнойустойчивостиинеустойчивостиполутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям.

§6. ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ОСОБЫХ

ИНЕОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Полутраектория L , стремящаясяксостояниюравновесия, является орбитно-неустойчивой в том и только в том случае, когда существует

отрицательнаяполутраектория L , стремящаясяпри t ктомуже

состоянию равновесия, которая вместе с полутраекторией L ограничивает седловую область (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Ограничение седловой области

27

Орбитно-неустойчивая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (безразлично, простому или сложному), называется сепаратиссой. В случае, когда сепаратисса является положительной полутраекторией, она называется -сепаратиссой; в случае, когда она является отрицательной полутраекторией – -сепаратиссой.

Всякаяорбитно-неустойчивая(т. е. особая) траекторияпринадлежит

кодному из следующих типов:

1)состояние равновесия;

2)предельный цикл;

3) незамкнутая траектория, у которой хотя бы одна полутраектория является сепаратиссой какого-нибудь состояния равновесия.

Кчислуособыхтраекторийпричисляютсявсесостоянияравновесия (даже в том случае, когда они орбитно-устойчивы, как например, в случае, когда состояние равновесия есть центр).

28

Разлагая в окрестности простого состояния равновесия O(x0 , y0 ) правые части в ряд по степеням (x x0 ) , ( y y0 ) , получим

dxdt (x x0 )Px (x0 , y0 ) ( y y0 )Py (x0 , y0 ) (x x0 , y y0 ) ; dydt (x x0 )Qx (x0 , y0 ) ( y y0 )Qy (x0 , y0 ) (x x0 , y y0 ) ,

где (x x0 , y y0 ) и (x x0 , y y0 ) – ряды относительно (x x0 ) , ( y y0 ) , начинающиеся с членов не ниже второго порядка. Перенося

начало координат в точку x0 , y0 , т. е. полагая

30