Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие

2.  (0, 0) 0 , (0, 0) 0 . В этом случае оба характеристических

корня состояния равновесия равны нулю.

Тогда система линейным неособенным преобразованием приводится к виду

по степеням x и y начинается с членов не менее чем второго порядка. Рассмотрим следующие функции.

1. Функцию y (x) , являющуюся решением уравнения

by P*(x, y) 0 .

2. Функцию y (x) , определяемую формулой

(x) Q*(x, (x)) .

Эта функция заведомо не равна нулю тождественно (в силу предположения об отсутствии общих множителей, отличных от постоянных у правых частей рассматриваемой системы), поэтому в разложении(x) по степеням x заведомо будут отличные от нуля члены, и тогда

можно написать, что

41

l

Q

_

L Q

Рис. 5.1. Точка Q дуги l, имеющая последующую Q

Пустьs и s – координатыразличныхточекдугиl иихпоследующих точек на отрезке s. Ясно, что s является функцией от s.

Функция

s f (s)

называется функцией последования, она выражает собой закон некоторого точечного преобразования дуги l (или ее части), устанавливающий однозначное соответствие между точками этой дуги (или ее части) и их последующими точками (на той же дуге l). Геометрически ясно, что функция последования имеется тогда, когда дугу без контакта пересекают траектории, имеющие характер спиралей, или замкнутые траектории (см. рис. 5.1). При этом очевидно, что если некоторому значению s s0 соответствуетзамкнутаятраектория, то f (s0 ) s0 , т. е. точка, со-

ответствующая s s0 , и ее последующая совпадают (а значит, совпа-

даютивседальнейшиепоследующиеточки). Очевидноиобратное, если f (s0 ) s0 , то траектория, проходящая через точку, соответствующую

значению s0 , замкнута. Точка, для которой f (s0 ) s0 , называется неподвижной, или инвариантной, точкой точечного отображения.

43

Для функции последования справедливо следующее.

1. Функция последования для аналитической системы (а), см. главу 2, при сделанном предположении относительно аналитичности дуги без контакта (функции l(s) и m(s) в параметрических уравнениях дуги – аналитические функции) является аналитической функцией.

2. Производная от функции последования всегда положительна (т. е. функцияпоследования– всегдавозрастающаяфункция). Этопредложениефактическиявляетсяэлементарнымследствиемтогофакта, что траектории не пересекаются.

Введение функции последования позволяет для формулировки вопросов устойчивости и неустойчивости замкнутой траектории использовать вопросы устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения s f (s) .

Пусть рассматриваемой замкнутой траектории L0 соответствует не-

подвижная точка s* точечного отображения s f (s) . Рассмотрим по-

следовательные точки пересечения с дугой l какой-нибудь траектории L, отличной от L0 и проходящей через достаточно близкую к L0

точку.

Пусть траектория L пересекает отрезок в точках, соответствующих значениям s

s1, , sn , .

При этом

Если траектория L стремится к L0 при t , то последовательность (5.1) стремится к s* , и, наоборот, если последовательность (5.1)

стремитсяк s* , то траекторияL стремитсяк L0 . Неподвижная точка s* точечного отображения s f (s) называется устойчивой, если суще-

ствует такая ее окрестность, что все последовательности вида (5.1) с начальными точками s1 в этой окрестности стремятся к этой точке, и

неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется хотя бы одна такая точка, что соответствующая последовательность не сходится к этой точке. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка отображения, а неустойчивому или полуустойчивому – неустойчивая точка.

44

Точки пересечения кривой s f (s) с биссектрисой s s соответствуют неподвижным точкам точечного отображения s f (s) .

Условия f (s*) 1 и f (s*) 1 геометрическиозначаюттотилидру-

46

уходят от s* (или, иначе, к s* стремятся последовательные «предыдущие» точки).

являются неподвижными. В этом случае

f(s) s ,

иточечным отображением является

s s .

Отметим, что для построения на диаграмме Ламерея последовательных последующих данной точки s , s f (s ), s f (s ), нужно по-

строить так называемую лесенку Ламерея, в построении которой нетрудно разобраться (см. рис. 5.2 и 5.3).

В дальнейшем также часто будем пользоваться вспомогательной функцией

(s) f (s) s .

Очевидно, если

(s0 ) 0 ,

то s0 соответствует неподвижной точке, и при этом устойчивой, если(s0 ) 0 , и неустойчивой, если (s0 ) 0 .

§ 3. ФУНКЦИЯ СООТВЕТСТВИЯ

Пусть все траектории, при t t0 пересекающие некоторую дугу без контакта l1 , пересекают другую дугу без контакта l2 , не имеющую общих точек с l1 (рис. 5.5).

Пусть u1 – параметр, введенный на дуге l1 , и u2 – параметр, введенный на дуге l2 . Так же как и в предыдущем параграфе, будем пред-

47

котором траектория, пересекающая дугу l1 в точке, соответствующей некоторому значению u1 , пересекает дугу l2 , очевидно, является функцией этого значения u1 . Эта функция называется функцией соответствия (между дугой l1 и l2 ): u2 h(u1) .

l2

l1

Рис. 5.5. Траектории, пересекающие дугу без контакта l2

Пусть параметры u1 и u2 на дугах l1 и l2 выбраны так, что если считать положительное направление на дугах l1 и l2 в сторону возрастания ui , то углы между траекторией L, пересекающей обе дуги l1 и l2 ,

и этими дугами имеют один и тот же знак. Тогда:

1) функциясоответствиядляаналитическойсистемы(а), см. главу 2, при сделанном предположении относительно параметрических уравнений дуг l1 и l2 является аналитической функцией;

2) производная от функции соответствия h (u1) всегда положи-

тельна.

В некоторых случаях (например, при рассмотрении функции последования в окрестности петли сепаратиссы) функцию последования удобнее строить как составленную из двух (или более) функций соответствия. Функция последования

u1 f (u1)

может быть составлена из двух (или нескольких) функций соответствия u1 h (u2 ) , u2 h(u1) между двумя (и более) дугами без контакта.

48

§ 4. ИЗУЧЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

В настоящем параграфе излагается некоторое чисто теоретическое исследование окрестности замкнутой траектории. Это исследование хотяиноситчистотеоретическийхарактер, нотемнеменеедаетвесьма полезные сведения о том, каков возможный характер замкнутых траекторий. Эти сведенияимеют такжепервостепенный интересдляпонимания поведения предельных циклов при изменении параметра.

Пусть L0 – замкнутая траектория, где

– какое-нибудь соответствующее ей движение, являющееся периодическим с периодом . Если l – дуга без контакта, проведенная через ка- кую-нибудь точку Q траектории L0 , то на части этой дуги, достаточно

близкой к точке Q, будет определена функция последования. Пусть s – параметр на дуге l, s0 – значение этого параметра, соответствующее

замкнутой траектории L0 и s f (s) – функция последования. Введем функцию

Возможны следующие случаи. 1. f (s0 ) 1.

Корень s0 функции (s) – изолированный, замкнутая траектория является простым предельным циклом – устойчивым, когда

f (s0 ) 1 , т. е. (s0 ) 0 ,

49

и неустойчивым, когда

f(s0 ) 1, т. е. (s0 ) 0 .

2.f (s0 ) 1, т. е. (s0 ) 0 , но хотя бы одна из производных функции (s) не обращается в нуль при s s0 , т. е. существует такое k, что

(s) (s s0 )k k ak 1(s s0 ) .

Корень s0 функции (s0 ) , так же как и в случае 1, изолированный. Замкнутая траектория L0 называется сложным k-кратным предельным циклом.

а) k – нечетное. Предположим, что (k) (s0 ) k! k 0 . Тогда при s s0

(s0 ) 0 , т. е. f(s) > s,

а при s s0

(s0 ) 0 , т. е. f(s) < s.

Следовательно, всякая последующая точка на отрезке l ближе к точке Q (в которой замкнутая полутраектория L0 пересекает отрезок

l), чем предыдущая. Так как по самому построению функции последования последующая точка соответствует значению t, бо´льшему, чем предыдущая, то, принимая во внимание, что L0 – единственная замкну-

тая траектория, пересекающая рассматриваемую часть отрезка без контакта l, нетрудно показать, что всякая отличная от L траектория, пересекающая отрезок l, достаточно близка к точке Q, при t стремится

к предельному циклу L0 . Предельный цикл L0 является устойчивым (нечетно-кратным) предельным циклом (рис. 5.6, а).

50